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Transformaciones lineales en un ambiente de
geometría dinámica^1
Rocío Uicab 2 Asuman Oktaç 3
RESUMEN
Este artículo reporta la presencia o ausencia de un pensamiento sistémico en los estudiantes, al resolver elproblema de extensión lineal, el cual consiste en determinar una transformación lineal por medio de las imágenes de los vectores de una base. Este problema se plantea geométricamente, haciendo uso de las herramientas del software Cabri-géomètre II. Las dificultades que presentan los estudiantes cuando hacen frente a este problema pueden deberse a que ellos no realizan las conexiones adecuadas entre los conceptos involucrados. Este fenómeno puede estudiarse desde el punto de vista de la aproximación teóricael pensamiento teórico versus el pensamiento práctico (Sierpinska, 2000). Uno de los rasgos del pensamiento teórico es que intenta enfocarse en el establecimiento y estudio de las relaciones entre los conceptos y su caracterización dentro de un sistema que también contiene otros conceptos (Sierpinska, et al. 2002).
PALABRAS CLAVE: Transformaciones lineales, conexiones, pensamiento teórico, álgebra lineal, geometría dinámica.
ABSTRACT
This paper reports the presence or absence of a systemic thinking in students, when they solve thelinear extension problem, which consists of determining a linear transformation through the images of the vectors of a basis. The problem is formulated geometrically, making use of the tools of the Cabri-géomètre II software. The difficulties that students present when face this problem, probably are due to that they do not carry out the adequate connections among the concepts involved. This phenomenon can be studied from the point of view of the theoretical approximationthe theoretical thinking versus the practical thinking (Sierpinska, 2000). One of the characteristics of the theoretical thinking is that tries to be focused in the establishment and study of the relations between the concepts and its characterization inside a system that also contains other concepts (Sierpinska, et al. 2002).
Fecha de recepción: Marzo de 2006/ Fecha de aceptación: Septiembre de 2006 Este trabajo forma parte del proyecto CONACYT 2002-C01-41726S Facultad de Matemáticas. Universidad Autónoma de Yucatán, México. Cinvestav-IPN. México.
Relime Vol. 9, Núm. 3, noviembre, 2006, pp. 459-490. 459
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KEY WORDS: Linear transformations, connections, theoretical thinking, linear algebra, dynamic geometry.
RESUMO
Este artigo reporta a presença ou a ausência de um pensamento sistêmico nos estudantes, ao resolver oproblema de extensão linear, no qual consiste em determinar uma transformação linear por meio das imagens dos vetores de uma base. Este problema se coloca geometricamente, fazendo uso das ferramentas do software Cabri-géomètre II. As dificuldades que apresentam os estudantes quando fazem frente a este problema pode ser devido a que eles não realizam as conexões adequadas entre os conceitos envolvidos. Este fenômeno pode-se estudar desde o ponto de vista da aproximação teóricae pensamento teórico versus o pensamento prático (Sierpinska, 2000). Uma das características do pensamento teórico é que tenta enfocar o estabelecimento e estudo das relações entre os conceitos e sua caracterização dentro em um sistema que também contém outros conceitos (Sierpinska, et al. 2002).
PALAVRAS CHAVE: Transformações lineares, conexões, pensamento teórico, álgebra linear, geometria dinâmica.
RÉSUMÉ
Cet article reporte la présence ou l’absence d’une pensée systémique chez les étudiants, au moment de résoudre le problème d’extension linéale, qui consiste à déterminer une transformation linéale à travers les images des vecteurs d’une base. Ce problème se pose géométriquement, en faisant usage des outils du software Cabri-géomètre II. Les difficultés que présentent les étudiants quand ils font face à ce problème peuvent trouver leur origine au fait que les étudiants ne font pas les connections adéquates entre les concepts impliqués. Ce phénomène peut s’étudier depuis le point de vue de l’approximation théoriquela pensée théorique versus la pensée pratique (Sierpinska, 2000). Une des caractéristiques de la pensée théorique est qu’elle essaye de se concentrer dans l’établissement et dans l’étude des relations entre les concepts et leurs caractérisation a l’intérieur d’’un système qui contient aussi d’autres concepts (Sierpinska, et al. 2002).
MOTS CLÉS: Transformations linéales, connections, pensée théorique, algèbre linéale, géométrie dynamique.
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1. Introducción
Durante el aprendizaje escolar suele ocurrir que los estudiantes se apropian de los conceptos de manera aislada y no de manera estructurada. Esto hace que tengan
dificultades cuando abordan situaciones completamente nuevas cuya resolución no se puede realizar sólo recordando algún procedimiento enseñado por el profesor.
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representaciones formales simbólicas, pero no tiene las suficientes aptitudes para comprenderlas).
Como parte de su justificación por su inclinación a la geometría, algunos aspectos que los investigadores señalan es que habitualmente los vectores en R^2 o R^3 son presentados a los estudiantes como coordenadas y las transformaciones como matrices; posteriormente, se hace el vínculo con la geometría analítica. Esta aproximación tiene varias deficiencias y en muchas ocasiones crea confusión en los estudiantes. Por su parte, una aproximación geométrica permite fácilmente considerar las transformaciones no lineales, donde el concepto de las imágenes es formado sobre la base de ejemplos y no ejemplos (Dreyfus, et al., 1998).
En nuestra opinión, aunque una aproximación analítica también permite la consideración de transformaciones no lineales, implica la definición analítica de la transformación lineal, mientras que en la aproximación geométrica resulta más fácil brindar, de manera intuitiva, dos grupos de transformaciones al mismo tiempo: unas que sean lineales y otras que no lo sean, usando sus propiedades geométricas.
Dicho grupo de trabajo se dio entonces a la tarea de investigar la opción de usar una introducción geométrica al álgebra lineal; más específicamente a las nociones de vector, transformación, transformación lineal y vector propio en dos dimensiones. Para facilitar esta aproximación y ofrecer a los estudiantes un ambiente exploratorio, seleccionaron para su diseño el software Cabri-Géomètre II, que fue usado como ayuda pedagógica, no como herramienta para resolver problemas de álgebra lineal. Su función consistió en proporcionar una
base conceptual sobre la que pudiera ser construida la representación de vectores y transformaciones lineales como objetos geométricos.
La experimentación de tal diseño se llevó a cabo tres veces. Los investigadores llegaron a la conclusión de que, sin importar cuánto intenten aproximarse al contenido del álgebra lineal, las dificultades de los estudiantes parecen persistir. Sierpinska (2000) argumenta que los estudiantes podrían no entender la teoría porque quieren comprenderla con una mente máspráctica queteórica^4. Señala también que los modos de pensamiento teórico y práctico difieren fuertemente en la manera en que constituyen el significado de las palabras:
Para la mente práctica, los objetos matemáticos son “objetos naturales”, no “objetos discursivos” (a estos últimos sólo las definiciones y teorías pueden describirlos, no crearlos o construirlos). Consecuentemente, un término matemático es interpretado, primariamente, a través de su denotación o referente, como representación de una colección de objetos particulares, y la connotación, o propiedad de definición, aparece así solamente como una propiedad (Sierpinska, 2000).
2.2. Elproblema de extensión lineal en las experimentaciones desarrolladas por el grupo de Sierpinska
En la primera experimentación se planteó a los estudiantes el siguiente problema: Dadas las imágenes bajo una transformación lineal de un par de vectores no colineales, encuentra la imagen bajo esa transformación de un vector arbitrario. Más precisamente, se les
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(^4) En el apartado Consideraciones Teóricas daremos información más amplia respecto a estos modos de pensamiento.
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pidió que construyeran cinco vectores partiendo del origen. Los vectores fueron etiquetados como , y. (Fig. 1). Se les dijo a los estudiantes que supusieran que y eran imágenes de y , respectivamente, bajo cierta transformación lineal. La pregunta fue: De acuerdo con la información dada, ¿podrían saber dónde debería estar situado? (Haddad, 1999). El problema fue etiquetado como problema de extensión lineal porque, en efecto, consistía en extender una transformación lineal de una base a todo el plano vectorial. Se esperaba que los estudiantes construyeran un sistema de coordenadas en la base ( , ) (Fig. 1) y así hallaran las coordenadas ( a,b ) de. Como y la transformación era lineal, entonces:
v (^) 1 , v 2
T (−1.
r v 1 + 0.
r v (^) 2 )
( , a b )
463
Los estudiantes podrían dilatar y por los factores a y b , respectivamente (Fig. 1). El vector sería la suma de los vectores resultantes (Haddad, 1999).
Como conclusiones finales a este primer experimento, los autores precisaron que, además de algunas fallas del diseño, hay aspectos epistemológicos serios relacionados a la noción de función y al uso de definiciones axiomáticas.
En el tercer experimento, los investigadores detectaron lossíntomas del obstáculo de formalismo. Cuando los estudiantes abordaron elproblema de extensión lineal sus intentos revelaron una dificultad, pues mostraron tendencia a pensar conceptos matemáticos en términos de ejemplos prototipo en lugar de definiciones. La actividad del experimento consistió en lo siguiente: se pidió a los estudiantes que abrieran un nuevo archivo enCabri y pusieran dosrectas numéricas en él (estas macros 5 permiten a los estudiantes producir dos escalares independientes), el origen y los vectores etiquetados , y partiendo del origen.
Después de esto, el problema fue planteado así:vamos a asumir que los vectores y son las imágenes de los vectores respectivamente, bajo alguna transformación lineal T. Sólo con esta información, ¿puedes construir a) , b) , c) y d) , donde es un vector arbitrario?
Para llevar a cabo la actividad, también se proporcionó a los estudiantes las macrosadición de vectores, multiplicación
La macro es una herramienta del software que permite la realización automática de una secuencia de construcciones interdependientes, según su programación.
5
Figura 1. Construcción del sistema de coordenadas para hallar ( a,b )
T (
r v 1 ), T (
r v (^) 2 )
r v
T (
r v 1 ) T (
r v (^) 2 ) r v 1 v^ r (^) 2
T (
r v )
r r^ v^1 v (^) 2 r v v = a
r v 1 + b
r v (^) 2
T (
r v ) = T ( a
r v 1 + b
r v (^) 2 ) = T ( a
r v 1 ) + T ( b
r v (^) 2 ) = aT^ (
r v 1 ) (^) + bT (
r v (^) 2 )
T (
r v 1 ) T (
r v (^) 2 ) T (
r v )
r v 1 ,
r v (^) 2 T (
r v 1 ) T (
r v (^) 2 )
T (
r v 1 ) T (
r r^ v^^2 ) v 1 ,
r v (^) 2
T (
r v 1 +
r v (^) 2 ) T (
r v 1 ) T (
r v )
r v
Transformaciones lineales en un ambiente de geometría dinámica
4. Justificación
En el ambiente escolar la información que recibimos puede registrarse como información factual, la cual puede ser extraída y procesada de manera mecánica, o bien abstraerse comoinformación conceptual, que puede ser obtenida y procesada de manera significativa. La segunda se apreciará cuando hagamos frente a un problema no cotidiano, porque es ahí donde los conceptos son forzados a reunirse en un todo coherente con el objetivo de dar solución al nuevo problema.
Sin embargo, la mayoría de los problemas que resolvemos en la escuela son similares a los que el profesor ha hecho, de modo que sólo necesitamos reproducir un algoritmo aprendido. La repetición constante de ejercicios prototipo puede llevarnos a una habilidad y un dominio, pero de procedimientos; más aún, puede engañar a los profesores y estudiantes de que los conceptos han sido comprendidos. Es preciso sustituir algunos de estos problemas por otros novedosos, que motiven al estudiante a reflexionar sobre sus conceptos adquiridos.
Steinbring (1991) indica que el profesor en ocasiones asume una forma de conocimiento matemático que él mismo ha organizado ordenadamente, e intenta desarrollar el conocimiento del estudiante desde esta perspectiva recurriendo a métodos indirectos de enseñanza. No obstante, mientras los estudiantes no asuman un punto de vistasistémico integrarán los elementos proporcionados indirectamente, de forma individual. Solamente la caracterización de conocimiento como un sistema relacional, en vez de un orden lineal de aprendizaje, podría ser de ayuda en caso de que emerjan dificultades de entendimiento.
Zazkis (2001) afirma que los vínculos que matemáticamente parecen claros y sencillos pueden representar una red compleja para los estudiantes; sus aproximaciones al resolver problemas pueden ser la señal de que no utilizan totalmente las conexiones adecuadas de los conceptos involucrados. Ella sugiere que teorías como APOS (Acción-Proceso- Objeto-Esquema), donde aparece la idea de esquema (Asiala et al., 1996), podrían servir como perspectiva teórica para clarificar el reaprendizaje, así como para dar forma a la noción de vínculo y su papel en el aprendizaje de las matemáticas.
Apreciamos que la presencia de un pensamiento sistémico en la adquisición de conceptos desempeña un papel importante en la didáctica de las matemáticas. Algunos errores que cometen los alumnos cuando resuelven un problema podrían explicarse mediante la falta de conexiones que deberían hacer entre los conceptos que forman un sistema. La detección de tal fenómeno por profesores e investigadores podría llevarlos a enfocarse en las conexiones que tendrían que fomentarse en los estudiantes para una comprensión adecuada de los conceptos de matemáticas. Asimismo, con este trabajo queremos propiciar una reflexión sobre las estrategias para hacer que los estudiantes realicen tales conexiones.
5. Consideraciones teóricas
Contemplamos entonces dos acercamientos como marcos de referencia para nuestro trabajo. El primero corresponde, de acuerdo con Sierpinska (2000), alpensamiento teórico versus pensamiento práctico. El segundo se refiere alobstáculo de formalismo, término denotado por Dorier et al. (1997).
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5.1. Pensamiento teórico versus pensamiento práctico
Sierpinska (2000) manifiesta que, a pesar de los esfuerzos por mejorar la enseñanza del álgebra lineal, persistían las dificultades en los estudiantes. Ante esta situación, el grupo de investigadores conjeturó que quizá los alumnos no entendían la teoría porque querían comprenderla con unamente práctica en lugar de hacerlo con unamente teórica. A partir de ahí, comenzaron a desarrollar las nociones depensamiento teórico ypensamiento práctico.
Aclara Sierpinska que el planteamiento del pensamiento teórico versus pensamiento práctico fue inspirado por la distinción vigotskiana entre conceptos cotidianos y científicos. Ella asume que:
El pensamiento teóricose caracteriza por una reflexión concienzuda sobre significados semióticos de representación del conocimiento, así como sobre sistemas de conceptos y no sólo de acumulación de ideas. Suponemos además que en el pensamiento teóricoel razonamiento está basado en conexiones semánticas y lógicas entre conceptos dentro de un sistema; las conexiones entre los conceptos se hacen con base en sus relaciones hacia conceptos más generales, de los cuales los anteriores son casos especiales, en lugar de asociaciones empíricas. Las relaciones entre los conceptos y los objetos se dan a través de las relaciones entre unos y otros conceptos. En particular, las definiciones de los conceptos, comparaciones entre conceptos y sus diferencias se construyen sobre la base
de las relaciones entre estos conceptos con conceptos más generales y no, por ejemplo, sobre la base de sus ejemplos más comunes (Sierpinska, 2000).
Luego de esta primera aproximación, Sierpinska et al. (2002) se dan a la tarea de describir más precisamente elpensamiento teórico versus pensamiento práctico, así como a identificar cuáles son sus características específicas para el aprendizaje del álgebra lineal. Para ello:
a)Detallan un modelo depensamiento teórico b)Desarrollan una metodología para evaluar en forma individual o grupal la inclinación^6 a pensar teóricamente en el sentido del modelo postulado.
La elaboración de esta teoría, al igual que la metodología para evaluar la inclinación a pensar teóricamente, se dio a través del estudio de los datos empíricos obtenidos de las entrevistas con 14 estudiantes que lograron altas calificaciones en un primer curso de álgebra lineal (algunos también tuvieron altas calificaciones en un segundo curso). Los datos proporcionaron a los investigadores información para refinar el modelo y establecer los distintos comportamientos teóricos^7. Caracterizaron al pensamiento teórico en tres categorías principales, aclarando que el pensamiento teórico esreflexivo,sistémico yanalítico (Fig. 2), mas al clasificar las respuestas distinguieron ciertas particularidades, las cuales fueron denotadas específicamente para un mejor análisis. Esto les llevó a insertarsubcategorías específicas de comportamientos teóricos a partir de las ya establecidas como marco de referencia.
Los autores utilizan el términodisposition (en inglés) en el sentido de Resnick (1987, p. 41, citado en Sierpinska et al., 2002): “El términodisposition no debería ser considerado como implicación de un rasgo biológico o hereditario. Como se usa aquí, es más bien semejante al hábito del pensamiento, mismo que puede ser aprendido, y por lo tanto, enseñado.
Comportamientos observables a través de las respuestas de los estudiantes.
6
7
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Cuando aprendemos un concepto, lo que aprendemos es resultado de un proceso de significación para quienes lo crearon, del cual no fuimos parte. Podríamos decir que somosbombardeados de conceptos que deben ser aprendidos mediante definiciones (un vector en un espacio vectorial V se denomina combinación lineal de los vectores en V si puede expresarse como_..._ , donde c 1 , c 2 , ... c K son escalares, no todos cero), teoremas ( una matriz cuadrada A es invertible si y sólo si det ), notaciones ( , etc. ) y procedimientos ( dado , entonces .
La información aprendida puede añadirse a la mente como entidad individual, aunque también puede asociarse a sistemas de significados, con lo que se convierte en parte de una estructura conceptual.
Por ejemplo, se puede
ver como un arreglo de números, pero si sabemos que , donde A es la matriz (de orden m x n ) de coeficientes en un sistema de ecuaciones , y que si A es invertible implica que el sistema de ecuaciones representado por tiene solución única dada por , entonces A forma parte de una estructura conceptual.
Durante el aprendizaje resulta común que los estudiantes adquieran conocimientos mediante series de pasos, que observan y luego reproducen. Suelen adaptar ciertas técnicas para dar solución a los problemas, que pueden ser familiares o desconocidos para el estudiante. Ante uno familiar, hará algo parecido a lo ya realizado; sólo tiene que recordar cómo resolverlo. Pero ante
(
r x (^) ∈ R n^ ,
r b (^) ∈ R m^ )
1 2
r v = ( 12 (−2), 12 (5)) = (−1, 52 ))
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A ≠ 0
una situación desconocida, el alumno debe reflexionar sobre las instrucciones del problema y recurrir a sus conceptos previamente adquiridos, efectuando posiblemente las relaciones o conexiones válidas que lo conduzcan a una solución adecuada.
Steinbring (1991) hace notar que existe una distancia entre el conocimiento del profesor y el conocimiento del estudiante. El profesor posee una teoría matemática y es consciente de vínculos conceptuales, mientras que los estudiantes tienen un conocimiento local (material), por lo cual sus conceptos adquiridos quedan aislados. Entonces, el profesor –cuyo conocimiento es global–, al desempeñar su papel de transmitir el conocimiento, recurre a múltiples formas didácticas para guiar al estudiante en su aprendizaje, de modo que les construye una trayectoria a seguir y trata de desarrollar en ellos un estado de conocimiento, pero desde su perspectiva.
Respecto a los métodos de enseñanza, Steinbring (1991) indica que, aunque tengan la mejor intención de organizar el aprendizaje paso por paso y deductivamente, es necesario tener en cuenta que las relaciones conceptuales de conocimiento requieren de una conexión sistémica-holística, donde un nuevo concepto se constituye por su posición dentro de un sistema, no surge como resultado de deducciones metódicas o lógicas.
Además, Steinbring (1991) dice que hay una tensión entre elconocimiento local que maneja el estudiante y elconocimiento global que atañe al profesor. Para este último, el conocimiento tiene un carácter teórico o autorreferente, lo cual indica que la visión epistemológica de estudiantes y profesores ante un mismo conocimiento matemático suele ser diferente.
r v r u 1 ,
r u 2 ...
r uk
r v r v = c 1
r u 1 + c 2
r u 2 + − − − c (^) k
r uk
r v , I (^) n , r A −^1 v (^) = (−2,5)
A =
a 11 M a (^) m 1
K
O
K
a 1 n M amn
A
r x (^) =
r b
A
r x =
r b x^ r = A −^1
r b
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Por su parte, Zazkis (2001) afirma que los conceptos matemáticos no deben ser estudiados aisladamente, sino en relación con otros conceptos matemáticos, de manera que expresa al conocimiento conceptual como unared porque la idea de red sugiere no sólo conexión, sino también complejidad del conocimiento.
A medida que se avanza en el contenido del álgebra lineal, los conceptos previos se vinculan con los posteriores. Cuando un estudiante se enfrenta a este tipo de ejercicios, su estrategia debe considerar qué conceptos están involucrados y cómo se relacionan. Entonces, se ponen en juego los significados de los conceptos que le permiten al estudiante, además de generar hipótesis y establecer conjeturas, llevar a cabo diferentes decisiones pertinentes frente a la resolución de un problema. Sus argumentos tienen que ser razones válidas que le permitan justificar el planteamiento de su solución.
El significado de los conceptos y las conexiones entre ellos son elementos estrechamente relacionados. Por ejemplo, podríamos pensar en un estudiante que da una definición aceptable de un concepto, que es capaz de resolver ejercicios haciendo uso correcto del concepto y sus propiedades, que puede interpretar geométricamente su significado y que siempre tiene éxito ante problemas prototipo; sin embargo, ante una situación nueva que requiera hacer uso de ese concepto, no puede hacer los vínculos adecuados para llegar a la solución correcta. En forma contraria, podría darse el caso que las experiencias del estudiante y su intuición le permitan pisar el terreno apropiado para llegar a la solución de un problema, haciendo las conexiones adecuadas en cada paso, pero titubeando, inseguro de que la solución sea la correcta; esto podría reflejar la debilidad en la
apropiación de los significados de los conceptos.
Cuando un estudiante se enfrenta a una situación nueva, el primer paso hacia una solución exitosa es que reflexione sobre los elementos que tiene a su alcance y sobre los que están involucrados, aunque no sean explícitos en el problema. Después, tiene que organizar su conocimiento de manera tal que busque hacer conexiones entre sus conceptos, valiéndose de sus significados.
Para poder apreciar la presencia de un pensamiento teórico en los estudiantes que enfrentan elproblema de extensión lineal, consideramos que deben estar presentes los siguientes comportamientos:
• Reflexión sobre los datos explícitos y
aquellos que podrían estar involucrados implícitamente en la interpretación del problema.
• Actitud indagadora respecto a posibles
conceptos involucrados.
• Desarrollo de estrategias con un
propósito, haciendo uso de los conceptos involucrados en un problema.
• Toma de decisiones pertinentes que
involucren conceptos relacionados para llegar a la solución de un problema, ofreciendo argumentos válidos que permitan justificar el planteamiento de su solución, con una coherencia que haga ver un sistema de conceptos.
5.2 El obstáculo de formalismo
Por otra parte, como quisimos observar de qué manera se presenta el obstáculo de
Transformaciones lineales en un ambiente de geometría dinámica
para su resolución exitosa, lo que nos condujo a plantear nuestro objetivo de investigación:observar la presencia de conexiones entre conceptos y su naturaleza, basándonos en observaciones empíricas. Para tal fin, contemplamos tres etapas en nuestra investigación:
• En la primera etapa se llevó a cabo un
curso con ocho estudiantes de primer semestre, inscritos en el programa de maestría del Departamento de Matemática Educativa. El objetivo principal del curso fue dar a los estudiantes la oportunidad de ver y analizar ejemplos del uso de la tecnología en la clase de matemáticas en el nivel superior. La rama elegida como enfoque matemático fue álgebra lineal y como ambiente tecnológico el Cabri-Géomètre II.
6.1. La dinámica del curso
En dicho curso, la dinámica fue: a) aplicación de las actividades diseñadas por Sierpinska y su grupo, pertenecientes al segundo rediseño, a los participantes del curso; b) discusión teórica sobre el tema; c) análisis didáctico de las actividades y su diseño; d) consideraciones técnicas en el diseño de las actividades. Así, se trató que los estudiantes, por un lado, trabajaran directamente sobre las actividades; por otro, analizaran el uso didáctico, pretendiendo que reflexionaran en torno a los fenómenos observados desde el punto de vista de sus experiencias. Aunque durante el curso se llevaron a cabo seis módulos, explicamos con detalle el 5 y 6 porque abordan las transformaciones lineales.
Módulo 1: Familiarizarse con los comandos deCabri. Vectores, igualdad de vectores y operaciones sobre los vectores.
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Módulo 2: Aplicaciones del lenguaje de los vectores en la geometría. Módulo 3: Coordenadas de un vector en una base. Módulo 4: Cambio de base.
Los vectores, desde el inicio de curso, fueron abordados como vectores libres. En un principio tanto las combinaciones lineales como los cambios de base se trataron bajo construcciones geométricas, y conforme iba avanzando el contenido del curso algunas se convirtieron en macros. Asimismo, el módulo 3 atendió al tema de coordenadas de un vector en una base, lo cual permitió no sólo la construcción geométrica, sino también la inclusión de elementos numéricos.
Soto (2003), quien efectuó una investigación cuyo propósito fue identificar las dificultades de los estudiantes para construir y utilizar estos conceptos reducidos a R^2 y R^3 , y de qué manera estas dificultades están relacionadas con la conversión de representaciones gráficas en algebraica y viceversa, mostró actividades diseñadas enCabri para introducir el tema de las transformaciones lineales mediante la matriz de transformación. Esto tuvo como intención que el estudiante se familiarizara con el significado gráfico y numérico que tiene la evaluación de una transformación lineal. A diferencia del trabajo de Soto –uno de los pocos estudios que abordan el tema de las transformaciones lineales en Cabri–, el tratamiento que tienen las transformaciones lineales en nuestro escenario se da en un contexto más geométrico. Las entradas numéricas (como la macrorrecta numérica) son proporcionadas con la intención de que, al generar un vector en una base dada, se genere una familia de vectores que le pertenecen.
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6.1.1. Módulos 5 y 6: Transformaciones lineales
Las actividades que detallaremos a continuación pertenecen a los módulos 5 y 6, alusivos a las transformaciones lineales. El módulo 5 inició con la definición de espacio vectorial y sus axiomas, luego se presentó a los estudiantes la idea de transformación de todo el plano vectorial, mediante archivos hechos en Cabri con una parte de cuadrícula finita, que operaba el instructor. Se mostró el hecho de que una transformación del plano vectorial tiene que entenderse como definidapara todos los vectores del plano; una transformación del plano vectorial no es lo mismo que la de un vector o una figura aislada en el plano (los investigadores hacen hincapié en tal fenómeno, pues es una dificultad que observaron en las aplicaciones anteriores de sus actividades, como se reporta en Dreyfus, et al., 1998).
Por ejemplo, en la Figura 3 podemos observar que las cuadrículas finitas representan planos vectoriales: una al plano vectorial dado, la otra al plano vectorial transformado (en este caso, por una rotación). Asimismo, se ha construido un par de vectores, uno punteado y otro no punteado, a fin de indicar que parten de un origen y también den la idea de que hay una infinidad de vectores en el plano vectorial, mediante el modo de arrastre del software. El vector punteado es la imagen del no punteado bajo dicha transformación.
Otra de las actividades consistió en proporcionar a los alumnos macros que permitieron una transformación T del plano vectorial, poniendo un vector libre sobre la pantalla y construyendo su imagen bajo T , según la regla que definía a la transformación (Figuras 4 y 5). Luego, moviendo el punto terminal del vector , las imágenes de muchos otros vectores bajo T se pudieron visualizar. Algunos ejemplos fueron reflexión, proyección, rotación, una transformación semilineal (rotación de 90°, combinada con una dilatación por un factor variable), trasquilado (su elaboración depende de dos parámetros, q y L , donde y L es una recta que pasa por el origen; entonces, la imagen de un vector es tal que la recta que une los puntos finales del vector y su imagen es paralela a L , mientras que la distancia entre los puntos finales de y su imagen es igual a veces la distancia entre el punto final de y la recta L ), traslado-punto-terminal (traslación por un vector). Notamos que se hace una referencia al mismo espacio de trabajo (la pantalla), pues se hace uso en las actividades de los ejes horizontales y perpendiculares, aunque no son propiamente elementos de la estructura matemática, donde no se emplean coordenadas o referencias.
q (^) ≠ 0
Figura 3. Rotación de un plano.
r v r v r v r v r v r v
q
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r r = k 1 T (
r v 1 ) + k 2 T (
r v (^) 2 )
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También se mostró una nueva manera de averiguar la linealidad de una transformación, usando la condición de conservación de combinaciones lineales.
El instructor puso dosrectas numéricas y dos vectores, y , aplicó alguna de las macros vistas con anterioridad (aquellas que proporcionan una transformación T del plano vectorial), colocó un vector libre sobre la pantalla y elaboró su imagen bajo T , según la regla que define a la transformación. Al aplicar la macro, construyó entonces y
. Después, usando la macro combinación lineal hizo un vector tal que ; a este vector le aplicó la macro de transformación, generando el vector .Finalmente, construyó un vector tal que , observándose que , independientemente de las posiciones de , , k 1 y k 2.
Posteriormente, se dieron ejemplos donde sólo una o ninguna de las condiciones (suma de vectores y multiplicación por un escalar) se satisfacía. Estas tareas de alguna manera prepararon a los estudiantes para el siguiente paso: la realización delproblema de extensión lineal, que fue nuestro enfoque de interés para los fines de esta investigación.
Figura 6. Transformación del plano bajo una transformación lineal mediante la macro lin-basis. Los vectores y generan el plano original, y y al transformado.
En la segunda etapa se aplicó un cuestionario diagnóstico, conformado por 12 reactivos comprendidos en 6 secciones, cuyo contenido estuvo relacionado con las transformaciones lineales. Al contestar dicho instrumento, los estudiantes ya habían cursado los módulos 1-5 y parte del módulo
- Nuestro objetivo era caracterizar el pensamiento de los estudiantes en forma general.
6.2. Características de los estudiantes
Para proteger la identidad de los participantes, cuyas edades iban de los 23 a los 26 años, les dimos los pseudónimos de Estudiante 1 hasta Estudiante 8. Los estudiantes 1, 2, 3, 4, 5 y 8 terminaron una licenciatura en Enseñanza de las Matemáticas (LEM). Los estudiantes 3, 4, 5 y 8 sólo tomaron un curso trimestral en diferentes periodos: el 3 y el 4 en 1998, el 5 en 1999 y el 8 en 2000.
Los estudiantes 1 y 2, antes de ser alumnos de la LEM, cursaron cinco semestres de la licenciatura en Matemáticas (LM), ambas pertenecientes a la misma facultad, donde tomaron dos cursos semestrales correspondientes a Álgebra Lineal I (1997)
r v 1
r v (^) 2 w^ r 1 w^ r 2
r v 1
r v (^) 2
r v
T (
r v 1 ) T (
r v (^) 2 ) r r^ w w = k 1
r v 1 + k 2
r v (^) 2
T (
r w ) r r (^) r r (^) = T (
r w ) r v 1
r v (^) 2
Transformaciones lineales en un ambiente de geometría dinámica
y Álgebra Lineal II (1998). El Estudiante 1 dijo que no los acreditó en periodo ordinario y los volvió a cursar: el de Álgebra Lineal I en 1998 y el de Álgebra Lineal II en 1999. También llevó un curso trimestral en la LEM en 2001. Por último, el Estudiante 6 es Ingeniero Metalúrgico y el 7 licenciado en Economía; de acuerdo con la información proporcionada, no llevaron curso alguno de álgebra lineal, de manera que nuestro curso fue la primera experiencia que tuvieron con esta asignatura.
6.3. Análisis del cuestionario diagnóstico y respuestas de los estudiantes
Como hemos mencionado, antes de llevar a
cabo la entrevista se aplicó uncuestionario diagnóstico, en una sesión del curso, con una duración de 2 horas. Cada estudiante tuvo a su disposición una computadora.
Presentaremos los análisis de algunas secciones y luego haremos una descripción general del desempeño de los estudiantes con base en los resultados.
6.3.1. Sección 1. Pregunta 1 (ver Cuadro 1). Como las respuestas de los estudiantes varían, las copiaremos textualmente para poder apreciarlas en su totalidad. Aquí, queríamos saber cómo percibían a una transformación, sin considerar el término lineal.
Cuadro 1. Respuesta de los estudiantes a la pregunta 1.
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Transformaciones lineales en un ambiente de geometría dinámica
k 2
r A , k 1 , k 2 ∈ R
k 1
r A
La mayoría de los estudiantes consideró a una transformación lineal como aquella que satisface dos condiciones, y , mas sin la presencia de un modo de empleo; por ejemplo, omitiendo los cuantificadores. Parece que su definición de transformación lineal se centra sólo en las dos propiedades que la satisfacen, olvidando a qué campo pertenecen sus elementos.
Apreciamos que el Estudiante 2 piensa que la preservación de los vectores sobre una recta bajo una transformación es equivalente a que tal cambio cumpla con las dos condiciones de la linealidad. El 3 se refiere a la transformación lineal como una combinación lineal. El 4 da tres condiciones, aunque la primera es equivalente a las dos últimas juntas. El 5 considera a la propiedad de la suma como combinación lineal. El 7 indica que hay tres condiciones, que asociamos con actividades hechas en el curso.
El Estudiante 6 parece señalar el cambio de un plano. Por ello, para tratar de relacionar su respuesta anterior con ésta, e interesados en saber cuál sería su solución ante la transformación identidad, posteriormente construimos una macro llamadatransformación 3, definida por la expresión , que proporciona la imagen de un vector construido en la pantalla al hacer click en él, y durante la entrevista le pedimos al alumno que verificara si era o no una transformación lineal. El 5 fue invitado a participar en esta actividad como su pareja
Estas actividades fueron diseñadas por Molina (2004). Dos de ellas fueron consideradas en su tesis de maestría y la otra la discutimos en una charla que sostuvimos.
9
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T (
r v +
r w ) = T (
r v ) + T (
r w ) T ( k
r v ) = kT (
r v )
T (
r v ) (^) = (
r v )
r B (^) r B
de entrevista. Resultó interesante observar que ambos estudiantes –con mayor énfasis el 5– consideraban a una transformación como generadora de un cambio. Notamos que, a pesar de satisfacerse las condiciones de suma y multiplicación por un escalar, el hecho de los alumnos vieran al vector imagen encima del vector inicial, y no en otra posición, los hacía dudar. El 6 finalmente identifica que es la transformación identidad.
6.3.3. Sección 3. En esta parte se presentó a los estudiantes dos columnas con figuras; las segundas eran las imágenes bajo alguna transformación. Les pedimos que indicaran si era posible que hubiera una transformación lineal que convirtiera a la Figura 1 en la Figura 2 9. El objetivo consistía en analizar sus argumentos ante la ausencia de alguna expresión analítica que permitiera formular una transformación. A continuación, mostramos los tres incisos que conformaban dicha actividad.
Inciso a). Para este inciso (ver Cuadro
- sí podría existir una transformación lineal; por ejemplo, los alumnos podrían argumentar que observan la composición de una rotación y una dilatación. También, en un sentido más formal, partiendo de dichas figuras podrían verificar las dos propiedades, al comprobar que en la Figura 1 el vector se puede escribir como , y en la Figura 2 el vector se puede escribir como.
478 Relime
- Para cada uno de los casos que se muestran a continuación, diga si es posible que exista una transformación lineal que convierta los vectores o gráfica de la Figura 1 en los vectores o gráfica de la Figura 2. Argumenta porqué.
a)
Cuadro 3. Inciso a) de la Selección 3 del cuestionario diagnóstico.
Para este inciso, el Estudiante 1 dijo que sí podría haber una transformación lineal, basándose sólo en la dilatación de los vectores. El 2 consideró bases en cada figura; tomó a la segunda como imagen de la primera y de ahí planteó la posible existencia. El 3 afirmó que no era posible, argumentando que, para que se definiera una transformación lineal, él necesitaba dos vectores linealmente independientes y dos escalares que cumplieran con la combinación lineal y generaran otro espacio vectorial. Nosotros percibimos ante tal respuesta que quizá el Estudiante 3 sentía necesidad de tener siempre dos vectores para verificar si había una transformación lineal, más aún que fueran linealmente independientes, aunque era posible que tampoco hubiera considerando una combinación lineal de vectores colineales.
Para confirmar estas conjeturas, durante la entrevista a este alumno le pusimos tres actividades. Con base en el esquema del cuestionario diagnóstico, le proporcionamos primero dos figuras, cada una con un vector, y le preguntamos si era posible que existiera una transformación
lineal del plano que convirtiera al vector de la Figura 1 en el vector de la Figura 2. Efectivamente, como lo imaginábamos, respondió que no porque era necesario tener dos vectores (Figura 7).
Seguidamente le planteamos de nuevo el inciso a) del cuestionario diagnóstico porque ahí sí se encontraban dos vectores. Y argumentó que no porque los vectores eran linealmente dependientes.
El Estudiante 4 anotó la fórmula con 0< m <1 y n >1 y verificó que fuera lineal, comprobando si se
Figura 7. Respuesta del Estudiante 3.
T (
r v ) = ( mx 1 , nx 2 )
