Cálculo de determinantes y aplicaciones en sistemas de ecuaciones lineales, Apuntes de Matemáticas

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Conceptos B´asicos de Algebra Lineal

y Geometr´ıa Multidimensional

Alvaro Cofr´e

Duvan Henao

ii

• 1. Sistemas de ecuaciones lineales Indice general
  • 1.1. El m´etodo de eliminaci´on de Gauss
  • 1.2. Determinantes
  • 1.3. Propiedades del determinante
  • 1.4. Teorema de Laplace
  • 1.5. La regla de Cramer
• 2. Relaciones de dependencia lineal
  • 2.1. El espacio vectorial Rn
  • 2.2. Dependencia lineal
  • 2.3. Dimensi´on del espacio vectorial Rn
  • 2.4. Rango de un sistema de vectores
  • 2.5. Rango de matrices y dependencia lineal
  • 2.6. Equivalencia de matrices
  • 2.7. Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales
    • 2.7.1. Compatibilidad para sistemas no homog´eneos
    • 2.7.2. Sistemas homog´eneos
    • 2.7.3. Soluciones para sistemas arbitrarios
• 3. Algebra de matrices´
  • 3.1. Producto de matrices
  • 3.2. Matrices inversas
  • 3.3. Representaci´on matricial de un sistema de ecuaciones
  • 3.4. Rango de un producto de matrices
• 4. Vectores en Rn
  • 4.1. Propiedades
  • 4.2. Subespacios de vectores en Rn
  • 4.3. Variedades lineales
  • 4.4. Subespacios de soluciones
• 5. Distancia y Volumen en Rn
  • 5.1. M´etrica euclidiana
  • 5.2. Vol´umenes y determinantes
• 6. Sistemas de coordenadas
  • 6.1. Transformaci´on de coordenadas
  • 6.2. Variedades lineales y sistemas de ecuaciones
  • 6.3. Vol´umenes y sistemas de coordenadas cartesianas
  • 6.4. Deformaci´on continua de sistemas de coordenadas iv ´INDICE GENERAL
  • 6.5. Construcci´on de sistemas ortonormales
  • 6.6. Distancia y Variedades lineales
• 7. Movimientos R´ıgidos
  • 7.1. Movimientos r´ıgidos en R
  • 7.2. Movimientos r´ıgidos en R
• 8. Problemas propuestos

Cap´ıtulo 1

Sistemas de ecuaciones

lineales

Nota: La palabra n´umero designa a un elemento de un campo K. En nuestro caso K es el campo de los n´umeros reales o bien el de los complejos.

Definici´on 1.1 Llamaremos ecuaci´on lineal con n inc´ognitas a una ecuaci´on del tipo

a 1 x 1 + a 2 x 2 + · · · anxn = b (1.1)

Los n´umeros a 1 ,... , an se llaman coeficientes de las inc´ognitas, al n´umero b se le llama t´ermino libre. Diremos que la colecci´on ordenada de n´umeros (k 1 , k 2 ,... , kn) es una soluci´on de la ecuaci´on si

a 1 k 1 + a 2 k 2 + · · · + ankn = b

Si b = 0 la ecuaci´on se dice homog´enea.

Puesto que alguno de los coeficientes ai en (1.1) debe ser distinto de cero, podemos suponer que a 1 6 = 0. Asignemos valores arbitrarios k 2 , k 3 ,... , kn a las inc´ognitas x 2 , x 3 ,... , xn, entonces

x 1 = b − a 2 k 2 − a 3 k 3 − · · · − ankn a 1

Claramente, la colecci´on ordenada

b−a 2 k 2 −···−ankn a 1 , k^2 , k^3 ,... , kn

es una posible solu-

ci´on de la ecuaci´on. Puesto que esta es soluci´on independientemente de cu´ales son los valores de k concluimos que (1.1) tiene infinitas soluciones.

Definici´on 1.2 Sean

a 1 x 1 + · · · + anxn = c 1 (1.2) b 1 x 1 + · · · + bnxn = c 2 (1.3)

Sean α, β n´umeros arbitrarios. Diremos que la ecuaci´on

α(a 1 x 1 + · · · + anxn) + β(b 1 x 1 + · · · + bnxn) = αc 1 + βc 2 (1.4)

es combinaci´on lineal de las ecuaciones (1.2) y (1.3).

1.1. EL M ETODO DE ELIMINACI ´ ON DE GAUSS´ 3

1.1. El m´etodo de eliminaci´on de Gauss

Consideremos el sistema

a 11 x 1 + · · · + a 1 nxn = b 1 .. . am 1 x 1 + · · · + amnxn = bm

Caso 1: El coeficiente de x 1 es distinto de cero en alguna de las ecuaciones. En tal caso podemos suponer que a 11 6 = 0 (si es necesario reordenamos las ecuaciones).

Caso 2: Si aij = 0, j = 1,... , m simplemente tenemos un sistema de m ecuaciones con n − 1 inc´ognitas.

Supongamos entonces que a 11 6 = 0. Reemplacemos el sistema (1.7) por un nuevo sis- tema equivalente, que por lo tanto tiene exactamente las mismas soluciones que (1.7). Denotemos por ECi a la i-´esima ecuaci´on del sistema (1.7). Construyamos el nuevo sistema definiendo sus ecuaciones de la manera siguiente:

Ecuaci´on 1 = EC 1 Ecuaci´on 2 = EC 2 −

a 21 a 11

EC 1

Ecuaci´on 3 = EC 3 −

a 31 a 11

EC 1

Ecuaci´on m = ECm − am 1 a 11

EC 1

Obtenemos as´ı un nuevo sistema equivalente a (1.7)

a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1 nxn = b 1 a′ 22 x 2 + · · · + a′ 2 nxn = b′ 2 a′ 32 x 2 + · · · + a′ 3 nxn = b′ 3 .. . a′ m 2 x 2 + · · · + a′ mnxn = b′ m

Nota: Cada una de las ecuaciones de (1.7) se puede reconstruir f´acilmente como combinaci´on lineal de las ecuaciones de (1.8), es por esto que son equivalentes.

Caso 1: El coeficiente de x 2 es distinto de cero en alguna de las ecuaciones 2, 3,... , m.

Caso 2: Si a′ 2 j = 0 ∀ j = 2, 3 ,... , m, procedemos a la eliminaci´on de la inc´ognita x 3.

Supongamos entonces que a′ 22 6 = 0, hacemos lo mismo en (1.8). Denotemos por EC′ i a la ecuaci´on i-´esima del sistema, y por EC i′′ a la ecuaci´on i-´esima del sistema a construir.

4 CAP´ITULO 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Definimos entonces al nuevo sistema por

EC 1 ′′ = EC 1 ′ EC 2 ′′ = EC 2 ′

EC 3 ′′ = EC 3 ′ −

a′ 32 a′ 22

EC′ 2

EC 4 ′′ = EC 4 ′ −

a′ 42 a′ 22

EC′ 2

EC′′ m = EC m′ − a′ m 2 a′ 22

EC 2 ′

Obtenemos as´ı un sistema equivalente a (1.8) (y por lo tanto equivalente a (1.7))

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + · · · + a 1 nxn = b 1 a′ 22 x 2 + a′ 23 x 3 + · · · + a′ 2 nxn = b′ 2 a′′ 33 x 3 + · · · + a′′ 3 nxn = b′′ 3 .. . a′′ m 3 x 3 + · · · + a′ mnxn = b′′ m

Nota: Si en alguna parte del proceso alguna ecuaci´on tiene todos los coeficientes y el t´ermino libre iguales a cero, podemos suprimirla puesto que la ecuaci´on

0 · x 1 + 0 · x 2 + · · · + 0 · xn = 0

es satisfecha por cualquier n-tupla (k 1 , k 2 ,... , kn).

Sin en alguna parte del proceso alguna ecuaci´on tiene todos los coeficientes iguales a cero y el t´ermino libre distinto de 0 debemos concluir que el sistema es incompatible.

Supongamos que el sistema es compatible. En tal caso pueden presentarse s´olo dos situaciones:

i) Despu´es de k − 1 etapas, las inc´ognitas xk+1, xk+2,... , xn quedan todas elimi- nadas producto de suprimir ecuaciones del tipo 0 · x 1 + · · · + 0 · xn = 0. En tal caso el sistema queda con forma trapezoidal

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + · · · + a 1 kxk + · · · a 1 nxn = b 1 a′ 22 x 2 + a′ 23 x 3 + · · · + a′ 2 kxk + · · · + a′ 2 nxn = b′ 2 a′′ 33 x 3 + · · · + a′′ 3 kxk + · · · + a′′ 3 nxn = b′′ 3 .. . a (k−1) kk xk^ +^ · · ·^ +^ a

(k−1) kn xn^ =^ b

(k−1) k ,

con a 11 6 = 0, a′ 22 6 = 0, · · · , a( kkk− 1) 6 = 0, donde k < m y k < n. Como a( kkk− 1) 6 = 0 podemos asignar valores arbitrarios a xk+1, xk+2,... , xn en la ´ultima ecuaci´on y despejar xk. Luego reemplazamos en la pen´ultima ecuaci´on y despejamos xk− 1 y as´ı sucesivamente hasta llegar hasta x 1. Hemos obtenido as´ı una soluci´on que depende de n − (k − 1) par´ametros arbitrarios (nadie afirma que sea la ´unica), el

6 CAP´ITULO 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Eliminemos x 1 :

x 1 + x 2 + x 3 = 0 − 3 x 3 = 1 2 x 2 − 2 x 3 = 1

Reordenemos las ecuaciones:

x 1 + x 2 + x 3 = 0 2 x 2 − 2 x 3 = 1 − 3 x 3 = 1

Luego x 3 = − 13 , 2x 2 = 2(− 13 ) + 1 ⇒ x 2 = 16 , x 1 = − 16 + 13 = 16.

Si el sistema es homog´eneo, puesto que (0, 0 ,... , 0) es siempre soluci´on tenemos s´olo las alternativas de compatible determinado si k = n y compatible indeterminado si k < n. Tenemos as´ı: Todo sistema homog´eneo de m ecuaciones con n inc´ognitas con m < n es compatible indeterminado (s´olo puede ser reducido a la forma trapezoidal).

Llamaremos matriz del sistema al cuadro rectangular de m × n n´umeros     

a 11 a 12 · · · a 1 n a 21 a 22 · · · a 2 n .. .

am 1 am 2 · · · amn

y matriz ampliada del sistema a    

a 11 a 12 · · · a 1 n b 1 a 21 a 22 · · · a 2 n b 2 .. .

am 1 am 2 · · · amn bm

Estas definiciones permiten escribir un sistema en forma sint´etica.

Ejemplo: El sistema

x 1 + 2x 2 + 5x 3 = − 9 x 1 − x 2 + 3x 3 = 2 3 x 1 − 6 x 2 − x 3 = 25

puede escribirse como (^) 



y pueden hacerse las mismas transformaciones que realizar´ıamos con las ecuaciones del sistema con las filas de la matriz ampliada, as´ı eliminando x 1 obtenemos  

1.1. EL M ETODO DE ELIMINACI ´ ON DE GAUSS´ 7

Eliminando x 2 :  

luego x 1 = 2, x 2 = −3, x 3 = −1.

Ejemplo: Resolver el sistema

   

Eliminamos x 1 :    

Antes de eliminar x 2 , restemos la segunda ecuaci´on a la cuarta

   

Podemos ver de inmediato que el sistema es incompatible.

Ejemplo: Resolver el sistema

 

Puesto que el sistema es homog´eneo, omitimos la columna de los t´erminos libres y permutamos la primera y la tercera ecuaci´on:

 

Tomemos x 4 = λ arbitrario entonces x 3 = 45 λ luego

7 x 2 + 4λ − 11 λ = 0 ⇒ x 2 = λ

y

x 1 = 2λ +

λ − 3 λ =

λ

1.2. DETERMINANTES 9

y a continuaci´on escribamos todas aquellas que empiezan con i 1 las cuales son k!. Como el s´ımbolo i 1 queda fijo, cada una de ellas puede ser considerada como una permutaci´on de k s´ımbolos y por lo tanto, por la hip´otesis de inducci´on, pueden ser escritas en una lista en que cada una difiere de la anterior en una trasposici´on llevada a cabo en los s´ımbolos i 2 , i 3 ,... , ik+1 y empezando precisamente con i 1 i 2 i 3 · · · ikik+1.

Veamos la ´ultima de esta lista preliminar. En ella transpongamos i 1 con i 2 y repitamos el proceso. Por este m´etodo constru´ımos una lista de permutaciones donde hay k! permutaciones que empiezan con i 1 , k! que empiezan con i 2 ,... , k! que empiezan con ik+1; en total k!(k + 1) = (k + 1)! permutaciones distintas en que cada una difiere de la anterior en una trasposici´on.

Corolario 1.9 Dada una permutaci´on de n s´ımbolos, a partir de ella es posible obtener otra cualquiera mediante una sucesi´on de transposiciones.

Definici´on 1.10 Sea i 1 i 2 · · · in una permutaci´on cualquiera. Diremos que los s´ımbolos is e it forman una inversi´on si is > it pero s < t.

Por ejemplo, si n = 5 en 3 2 4 1 5

i 1 = 3, i 2 = 2, i 3 = 4, i 4 = 1, i 5 = 5.

Entonces i 1 e i 2 forman una inversi´on: i 1 > i 2 pero s = 1 < t = 2. i 3 e i 4 forman una inversi´on: i 3 > i 4 pero s = 3 < t = 4.

Definici´on 1.11 Una permutaci´on se dice par si sus s´ımbolos forman un n´umero par de inversiones, impar si forman un n´umero impar de inversiones.

Por ejemplo, si n = 6, 3 2 1 6 4 5 es impar, 3 2 1 4 6 5 es par.

Teorema 1.12 Una trasposici´on cambia la paridad de una permutaci´on.

Demostraci´on: Supongamos que los s´ımbolos a trasponer son contiguos

i 1 i 2 · · · k l · · · in

Al trasponer obtenemos i 1 i 2 · · · l k · · · in donde la disposici´on de k y l con respecto a los restantes n − 2 s´ımbolos no ha cambiado luego al pasar de k l a l k quitamos una inversi´on o agregamos una.

Supongamos ahora que entre k y l hay s s´ımbolos

k ir ir+1 · · · ir+s− 1 l

Pasamos a ir ir+1 · · · ir+s− 1 l k mediante s+1 trasposiciones y luego a l ir ir+1 · · · ir+s− 1 k mediante s trasposiciones m´as. En total para obtener la ´ultima permutaci´on de la primera realizamos 2s + 1 trasposiciones de t´erminos contiguos, cada una de las cuales cambi´o la paridad de la permutaci´on (primera parte de la demostraci´on) luego si era par ahora es impar y viceversa.

10 CAP´ITULO 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Corolario 1.13 El n´umero de permutaciones pares es igual al n´umero de permuta- ciones impares.

Demostraci´on: Hagamos una lista en que cada una difiere de la anterior por una trasposici´on. Como para n ≥ 2 n! es par hay n 2! de cada tipo.

Definici´on 1.14 Sea M el conjunto de n s´ımbolos, sea f : M → M 1-1 y sobre. Diremos que f es una sustituci´on de grado n.

Sean i 1 i 2 · · · in y αi 1 αi 2 · · · αin dos permutaciones de M , sea A el cuadro

( i 1 i 2 · · · in αi 1 αi 2 · · · αin

Podemos interpretar el cuadro de la siguiente manera: la primera fila es el dominio M de una funci´on f : M → M y la segunda fila es su recorrido de modo tal que f (ij ) = αij , j = 1, 2 ,... , n. A la inversa, cada funci´on f : M → M que sea 1-1 y sobre puede ser representada por uno de estos cuadros. Es claro que podemos identificar al conjunto de estos cuadros con el de las sustituciones de grado n; tambi´en es claro que cada sustituci´on admite diversas representaciones, por ejemplo

( 1 2 3 3 2 1

representan la misma sustituci´on de grado 3. En general, lo que define a (1.9) es la asignaci´on f (ij ) = αij luego siempre es posible obtener, mediante trasposiciones de columnas, una representaci´on de la forma

( 1 2 3 · · · n α 1 α 2 α 3 · · · αn

Lo que no se puede hacer es intercambiar el orden de las dos filas porque ellas juegan distintos papeles, as´ı

( 2 1 4 3 4 3 1 2

y

son distintas sustituciones de grado 4, en la primera f (2) = 4 en tanto que en la se- gunda f (2) = 3. De (1.10) es claro que hay n! sustituciones de grado n.

Volvamos a (1.9) y consideremos la paridad de ambas filas. Cualquier trasposici´on de dos columnas de (1.9) hace cambiar solidariamente la paridad de ambas filas, si ellas tienen la misma paridad en una representaci´on ellas tendr´an la misma paridad en cualquier otra, an´alogamente para el caso de paridad opuesta. Se concluye que el que ambas filas tengan la misma paridad o paridad opuesta no depende de la repre- sentaci´on de la sustituci´on luego podemos definir

Definici´on 1.15 Diremos que una sustituci´on de grado n es par si en alguna repre- sentaci´on ambas filas tienen la misma paridad y diremos que es impar si en alguna representaci´on ambas tienen paridad opuesta.

12 CAP´ITULO 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

orden 1 de la matriz (a 11 ).

Al determinante de la matriz (aij ) lo denotaremos por

det(aij ) ≡

a 11 a 12 · · · a 1 n a 21 a 22 · · · a 2 n .. .

an 1 an 2 · · · ann

Ejemplo: Sea

(aij ) =

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

Hay 6 productos de la forma (1.11)

a 1 α 1 a 2 α 2 a 3 α 3

donde debemos rellenar α 1 , α 2 , α 3 con todas las permutaciones posibles de los ´ındices 1,2,3. Los 6 productos posibles son

a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32

correspondientes a las permutaciones pares 1 2 3, 2 3 1, 3 1 2, ellos mantienen su signo. Los otros 3 son

a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 a 13 a 22 a 31

correspondientes a las permutaciones impares 2 1 3, 1 3 2, 3 2 1, ellos deben ser multiplicados por -1. Luego

det(aij ) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 12 a 21 a 33 − a 11 a 23 a 32 − a 13 a 22 a 31

1.3. Propiedades del determinante

Definici´on 1.16 Sea (aij ) una matriz cuadrada de orden n. A la matriz cuadrada de orden n (bij ), donde bij = aji i = 1, 2 ,... , n, j = 1, 2 ,... , n la llamaremos la traspuesta de (aij ), se anota (bij ) = (aij )t

Es claro que (bij ) se obtiene de (aij ) poniendo las filas de aij como columnas de bij.

Ejemplo:

(aij ) =

 (^) ⇒ (aij )t^ =

En general si

(aij ) =

a 11 a 12 · · · a 1 n a 21 a 22 · · · a 2 n .. .

an 1 an 2 · · · ann

⇒ (aij )t^ =

a 11 a 21 · · · an 1 a 12 a 22 · · · an 2 .. .

a 1 n a 2 n · · · ann

1.3. PROPIEDADES DEL DETERMINANTE 13

Nota: Cada producto a 1 α 1 a 2 α 2 · · · anαn se llama un t´ermino del determinante.

Propiedad 1: det(aij ) = det(aij )t

Es evidente que ambos determinantes tienen los mismos t´erminos, hay que demostrar que el mismo t´ermino tiene el mismo signo en det(aij ) y en det(aij )t. Sea

a 1 α 1 a 2 α 2 · · · anαn

un t´ermino de det(aij ). Si llamamos (bij ) = (aij )t^ tal t´ermino es en det(bij )

bα 11 bα 22 · · · bαnn.

Si reorden´aramos los factores de modo que el producto quede en la forma can´onica b 1 γ 1 b 2 γ 2 · · · bnγn esto ser´ıa lo mismo que llevar la sustituci´on ( α 1 α 2 · · · αn 1 2 · · · n

a la forma

1 2 3 · · · n γ 1 γ 2 γ 3 · · · γn

Pero esta ´ultima tiene la misma paridad que

α 1 α 2 · · · αn 1 2 · · · n

la cual a su vez

tiene la misma paridad que

1 2 3 · · · n α 1 α 2 α 3 · · · αn

(la suma del n´umero de in-

versiones es la misma).

Se concluye que a 1 α 1 a 2 α 2 · · · anαn tiene el mismo signo considerado como t´ermino de det(bij ).

De la propiedad 1 se deduce que cualquier afirmaci´on sobre las filas del determinante es v´alidad para sus columnas y viceversa, por esta raz´on las propiedades que siguen s´olo se demostrar´an para las filas del determinante.

Propiedad 2: Si para alg´un i, 1 ≤ i ≤ n, aij = 0 ∀ j = 1 , 2 ,... , n entonces det(aij ) = 0.

En efecto, cada t´ermino contiene un factor de la i-´esima fila (definici´on de determi- nante) luego todos los t´erminos son iguales a cero.

Propiedad 3: Si un determinante se obtiene de otro permutando dos filas todos los t´erminos del primer determinante ser´an t´erminos del segundo pero con signos contra- rios, es decir, al permutar dos filas el determinante s´olo cambia de signo.

Supongamos que permutamos las filas i y j, i < j. Sea (bij ) la matriz que se obtiene al permutar las filas. Consideremos un t´ermino cualquiera del determinante original,

a 1 α 1 a 2 α 2 · · · aiαi · · · ajαj · · · anαn

y su signo est´a determinado por la paridad de ( 1 2 · · · i · · · j · · · n α 1 α 2 · · · αi · · · αj · · · αn

1.3. PROPIEDADES DEL DETERMINANTE 15

En efecto,

a 1 α 1 a 2 α 2 · · · anαn = a 1 α 1 a 2 α 2 · · · (bj + cj ) · · · anαn = a 1 α 1 · · · bj · · · anαn + a 1 α 1 · · · cj · · · anαn

Pero el primer sumando es un t´ermino del determinante original salvo que su fila i ha sido reemplazada por b 1 b 2 · · · bn, an´alogamente para el segundo sumando.

Ejemplo:

∣ ∣∣ ∣ ∣ ∣

a b c d e f

a b c d e f

a b c d e f

a b c d e f

Definici´on 1.17 Diremos que la i-´esima fila de det(aij ) es combinaci´on lineal de las dem´as filas del determinante si hay constantes k 1 , k 2 ,... , ki− 1 , ki+1,... , kn tales que

aij =

i∑− 1

r=

kr arj +

∑^ n

r=i+

kr arj j = 1, 2 ,... , n

Ejemplo: Consideremos el determinante ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 a 1 + 2b 1 a 2 + 2b 2 a 3 + 2b 3

La tercera fila es combinaci´on lineal de las filas 1 y 2, k 1 = 1, k 2 = 2, entonces

a 3 j =

∑^2

r=

br arj j = 1, 2 , 3.

Nota: Es posible que algunos de los kr sean iguales a cero. En tal caso la fila i es combinaci´on lineal de algunas de las restantes filas pero con la argucia de tomar los restantes kr como iguales a cero podemos fingir que es combinaci´on lineal de todas las filas. En el caso en que todos los kr menos uno sean iguales a cero, por ejemplo kj 6 = 0, obtenemos que la fila i, i 6 = j es combinaci´on lineal de la fila j, esto es, la fila i es proporcional a la fila j. Se concluye que la proporcionalidad se puede considerar como un caso particular de combinaci´on lineal.

Propiedad 8: Si una de las filas del determinante es combinaci´on lineal de las dem´as, el determinante es igual a cero.

Supongamos que la i-´esima fila es combinaci´on lineal de las dem´as filas. Descomponga- mos el determinante en una suma de determinantes cuyas filas son todas iguales a las del determinante original salvo la i-´esima, tal como lo permite la propiedad 7. Cada uno de estos, o bien tiene una fila de ceros, o bien tiene dos filas proporcionales, en ambos casos el sumando en cuesti´on es igual a cero.

16 CAP´ITULO 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Propiedad 9: El determinante no cambia si a los elementos de una fila se agregan los elementos de otra fila multiplicados por un mismo n´umero.

Supongamos que a la i-´esima fila se le agrega la j-´esima multiplicada por k. Obtenemos un determinante cuya i-´esima fila es air + kajr , r = 1, 2 ,... , n. Tal como antes usamos la propiedad 7.

Nota: Es claro que el determinante no cambia si a una fila se le agrega una combi- naci´on lineal de las dem´as.

Ejemplo: Calcule

am + bp an + bq

cm + dp cn + dq

usando la propiedad 7.

am an am + dp cn + dq

bp bq cm + dp cn + dq

am an cm cn

am an dp dq

bp bq cm cn

bp bq dp dq

= 0 + ad

m n p q

∣ +^ bc

p q m n

∣ + 0^ usando la propiedad 3

= −ad

p q m n

∣ +^ bc

p q m n

= (bc − ad)

p q m n

Ejemplo: Calcule

Por la propiedad 5

aplicando la propiedad 9 las filas 2, 3, 4, 5 tenemos: