Dependencia e Independencia Lineal en Álgebra Lineal, Apuntes de Álgebra Lineal

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ÁLGEBRA LINEAL

Janneth Velasco

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE

ESPACIOS VECTORIALES

Dependencia e independencia lineal

CONTENIDO

Título Dependencia e independencia lineal

Duración 120 minutos

Información general Teoría y ejercicios sobre dependencia e independencia lineal

Objetivo Aplicar las definiciones de dependencia e independencia

lineal.

Ejemplo

Sean 𝑢 1

2

3

Establezca si es linealmente independiente el conjunto {𝑢 1

2

3

}, en caso de que lo sea,

encuentre escalares 𝑥 1

2

3

no todos cero, tales que 𝑥

1

𝟏

2

𝟐

𝑝

𝒑

Matrices e independencia lineal

Cuando se tiene la ecuación matricial 𝐴𝒙 = 𝟎, las columnas de la matriz 𝐴 son vectores, es

decir 𝐴 = [𝒂 𝟏

𝒏

], luego la ecuación matricial puede escribirse como

1

𝟏

2

𝟐

𝑛

𝒏

Cuando cualquier columna de la matriz 𝐴 es combinación lineal de otras columnas de la

matriz 𝐴, cualquier relación de dependencia lineal que se dé entre las columnas de 𝐴 es una

solución distinta de la trivial de 𝐴𝒙 = 𝟎.

Proposición

La ecuación 𝐴𝒙 = 𝟎 tiene únicamente la solución trivial, si y solo si, las columnas de la

matriz 𝐴 son linealmente independientes.

Ejemplo

Sea 𝐴 =

[

]

, determine si existe alguna relación de dependencia lineal entre las

columnas de la matriz.

Dependencia lineal en conjuntos de uno, dos o más vectores

Cuando se tiene un conjunto con un vector, se tienen los siguientes casos:

 si en {𝒖}, el vector 𝒖 ≠ 𝟎, entonces el conjunto es linealmente independiente, puesto

que la ecuación 𝑥

1

𝒖 = 𝟎, tiene solo la solución trivial.

 si en {𝒖}, el vector 𝒖 = 𝟎, entonces el conjunto es linealmente dependiente, puesto

que la ecuación 𝑥

1

𝒖 = 𝟎, tiene infinitas soluciones no triviales.

Cuando se tiene un conjunto de dos vectores, se tiene el siguiente resultado

Proposición

Un conjunto de dos vectores {𝒖

𝟏

𝟐

} es linealmente dependiente si uno de los vectores es

múltiplo del otro, y es linealmente independiente si ninguno de los vectores es múltiplo del

otro.

Ejemplo

¿Cuál de los siguientes conjuntos de vectores, es linealmente independiente?

1

2

1

2

Solución

Los resultados siguientes nos ayudarán a establecer automáticamente si un conjunto de

vectores es linealmente indepediente.

Teorema

Si un conjunto esta formado por más vectores que entradas en cada vector, entonces el

conjunto es linealmente dependiente. Esto significa que, un conjunto {𝒖

𝟏

𝒏

𝑚

es

linealmente dependiente si 𝑛 > 𝑚.

Ejemplo

Explique porque los vectores (

) son linealmente dependientes.

2

Teorema

Si un conjunto de vectores {𝒖

𝟏

𝒏

𝑚

tiene el vector cero, entonces el conjunto es

linealmente dependiente.

Ejemplo

Determine, que conjuntos de vectores son linealmente dependientes y explique porqué.

Ejemplo

Determine si las matrices 





1

1 5 1

A ;

0 3  1

1 0 2

B :



1 5

1 1

C son

linealmente dependientes.

Teorema

Se tiene que, 𝒏 vectores en R

n

son linealmente dependientes si y solo si el determinante de la

matriz formada por los 𝒏 vectores es cero.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

1. Álgebra lineal con Matlab, García Joe, ESPE, 2008. 2. Álgebra lineal, Lay David, 3 ª edición, Editorial Pearson, 2007. 3. Apuntes de álgebra lineal, Hidalgo Ximena, ESPE, 2019.