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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
CARRERA DE ESTADISTICA
NOMBRE: FERNANDO URRESTA FECHA: 30/06/
TAREA 4
CONSULTA SOBRE ÁLGEBRA MATRICIAL
DEFINICIÓN DE MATRIZ
Se puede definir una matriz, como un conjunto de elementos (números) ordenados en filas (m) y columnas (n) Para designar una matriz se emplean letras mayúsculas. Cada uno de los elementos de la matriz (aij) tiene dos subíndices. El primero i indica la fila a la que pertenece y el segundo j la columna. Esta es una matriz de m filas y n columnas, es decir, de dimensión m x n. Esta matriz también se puede representar de la forma siguiente: A = (aij) (^) m x n. Si el número de filas y de columnas es igual ( m = n ), entonces se dice que la matriz es de orden SUMA DE MATRICES Dadas dos matrices A = (aij) y B = (bij) de dimensión m x n, la matriz A + B es otra matriz
S = (sij) de la misma dimensión, de modo que cada elemento sij de la matriz S, se obtiene como: sij = aij + bij. Es decir, para que dos matrices A y B se puedan sumar tienen que tener la misma dimensión y, en este caso, se suman los elementos que ocupan la misma posición. PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1. Conmutativa : A + B = B + A 2. Asociativa : (A + B) + C = A + (B + C) 3. Elemento neutro : 0 (matriz cero o matriz nula). 0 + A = A + 0 = 0 4. Elemento simétrico : - A (matriz opuesta de A). A + (-A) = (-A) + A = 0 La opuesta de la matriz A se obtiene cambiando de signo todos los elementos de la matriz A: - (aij) = (-aij).
el número de columnas de la matriz B. Cada elemento pij de la matriz P se obtiene multiplicando la fila i de la matriz A por la columna j de la matriz B PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES Sean A, B Y C matrices. Siempre que sea posible efectuar los productos indicados, de acuerdo con la condición anterior, se verifica:
1. Asociativa : (A. B). C = A. (B .C) 2. Elemento neutro : I ( matriz identidad o unidad ) A. I = I. A = A 3. Distributiva respecto de la suma de matrices : A. ( B + C ) = A. B + A. C 4. El producto de matrices no es, en general, conmutativo : A. B ≠ B. A 5. Matriz Inversa : Dada una matriz cuadrada A, si existe otra matriz B que verifique A. B = B. A = I (matriz identidad), entonces se dice que B es la matriz inversa de A y se representa por A-1. ( A. A-1^ = A-1^. A = I ) INVERSA DE UNA MATRIZ Dada una matriz cuadrada A, si existe otra matriz B del mismo orden que verifique: A. B = B. A = I ( I = matriz identidad ), se dice que B es la matriz inversa de A y se representa por A-1.
Si existe la matriz inversa de A, se dice que la matriz A es inversible o regular. En caso contrario, se dice que la matriz A es singular. ¿Cuándo tiene inversa una matriz? Una matriz A de orden n (n filas y n columnas) tiene inversa cuando su rango es n , es decir, cuando el rango de dicha matriz coincide con su orden. ¿Cómo se puede calcular la inversa de una matriz? Básicamente hay tres procedimientos para calcular la inversa de una matriz. Son los siguientes:
1. Aplicando la definición y resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes. Resulta muy laborioso cuando el orden de la matriz es superior a 2. 2. Por el método de Gauss. 3. Por determinantes y adjuntos (que describiremos en la unidad de determinantes). CALCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ APLICANDO LA DEFINICIÓN La siguiente escena describe como se calcula la inversa de una matriz de orden 2 o de orden 3 aplicando la definición. Este procedimiento es bastante laborioso y poco recomendable cuando el orden de la matriz es mayor que 2, pues, por ejemplo, para una matriz de orden 3 hay que resolver 3 sistemas de ecuaciones lineales, cada uno de ellos con tres ecuaciones y tres incógnitas. CALCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ POR EL MÉTODO DE GAUSS Para calcular la inversa de una matriz cuadrada A , aplicando el método de Gauss , construimos, en primer lugar, la matriz (A | I) , siendo I la matriz identidad del mismo orden que A. Después de realizar diversas operaciones sobre las filas de ésta nueva matriz, tendremos que conseguir que se transforme en la siguiente (I | B). La matriz B será la inversa de la matriz A , es decir: B = A-. Las operaciones que podemos realizar con las filas de la citada matriz son:
a) Multiplicar o dividir una fila por un número distinto de cero.
b) Sumarle a una fila otra fila multiplicada por un número distinto de cero.
0 3 11 |^
− 2 R 2 + 3 R 1 → R 2
0 3 11 |^
5 R 3 + 3 R 2 → R 3
0 0 76 |^
R 3 ÷ 76 → R 3
0 0 1 |^
− R 3 + R 1 → R 1
0 0 1 |^
− 7 R 3 + R 2 → R 2
0 0 1 |^
− 5 R 5 + R 2 → R 1
R 1 ÷ (− 10 ) → R 1
POR LO TANTO: X = 2
0 0 1 |^
R 2 ÷ (− 5 ) → R 2
0 0 1 |^
