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UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID
MATEM
ATICAS PARA LA ECONOM
IA CURSO 2008–
PROBLEMAS (SOLUCIONES )
PARTE I: INTRODUCCI
ON AL
ALGEBRA LINEAL
Hoja 1: Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
1-1. Calcular los siguientes determinantes:
a)
b)
c)
Soluci´on: La soluci´on del apartado a) es −15, la del apartado b) −36 y la del c) 32.
1-2. Si
a b c
p q r
u v w
= 25, calc´ulese razonadamente el valor de
2 a 2 c 2 b
2 u 2 w 2 v
2 p 2 r 2 q
Soluci´on:
2 a 2 c 2 b
2 u 2 w 2 v
2 p 2 r 2 q
sacando el n´umero 2 en cada una de las filas, obtenemos
3
a c b
u w v
p r q
que, intercambiando las columnas 2 y 3 es
3
a b c
u v w
p q r
e intercambiando las filas 2 y 3,
3
a b c
p q r
u v w
3 × 25 = 200
1-3. Comprueba las siguientes identidades sin desarrollar los determinantes:
a)
1 a
2 a
3
1 b
2 b
3
1 c
2 c
3
bc a a
2
ca b b
2
ab c c
2
b)
1 a b + c
1 b c + a
1 c a + b
Soluci´on: a): En el determinante, ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
bc a a 2
ac b b 2
ab c c 2
multiplicamos y dividimos por a obtenemos
a
a
bc a a 2
ac b b 2
ab c c 2
a
abc a 2 a 3
ac b b 2
ab c c 2
Haciendo lo mismo con b, obtenemos que este determinante es el mismo que
ab
abc a 2 a 3
abc b 2 b 3
ab c c 2
y ahora con c,
abc
abc a 2 a 3
abc b 2 b 3
abc c 2 c 3
pero sacando abc en la primera columna, obtenemos que la ´ultima expresi´on es igual a
abc
abc
1 a 2 a 3
1 b 2 b 3
1 c
2 c
3
1 a 2 a 3
1 b 2 b 3
1 c
2 c
3
b): Sumando la segunda columna a la tercera en el determinante ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 a b + c
1 b a + c
1 c a + b
obtenemos (^) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
1 a a + b + c
1 b a + b + c
1 c a + b + c
= (a + b + c)
1 a 1
1 b 1
1 c 1
porque las columnas 1 y 3 son iguales.
1-4. Resolver la ecuaci´on sin desarrollar el determinante, utilizando las propiedades de los determinantes: ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
a b c
a x c
a b x
Soluci´on: Debemos suponer que a 6 = 0, porque si no el determinante es 0 para cualquier valor real x.
Como, ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a b c
a x c
a b x
= a
1 b c
1 x c
1 b x
la ecuaci´on del enunciado (suponiendo a 6 = 0) es equivalente ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 b c
1 x c
1 b x
Restamos la primera fila a la segunda y tercer filas y obtenemos la ecuaci´on
1 b c
0 x − b 0
0 0 x − c
= (x − b)(x − c)
por lo que las soluciones son x = b y x = c.
1-5. Calcula, simplificando previamente: a)
ab 2 b 2 −bc
a 2 c 3 abc 0
2 ac 5 bc 2 c 2
b)
x x x x
x a a a
x a b b
x a b c
c)
Soluci´on: a): En el determinante ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ab 2 b
2 −bc
a
2 c 3 abc 0
2 ac 5 bc 2 c
2
sacamos fuera a de la primera columna, b de la segunda y c de la tercera, con lo que obtenemos
abc
b 2 b −b
ac 3 ac 0
2 c 5 c 2 c
y ahora sacamos b de la primera fila, a de la segunda y c de la tercera,
a
2 b
2 c
2
c 3 c 0
2 5 2
1-6. Sea A una matriz cuadrada tal que A t A = I. Demuestra que |A| = ± 1.
Soluci´on: Notemos que 1 = |I| = |A
t A| = |A
t ||A| = |A|
2
. Por lo que |A|
2 = 1 y los ´unicos valores posibles
son |A| = 1 o |A| = −1.
1-7. Hallar el rango de las siguientes matrices:
A =
B =
Soluci´on: El rango
rg A = rg
es el mismo que (restando a la segunda fila la primera multiplicada por 2 y a la tercera fila la primera
multiplicada por 4)
rg
(^) = rg
Por otra parte,
rg
(^) = rg
(^) = rg
1-8. Estudia, seg´un los valores de x el rango de las siguientes matrices:
A =
x 0 x
2 1
1 x
2 x
3 x
0 0 1 0
0 1 x 0
B =
1 x x
2
C =
x − 1 0 1
0 x − 1 1
1 0 − 1 2
Soluci´on: Calculamos el rango de A. En primer lugar, nos fijamos en el menor ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
1 x
2 x
3
0 1 x
1 x
por lo que rg A ≥ 3, independientemente de lo que valga x. Desarrollando por la tercera fila vemos que el
determinante de A es
|A| =
x 0 1
1 x 2 x
0 1 0
y desarrollando por la fila 3 obtenemos
|A| = −
x 1
1 x
= −(x
2 − 1)
por lo que el rango es 4 si x
2 6 = 1, es decir si x 6 = 1 y x 6 = −1. Resumiendo,
rg A =
3 , si x = 1 o x = −1;
4 , en los dem´as casos.
Ahora calculamos el rango de B. Observemos que el menor ∣ ∣ ∣ ∣
no se anula, por lo que rg B ≥ 2. Por otra parte
rg B = rg
1 x x 2
(^) = rg
1 x x 2
(^) = rg
1 x x 2
0 2 − x 4 − x 2
y este rango es 3, excepto si 5(2 − x) = 4 − x
2
. Esto se verifica si y s´olo si x
2 − 5 x + 6 = 0, es decir si
x =
Resumiendo,
rg B =
2 , si x = 2 o x = 3;
3 , en los dem´as casos.
Finalmente, calculamos el rango de C.
rg C = rg
x − 1 0 1
0 x − 1 1
1 0 − 1 2
(^) = rg
x − 1 0 1
0 x − 1 1
rg
0 − 1 x 1 − 2 x
0 x − 1 1
(^) = rg
0 − 1 x 1 − 2 x
0 0 x
2 − 1 1 + x − 2 x
2
y este rango es 3, excepto si x
2 − 1 = 0 y 1 + x − 2 x
2 = 0. ¿Hay alg´un valor de x que resuelva simult´aneamente
estas dos ecuaciones? Las soluciones de x
2 − 1 = 0 son x = 1 y x = −1. Mientras que las soluciones de
2 x
2 − x − 1 son
x =
Vemos que x = 1 es la ´unica soluci´on simult´anea de las dos ecuaciones. Por tanto,
rg C =
2 , si x = 1;
3 , en los dem´as casos.
1-9. Suponiendo que A y B son matrices regulares (det 6 = 0), y que hay conformidad de ´ordenes para poder realizar
las operaciones, despeja la matriz X en las expresiones siguientes:
(a) X
t · A = B
(b) (X · A)
− 1 = A
− 1 · B
Calcula la matriz X en las ecuaciones anteriores si A =
(^) y B =
Soluci´on: a): Tomando transpuestas en la ecuaci´on X
t A = B, obtenemos que B
t = (X
t A)
t = A
t X y,
despejando X, queda que X = (A
t )
− 1 B
t = (A
− 1 )
t B
t
. En el caso particular en que
A =
B =
obtenemos que
X = (A
− 1 )
t B
t
b): Tomando inversas en la ecuaci´on (XA) − 1 = A − 1 B vemos que XA = (A − 1 B) − 1 = B − 1 (A − 1 ) − 1 =
B − 1 A. Y, como A es invertible, la podemos despejar X = B − 1 AA − 1 = B − 1
. En el caso particular en que
A =
B =
queda
X = B
− 1
1-10. Calcula, siempre que sea posible, la inversa de las matrices siguientes:
A =
1 0 x
−x 1 −
x 2
2 0 0 1
B =
0 x 3
4 1 −x
Soluci´on: Utilizando la f´ormula para calcular la inversa de A, obtenemos que
A
− 1
1 0 −x
x 1
−x 2
2 0 0 1
y ahora sumamos la tercera fila a la primera y le sumamos a la segunda la tercera fila multiplicada por t − 4,
t 2
t^2 − 4 t+
1 t^2 − 4 t+
−t t^2 − 4 t+ − 12 t^2 − 4 t+
t− 4 t^2 − 4 t+
3 t^2 − 4 t+ 4 t t^2 − 4 t+
1 t^2 − 4 t+
−t t^2 − 4 t+
por lo que
A
− 1
t 2 − 4 t + 3
t
2
− 12 t − 4 3
4 t 1 −t
1-11. Calcula, siempre que sea posible, la inversa de las matrices siguientes:
A =
B =
C =
Soluci´on:
Utilizaremos el m´etodo de Gauss para calcular la inversa. Empezamos con la matriz
( A| I) =
dividiendo la primera fila entre 4 obtenemos
y ahora restamos la tercera fila a la segunda, con lo que obtenemos
y sumamos a la tercera fila la primera multiplicada por 3,
ahora sumamos la tercera fila a la primera
a la tercera fila le sumamos la segunda multiplicada por 3/2,
multiplicamos la tercera fila por − 2
y la tercera fila la sumamos a la segunda y la restamos a la primera
con lo que la inversa es
El determinante de la matriz B es |B| = 0, por lo que no tiene inversa.
Ahora calculamos la inversa de C, por el m´etodo de Gauss. Empezamos con la matriz
( C| I) =
En primer lugar, multiplicamos la fila 3 por −1 e intercambiamos las filas 1 y 3
( C| I) =
sumamos a la tercera fila la segunda multiplicada por 2
( C| I) =
y sumamos a la segunda fila, la primera multiplicada por 2
( C| I) =
intercambiamos las filas 2 y 3
( C| I) =
multiplicamos la tercera fila por − 1
( C| I) =
sumamos la tercera fila a la primera
( C| I) =
y ahora restamos la segunda fila a la primera
( C| I) =
y obtenemos
C
− 1
1-12. Dado el sistema
mx − y = 1
x − my = 2m − 1
se pide calcular m para que el sistema
(a) no tenga soluci´on,
(b) tenga infinitas soluciones,
(c) tenga soluci´on ´unica
(d) tenga una soluci´on para la que x = 3.
Soluci´on: La matriz ampliada asociada al sistema es ( m − 1
1 −m
2 m − 1
cuyo rango es el mismo que
rg
1 −m
m − 1
2 m − 1
1
= rg
1 −m
0 m 2 − 1
2 m − 1
1 + m − 2 m 2
En este caso, el sistema original es equivalente al siguiente sistema
x + ay = 1
ay + z = 2
(1 + a)z = 2
y obtenemos la soluci´on z = 1, y = 1/a, x = 0.
Si a = −1, entonces
rg(A|B) = rg
de donde rg(A) = rg(A|B) = 2 que es menor que el n´umero de inc´ognitas, por lo que el sistema es
compatible indeterminado. Ahora, el sistema original es equivalente al siguiente sistema
x − y = 1
−y + z = 2
para obtener las soluciones tomamos z como un par´ametro y despejamos y = z − 2, x = 1 + y = z − 1.
Por tanto el conjunto de soluciones es
{(z − 1 , z − 2 , z) ∈ R
3 : z ∈ R}
Finalmente, Si a = 0, entonces
rg(A|B) = rg
y vemos que rg(A) = 2 < rg(A|B) = 3, por lo que el sistema es incompatible.
1-14. Discutir y resolver el sistema siguiente
x + y + z + 2t − w = 1
−x − 2 y + 2w = − 2
x + 2z + 4t = 0
Soluci´on: La matriz ampliada (A|B) es
(A|B) =
Haciendo operaciones elementales con filas vemos que
rg(A|B) = rg
(^) = rg
y vemos que rg(A) = rg(A|B) = 2 menor que el n´umero de inc´ognitas. El sistema es compatible indetermi-
nado. Como hay cinco inc´ognitas obtendremos 5 − 2 = 3 par´ametros. El sistema que tenemos que resolver es
equivalente al siguiente sistema,
x + y + z + 2t − w = 1
−y + z + 2t + w = − 1
Elegimos los par´ametros z, w, y t y despejamos y = z + 2t + w + 1, x = 1 − y − z − 2 t − w = − 2 z − 4 t. El
conjunto de soluciones es
{(− 2 z − 4 t, z + 2t + w + 1, z, t, w) ∈ R
5 : z, t, w ∈ R}
1-15. Discutir y resolver el sistema siguiente, seg´un los valores de los par´ametros:
x + y + z = 0
ax + y + z = b
2 x + 2y + (a + 1) z = 0
Soluci´on: La matriz ampliada es
rg(A|B) = rg
a 1 1
2 2 a + 1
b
0
Haciendo operaciones elementales por filas obtenemos
rg(A|B) = rg
0 1 − a 1 − a
0 0 a − 1
b
0
Si a 6 = 1, entonces el sistema es compatible determinado y es equivalente al sistema
x + y + z = 0
y + z = b
(a + 1)z = 0
La soluci´on es
z = 0, y =
b
1 − a
, x =
−b
1 − a
Ahora estudiamos el sistema para el valor a = 1. Entonces,
rg(A|B) = rg
b
0
y vemos que, si b 6 = 0, entonces el sistema es incompatible, porque, es ese caso rg(A) = 1, rg(A|B) = 2.
Por ´ultimo, si a = 1 y b = 0, entonces rg(A) = rg(A|B) = 1 y el sistema es compatible indeterminado con
3 − 1 = 2 par´ametros. En este caso, el sistema original es equivalente al sistema siguiente
x + y + z = 0
utilizando y, z como par´ametros, el conjunto de soluciones es
{(−y − z, y, z) : y, z ∈ R} =< (− 1 , 0 , 1), (− 1 , 1 , 0) >
Resumiendo,
a 6 = 1, S.C.D. cuya soluci´on es z = 0, y =
b 1 −a
, x =
−b 1 −a
a = 1, Si
b 6 = 0, S.I.;
b = 0, S.C.I. cuyas soluciones son < (− 1 , 0 , 1), (− 1 , 1 , 0) >.
1-16. Discutir y resolver el sistema siguiente, seg´un los valores de los par´ametros:
x − 2 y + bz = 3
5 x + 2y = 1
ax + z = 2
Soluci´on: La matriz ampliada es
(A|B) =
1 − 2 b
5 2 0
a 0 1
Haciendo operaciones elementales por filas obtenemos
rg(A|B) = rg
1 − 2 b
0 12 − 5 b
0 2 a 1 − ab
2 − 3 a
Restando a la tercer fila la segunda multiplicada por a/6 queda
rg(A|B) = rg
1 − 2 b
0 12 − 5 b
0 0 1 −
ab 6
2 a 3
De aqu´ı vemos que si ab 6 = 6, entonces el sistema es compatible determinado y la (´unica) soluci´on es
z =
12 − 4 a
6 − ab
, y =
12 − 4 a
6 − ab
b, x = 3 +
12 − 4 a
6 − ab
b −
12 − 4 a
6 − ab
b
y la soluci´on es
x =
= 6 y =
= − 2 z =
1-20. Dado el sistema de dos ecuaciones con tres inc´ognitas siguiente, { x + 2y + z = 3
ax + (a + 3)y + 3z = 1
(a) Estudiar si para alg´un valor de a el sistema es incompatible.
(b) Para cada valor del par´ametro a, para el que el sistema sea compatible, escribir la expresi´on general de
todas sus soluciones.
Soluci´on: El rango de la matriz asociada es
rg(A|B) = rg
a a + 3 3
= rg
0 3 − a 3 − a
1 − 3 a
Vemos que si a = 3 el sistema es incompatible porque rg(A|B) = 2, rg(A) = 1. En el caso en que a 6 = 3 el
sistema es compatible indeterminado y equivalente al sistema
x + 2y + z = 3
(3 − a)y + (3 − a)z = 1 − 3 a
y tomando z como par´ametro, obtenemos las soluciones
7 + 3a
3 − a
1 − 3 a
3 − a
− z, z) : z ∈ R}
1-21. Dado el sistema homog´eneo
3 x + 3y − z = 0
− 4 x − 2 y + mz = 0
3 x + 4y + 6z = 0
(a) Calcular m para que tenga algunas soluci´on distinta a la trivial.
(b) resolverlo para el valor calculado en el apartado anterior.
Soluci´on: El rango de la matriz asociada al sistema es
rg
− 4 − 2 m
3 4 6
= rg
− 1 1 m − 1
0 1 7
intercambiamos las dos primeras filas
= rg
− 1 1 m − 1
3 3 − 1
0 1 7
(^) = rg
− 1 1 m − 1
0 6 3 m − 4
0 1 7
intercambiamos las dos ´ultimas filas
= rg
− 1 1 m − 1
0 1 7
0 6 3 m − 4
(^) = rg
− 1 1 m − 1
0 1 7
0 0 3 m − 46
para que tenga soluci´on distinta de la trivial, el determinante ha de valer cero. Esto ocurre cuando m = 46/3.
Para este valor de m, el sistema original es equivalente a
−x + y +
z = 0
y + 7z = 0
de donde obtenemos las soluciones
{(22z/ 3 , − 7 z, z) : z ∈ R}
