ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
ÁLGEBR A LINEAL •S EMANA 16 CLASE 01
Semestre 2020-B Departamento de Formación Básica
5. APLICACIONES LINEALES
5.6 Matriz de cambio de base
Sean Eun espacio vectorial sobre el cuerpo K,B1yB2bases del espacio vec-
torial E. A la matriz asociada a la aplicación lineal identidad en las bases B1
de salida y B2de llegada se le llama matriz de cambio de base de la base B1a
la base B2.
DEFIN IC IÓN 9: Matriz de cambio de baseDEFIN IC IÓN 9: Matriz de cambio de base
PROPOS ICIÓN 16. Sean Eun espacio vectorial de dimensión finita, B1yB2
bases del espacio vectorial E. Si v∈E, entonces
[v]B2= [I]B1
B2[v]B1.
En la literatura, también se puede encontrar la definición anterior bajo el
nombre de matriz de transición y se utiliza también la notación PB2←B1.
EJEMPL O 19. Una matriz de cambio de base en el espacio vectorial R1[t].
Para obtener a la matriz de cambio de base [I]B1
B2, sean
B1={1+t, 2 −t}yB2={t, 1 −t}
dos bases para el espacio vectorial R1[t].
Primero, calculemos las imágenes de la base de salida, tenemos:
I(1+t) = 1+tyI(2−t) = 2−t.
Segundo, encontremos los respectivos vectores de coordenadas en la base B2de
estas imágenes. Para no resolver dos sistemas de ecuaciones ”muy parecidos”,
vamos a expresar al vector genérico de R1[t]como una combinación lineal de los
elementos de la base B2. Es decir, hay que calcular los valores de αyβtales que
a+bt =α(t) + β(1−t).
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