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Algebra CBC

Exactas

Indice general

1. Vectores en R^2 y R^3
   2. Sistemas lineales y matrices
   3. Determinantes
   4. Espacios vectoriales - Subespacios
      5. Transformaciones lineales
   5. N´umeros Complejos y Polinomios
      7. Autovalores y Autovectores
   6. Programa

PR ACTICA 1.´ VECTORES EN R^2 Y R^3

O

C

A

B

x

y

Algo an´alogo se puede decir en el espacio de tres dimensiones R^3 ; ahora, cada punto, en particular el origen y el extremo de un vector, estar´a dado por una terna de n´umeros reales. v =

AB est´a dado por A = (2, 4 , 3) y B = (4, 10 , 6) w =

OC est´a dado por O = (0, 0 , 0) y B = (2, 0 , 0)

v

B

A

O

C

x

y

z

En adelante trabajaremos con vectores cuyo origen O tiene todas sus co- ordenadas iguales a cero (O = (0, 0) en R^2 , O = (0, 0 , 0) en R^3 ) identificado entonces el punto A con la fecha

OA.

Dados A y B en R^2 , A = (a 1 , a 2 ) y B = (b 1 , b 2 ), definimos la suma

A + B = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 )

y el producto por un escalar c ∈ R

cA = (ca 1 , ca 2 ).

An´alogamente, en R^3 , si A = (a 1 , a 2 , a 3 ) y B = (b 1 , b 2 , b 3 ), la suma

A + B = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , a 3 + b 3 )

y el producto por un escalar c ∈ R

cA = (ca 1 , ca 2 , ca 3 ).

PR ACTICA 1.´ VECTORES EN R^2 Y R^3

Propiedades:

A + (B + C) = (A + B) + C

A + B = B + A

Si c ∈ R, c(A + B) = cA + cB

Si c 1 ∈ R y c 2 ∈ R, (c 1 + c 2 )A = c 1 A + c 2 A y (c 1 · c 2 )A = c 1 (c 2 A)

O + A = A

1 A = A

A + (−1)A = O

OA = O

Notaci´on: −A = (−1)A

Propiedades: En este contexto,

−−→ AB es equivalente a

CD si y s´olo si D − C = B − A; en particular,

AB es equivalente a

OP si y s´olo si P = B − A. −−→ AB y

CD son paralelos o tienen igual direcci´on si existe k en R, k = 0 tal que B − A = k(D − C). Si k > 0,

AB y

CD tienen igual sentido; si k < 0, −−→ AB y

CD tienen sentidos opuestos.

Longitud de un vector

En R^2 , si v = (v 1 , v 2 ), la norma o longitud de v, que notaremos ‖v‖, es ‖v‖ =

v^21 + v^22.

v

v 2

v 1

√^ An´alogamente, en^ R^3 , si^ v^ = (v^1 , v^2 , v^3 ) la^ norma^ o^ longitud^ de^ v^ es^ ‖v‖^ = v^21 + v 22 + v 32

Propiedades:

Si A = O, entonces ‖A‖ = 0; A = O, entonces ‖A‖ > 0.

‖A‖ = ‖ − A‖.

Si c ∈ R ‖cA‖ = |c| · ‖A‖.

Desigualdad triangular: ‖A + B‖ ≤ ‖A‖ + ‖B‖.

PR ACTICA 1.´ VECTORES EN R^2 Y R^3

Propiedades:

A · B = B · A

A · (B + C) = A · B + A · C = (B + C) · A

Si k ∈ R, (kA) · B = k(A · B) = A · (kB)

Si A = O, A · A = 0. Si A = O A · A > 0

Desigualdad de Cauchy-Schwarz: |A · B| ≤ ‖A‖ · ‖B‖

De la desigualdad de Cauchy-Schwarz se deduce que si A y B son ambos distintos de cero, vale

− 1 ≤

A · B

‖A‖ · ‖B‖

Propiedad: el ´angulo entre dos vectores A y B (θ = θ(A, B)) es el ´unico ´angulo θ entre 0 y π que verifica cos θ = (^) ‖AA‖·‖·BB‖.

Diremos que dos vectores A y B son ortogonales o perpendiculares si A · B = 0.

Producto vectorial

Si A = (a 1 , a 2 , a 3 ) y B = (b 1 , b 2 , b 3 ) son vectores de R^3 , el producto vectorial de A y B es:

A × B = (a 2 b 3 − a 3 b 2 , a 3 b 1 − a 1 b 3 , a 1 b 2 − a 2 b 1 ).

Observaci´on: El producto vectorial de dos vectores de R^3 es un vector de R^3.

Propiedades:

A × B = −B × A

A × (B + C) = A × B + A × C

(B + C) × A = B × A + C × A

Si k ∈ R, (kA) × B = k(A × B) = A × (kB)

A × A = O

A × B es perpendicular a A y a B

‖A × B‖^2 = ‖A‖^2 ‖B‖^2 − (A · B)^2

‖A × B‖ = ‖A‖ · ‖B‖ · | sen θ| donde θ es el ´angulo formado por A y B.

Observaci´on: De la ´ultima propiedad se deduce que ‖A × B‖ es el ´area del paralelogramo de v´ertices O, A, B, A + B.

PR ACTICA 1.´ VECTORES EN R^2 Y R^3

Rectas

Dados en el plano R^2 un vector A y un punto P la ecuaci´on param´etrica de la recta L que pasa por P en la direcci´on de A es:

X = tA + P (t ∈ R).

P

A

L

Si A = (a 1 , a 2 ) y P = (p 1 , p 2 ), se escribe: (x, y) = t(a 1 , a 2 ) + (p 1 , p 2 ) ´o { x = ta 1 + p 1 y = ta 2 + p 2

Si c = a 2 p 1 − a 1 p 2 , la recta L es el conjunto de soluciones de la ecuaci´on a 2 x − a 1 y = c. Para describir una recta en R^2 podemos utilizar la ecuaci´on param´etrica X = tA + P (donde X = (x, y)) o utilizar la ecuaci´on impl´ıcita ax + by = c. Dados en R^3 un vector A y un punto P la ecuaci´on param´etrica de la recta L que pasa por P en la direcci´on de A es:

X = tA + P (t ∈ R).

Si A = (a 1 , a 2 , a 3 ) y P = (p 1 , p 2 , p 3 ) tenemos (x, y, z) = t(a 1 , a 2 , a 3 ) + (p 1 , p 2 , p 3 ) ´o (^) ⎧ ⎨ ⎩

x = ta 1 + p 1 y = ta 2 + p 2 z = ta 3 + p 3

Si c = a 2 p 1 − a 1 p 2 y d = a 3 p 2 − a 2 p 3 , la recta L es el conjunto de soluciones de sistema (^) { a 2 x − a 1 y = c a 3 y − a 2 z = d

Para describir una recta en R^3 podemos utilizar la ecuaci´on param´etrica X = tA + P (donde X = (x, y, z)) o un sistema de dos ecuaciones lineales con tres inc´ognitas.

Angulo entre dos rectas^ ´

Para definir el ´angulo entre dos rectas usaremos sus vectores direcci´on, eligiendo entre los ´angulos que ´estos forman, el ´unico θ tal que 0 ≤ θ ≤ π/2. Dos rectas en R^2 ´o en R^3 son perpendiculares si sus direcciones lo son. Dos rectas en R^2 ´o en R^3 son paralelas si sus direcciones lo son.

PR ACTICA 1.´ VECTORES EN R^2 Y R^3

Notaci´on: −A = (−1)A

Llamaremos norma de A = (a 1 , a 2 , a 3 ,... , an) al n´umero

‖A‖ =

a^21 + a^22 + · · · + a^2 n.

Propiedades:

Si A = O, entonces ‖A‖ = 0; si A = O, entonces ‖A‖ > 0.

‖A‖ = ‖ − A‖

Si c ∈ R, ‖cA‖ = |c| · ‖A‖.

Desigualdad triangular: ‖A + B‖ ≤ ‖A‖ + ‖B‖.

Si A = (a 1 , a 2 , a 3 ,... , an) y B = (b 1 , b 2 , b 3 ,... , bn), llamaremos distancia entre A y B a la longitud del vector AB

d(A, B) =^ ‖B^ −^ A‖^ =^

(b 1 − a 1 )^2 + (b 2 − a 2 )^2 + · · · + (bn − an)^2

Si A = (a 1 , a 2 , a 3 ,... , an) y B = (b 1 , b 2 , b 3 ,... , bn) llamaremos producto escalar de A y B al n´umero real

A · B = a 1 b 1 + a 2 b 2 + · · · + anbn

Propiedades:

A · B = B · A

A · (B + C) = A · B + A · C = (B + C) · A

Si k ∈ R, (kA) · B = k(A · B) = A · (kB)

Si A = O, A · A = 0. Si A = O A · A > 0

Desigualdad de Cauchy-Schwarz: |A · B| ≤ ‖A‖ · ‖B‖

Dados en Rn^ un vector A y un punto P la ecuaci´on param´etrica de la recta L que pasa por P en la direcci´on de A es:

X = tA + P (t ∈ R).

Pr´actica 2

Sistemas lineales y matrices

2.1. Definiciones y propiedades

Un sistema lineal de m ecuaciones con n inc´ognitas es un conjunto de m ecuaciones lineales en las variables (x 1 , x 2 ,... , xn): ⎧ ⎪⎪ ⎪⎨

⎪⎪ ⎪⎩

a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1 nxn = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2 nxn = b 2 ..

. +

am 1 x 1 + am 2 x 2 + · · · + amnxn = bm

donde las a y las b con sub´ındices representan constantes. Cuando bi = 0 para todo i, 1 ≤ i ≤ m, se dice que el sistema es homog´eneo. Una n-upla (s 1 , s 2 ,... , sn) es una soluci´on del sistema si y s´olo si al reemplazar xi por si, 1 ≤ i ≤ n, se satisface cada una de las m ecuaciones. Un sistema se dice incompatible si no tiene ninguna soluci´on. Un sistema se dice compatible si tiene alguna soluci´on. Si un sistema compatible tiene una soluci´on ´unica es determinado, y si tiene infinitas soluciones es indeterminado. Por matriz ampliada o matriz aumentada del sistema, entendemos el arreglo rectangular de n´umeros:

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

a 11 a 12 · · · a 1 n b 1 a 21 a 22 · · · a 2 n b 2 .. .

am 1 am 2 · · · amn bm

En general, dados los n´umeros naturales n y m, se llama matriz de m filas y n columnas con coeficientes reales, al arreglo rectangular

A =

a 11 a 12 · · · a 1 n a 21 a 22 · · · a 2 n .. .

am 1 am 2 · · · amn

donde aij ∈ R. Abreviadamente A = (aij ).

PR ACTICA 2.´ SISTEMAS LINEALES Y MATRICES

A + B = (aij + bij ) ∈ Rm×n^ kA = (kaij ) ∈ Rm×n Es decir, suma y producto por escalares se calculan coordenada a coordenada, en forma an´aloga a como se hace en Rn.

Si A =

A 1

Am

⎠ ∈^ Rm×n^ y^ B^ =^

B^1 ,... , Bs

∈ Rn×s, el producto de A

por B es

AB =

A 1 · B^1 A 1 · B^2 · · · A 1 · Bs A 2 · B^1 A 2 · B^2 · · · A 2 · Bs .. .

Am · B^1 Am · B^2 · · · Am · Bs

∈ Rm×s.

Notemos que para multiplicar A y B hay que calcular el producto escalar de cada fila de A por cada columna de B. Es posible calcular AB s´olo si la cantidad de columnas de A coincide con la cantidad de filas de B.

Propiedades:

Es asociativo: (AB)C = A(BC)

Es distributivo: A(B + C) = AB + AC y (A + B)C = AC + BC

La matriz identidad I =

∈ Rn×n, verifica AI = IA

para toda matriz cuadrada de A ∈ Rn×n. La matriz I es el elemento neutro para este producto.

Notaci´on: El sistema ⎧ ⎪⎪ ⎪⎨

⎪⎪ ⎪⎩

a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1 nxn = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2 nxn = b 2 ..

. +

am 1 x 1 + am 2 x 2 + · · · + amnxn = bm

puede escribirse AX = B, con A = (aij ) ∈ Rm×n, X =

x 1 .. . xn

⎠ ∈^ Rn×^1 ,

B =

b 1 .. . bm

⎠ ∈^ Rm×^1.

En adelante identificamos X ∈ Rn×^1 con x ∈ Rn^ y B ∈ Rm×^1 con b ∈ Rm. As´ı el sistema se escribir´a Ax = b.

PR ACTICA 2.´ SISTEMAS LINEALES Y MATRICES

Propiedades: Sean A ∈ Rm×n, b ∈ Rm, S 0 = {x ∈ Rn^ / Ax = 0 }, Sb = {x ∈ Rn^ / Ax = b}

Si x ∈ S 0 e y ∈ S 0 , entonces x + y ∈ S 0. Si x ∈ S 0 y k ∈ R, entonces kx ∈ S 0. Esto dice que la suma de dos soluciones de un sistema homog´eneo es tambi´en soluci´on, y que los m´ultiplos son tambi´en soluciones.

Si x ∈ Sb e y ∈ Sb, entonces x − y ∈ S 0. Esto es, la diferencia entre dos soluciones de un sistema no homog´eneo, es soluci´on del sistema homog´eneo asociado.

Sea s una soluci´on particular de Ax = b(s ∈ Sb), entonces Sb = S 0 + s = {y ∈ Rn^ / y = x + s, con x ∈ S 0 }. Esto significa que cualquier soluci´on de Ax = b puede obtenerse sumando una soluci´on particular con una otra del sistema homog´eneo asociado.

Una matriz cuadrada A ∈ Rn×n^ se dice inversible si existe B ∈ Rn×n^ tal que AB = BA = I. Cuando B existe, es ´unica y notamos B = A−^1.

Propiedad: Si A ∈ Rn×n^ y C ∈ Rn×n^ son inversibles, entonces AC es in- versible y vale (AC)−^1 = C−^1 A−^1.

Se dice que E ∈ Rn×n^ es una matriz elemental si puede obtenerse a partir de la matriz identidad de n × n realizando una sola operaci´on elemental sobre las filas.

Propiedades:

Si la matriz elemental E resulta al efectuar cierta operaci´on sobre las filas de I ∈ Rn×n^ y A ∈ Rn×n, entonces el producto EA es la matriz que resulta al efectuar la misma operaci´on sobre las filas de A.

Toda matriz elemental es inversible y su inversa es una matriz elemental.

Diremos que dos matrices son equivalentes por filas si puede obtenerse una de la otra por medio de una sucesi´on finita de operaciones elementales sobre las filas.

Propiedad: Si A ∈ Rn×n, son equivalentes:

A es inversible.

Ax = b tiene soluci´on ´unica, cualquiera sea b ∈ Rn.

Ax = 0 tiene ´unicamente la soluci´on trivial.

A es equivalente por filas a I ∈ Rn×n.

PR ACTICA 3.´ DETERMINANTES

Si A′^ es la matriz que se obtiene cuando una sola fila de A se multiplica por una constante k, entonces det(A′) = k · det(A).

Si A′^ es la matriz que se obtiene al intercambiar dos filas de A, entonces det(A′) = − det(A).

Si A′^ es la matriz que se obtiene al sumar un m´ultiplo de una de las filas de A a otra fila, entonces det(A′) = det(A).

Si A ∈ Rm×n, la matriz transpuesta de A es la matriz At^ ∈ Rn×m^ que tiene como filas a las columnas de A.

Propiedades:

Si A ∈ Rn×n, entonces det(At) = det(A).

Si A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×n^ y k ∈ R, entonces det(kA) = kn^ det(A), det(AB) = det(A) det(B).

A es inversible si y s´olo si det(A) = 0.

Si A es inversible, entonces det(A−^1 ) = (^) det(^1 A).

Desarrollo del determinante por cofactores

Si A es una matriz cuadrada, entonces el menor del elemento aij se denota Mij y se define como el determinate de la submatriz que queda al eliminar de A la i-´esima fila y la j-´esima columna. El n´umero (−1)i+j^ Mij se denota Cij y se conoce como cofactor del elemento aij. Se puede calcular el determinante de una matriz A ∈ Rn×n^ multiplicando los elementos de cualquier fila (o columna) por sus cofactores y sumando los productos que resulten. Es decir, para cada 1 ≤ i ≤ n y 1 ≤ j ≤ n,

det(A) = a 1 j C 1 j + a 2 j C 2 j + · · · + anj Cnj

(desarrollo por cofactores a lo largo de la j-´esima columna)

y det(A) = ai 1 Ci 1 + ai 2 Ci 2 + · · · + ainCin

(desarrollado por cofactores a lo largo de la i-´esima fila)

Si A ∈ Rn×n^ y Cij es el cofactor de aij entonces la matriz ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

C 11 C 12... C 1 n C 21 C 22... C 2 n .. .

Cn 1 Cn 2... Cnn

se conoce como matriz de cofactores tomados de A. La transpuesta de esta matriz se denomina adjunta de A y se denota adj(A).

Propiedad: Si A es una matriz inversible, entonces A−^1 = (^) det(^1 A) adj(A).

PR ACTICA 3.´ DETERMINANTES

Regla de Cramer

Si Ax = b es un sistema de n ecuaciones con n inc´ognitas tal que det(A) = 0, entonces la ´unica soluci´on del sistema es (x 1 , x 2 ,... , xn) con

x 1 =

det(A 1 ) det(A)

, x 2 =

det(A 2 ) det(A)

,... , xn =

det(An) det(A)

donde Aj es la matriz que se obtiene al reemplazar la j-´esima columna de A por b.

Pr´actica 4

Espacios vectoriales -

Subespacios

4.1. Definiciones y propiedades

Espacios vectoriales

Un espacio vectorial real V, o espacio vectorial sobre R, es un conjunto de elementos llamados vectores, junto con dos operaciones: suma y producto por un escalar, que satisfacen las siguientes propiedades:

Si u ∈ V y v ∈ V, entonces la suma u + v ∈ V. Si k ∈ R y v ∈ V, entonces el producto kv ∈ V. Si u, v y w ∈ V, entonces (u + v) + w = u + (v + w). Existe un elemento en V, notado 0 , tal que 0 + u = u + 0 = u para todo u ∈ V. Para cada elemento u ∈ V existe −u ∈ V tal que u + (−u) = −u + u = 0. Si u y v ∈ V, entonces u + v = v + u. Si u y v ∈ V y c ∈ R, entonces c(u + v) = cu + cv. Si a y b ∈ R y v ∈ V, entonces (a + b)v = av + bv. Si a y b ∈ R y v ∈ V, entonces (ab)v = a(bv). Si u ∈ V, entonces 1u = u (1 ∈ R).

Notaci´on: u − v = u + (−v)

Propiedades: Sea V un espacio vectorial real

0 v = 0 para todo v ∈ V. k 0 = 0 para todo k ∈ R. (−1)v = −v para todo v ∈ V. −(v + w) = −v − w para todo v y w ∈ V. k(v − w) = kv − kw para todo v y w ∈ V, k ∈ R. kv = 0 si y s´olo si k = 0 ´o v = 0.

PR ACTICA 4.´ ESPACIOS VECTORIALES - SUBESPACIOS

Subespacios

Sea V un espacio vectorial real, y sea W un subconjunto de V; W es un subespacio de V si se satisfacen las siguientes tres condiciones:

El vector 0 de V pertenece a W. Si u y v son elementos de W, entonces su suma u + v pertenece a W. Si v es un elemento de W y c es un n´umero real, entonces el producto cv pertenece a W.

Observaci´on: W es un espacio vectorial real.

Propiedad: Si S y T son subespacios de un espacio vectorial V, entonces la intersecci´on S ∩ T es un subespacio de V.

Combinaciones Lineales

Sean V un espacio vectorial sobre R y v 1 ,... , vn elementos de V; se dice que un vector w es una combinaci´on lineal de v 1 ,... , vn si se puede expresar en la forma w = k 1 v 1 + · · · + knvn, donde k 1 ,... , kn son n´umeros reales. Si todo elemento de V es un combinaci´on lineal de v 1 ,... , vn decimos que {v 1 ,... , vn} genera V o que {v 1 ,... , vn} es un conjunto de generadores de V. W = {

∑r i=1 kivi^ / ki^ ∈^ R}^ es un subespacio de^ V^ que se denomina^ subespacio generado por {v 1 ,... , vr } y se nota W = 〈v 1 ,... , vr 〉.

Propiedad: Si W es un subespacio de V y v 1 ,... , vr , son vectores de W, en- tonces 〈v 1 ,... , vr 〉 ⊆ W. O sea 〈v 1 ,... , vr 〉 es un subespacio de V que contiene a los vectores v 1 ,... , vr.

Dependencia e Independencia lineal

Sea V un espacio vectorial sobre R, y sean v 1 ,... , vn elementos de V; decimos que {v 1 ,... , vn} es linealmente dependiente si existen n´umeros reales a 1 ,... , an, no todos iguales a cero, tales que a 1 v 1 +... + anvn = 0. Decimos que {v 1 ,... , vn} es linealmente independiente si y s´olo si se satis- face la siguiente condici´on: siempre que a 1 ,... , an sean n´umeros reales tales que a 1 v 1 + · · · + anvn = 0 , entonces a 1 = · · · = an = 0.

Propiedades: Sea V un espacio vectorial sobre R y sean v 1 , v 2 , v 3 , v 4 vectores de V; son equivalentes:

{v 1 , v 2 , v 3 , v 4 } es linealmente independiente. {v 1 , kv 2 , v 3 , v 4 } con k ∈ R, k = 0, es linealmente independiente. {v 1 + kv 2 , v 2 , v 3 , v 4 } con k ∈ R, es linealmente independiente.

De aqu´ı en m´as, cuando decimos espacio vectorial entenderemos espacio vectorial sobre R.