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1. 1 Álgebra de matrices
OBJETIVOS
- Definir e identificar las diferentes clases de matrices.
- Efectuar operaciones de suma, resta, multiplicación por un escalar y multiplicación de
matrices.
- Calcular la matriz traspuesta de una matriz.
Definición de matriz
Una matriz A es un arreglo rectangular de elementos formado en filas y columnas,
usualmente se representa por m el número de filas y por n el número de columnas y se
dice que es una matriz de orden m n.
Las matrices se pueden representar utilizando corchetes o bien paréntesis.
Notación
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
n
n
n
m m m mn
a a a a
a a a a
A a a a a
a a a a
=
Notación breve
𝒊𝒋
𝒎𝒙𝒏
, los subíndices ij varían {
donde 𝒂
𝒊𝒋
se conoce como el ij-ésimo elemento de la matriz A, ocupa la 𝒊 − é𝒔𝒊𝒎𝒂 fila y
la 𝒋 − é𝒔𝒊𝒎𝒂 columna
Las matrices generalmente se nombran por letras mayúsculas 𝐴, 𝐵, … y sus elementos
por letras minúsculas.
Por ejemplo, la siguiente es una matriz de 3 2
pues tiene 3 filas y 2 columnas
2 4
6 0
5 3
A
=
− −
El elemento localizado en la tercera fila y primera columna es
31
a = −5.
Tamaño o forma de una matriz
Es el número de filas y columnas de la matriz se denota por 𝑚𝑥𝑛.
Clases de Matrices
Algunas matrices tienen características muy particulares que las hacen especiales, entre
estas tenemos:
Matriz cuadrada
Es una matriz que tiene el mismo número de filas y columnas, es decir que su orden es
de n n.
A =
[
11
12
13
21
22
23
31
32
33
1 𝑛
2 𝑛
3 𝑛
𝑛 1
𝑛 2
𝑛 3
𝑛𝑛
]
los elementos 𝑎 𝑖𝑖
forman la diagonal principal de la matriz A
Por ejemplo la siguiente es una matriz cuadrada de 3 3
2 4 5
0 3 1
2 3 6
B
− −
= −
−
Matriz identidad ( I )
Es una matriz cuadrada que tiene el 1 en la diagonal principal y el 0 en todas las otras
posiciones.
Formalmente es una matriz de n n tal que {
1
ij
a = si i = j
0
ij
a = si i j.
y
A continuación se muestran las matrices identidad de 2 2 y de 3 3
2 3
1 0 0
1 0
0 1 0
0 1
0 0 1
I I
= =
La matriz identidad ( I ) es el elemento neutro de la multiplicación de matrices
Matriz triangular superior
Es una matriz cuadrada que tiene como elementos el 0 en todas las posiciones por debajo
de la diagonal principal y cualquier número en la diagonal principal o por encima de ella.
Formalmente una matriz es triangular superior si 0,
ij
a =
cuando i j
. La
siguiente es una matriz triangular superior 3 3
𝐴 = [
]
Matriz simétrica
Se dice que una matriz A de n por n es simétrica si A
T
= A
Ejemplo:
Si 𝐴 = [
1 − 1 2
− 1 0 3
2 3 7
] y 𝐴
𝑇
= [
1 − 1 2
− 1 0 3
2 3 7
] A
T
= A A es simétrica
Matriz escalonada
Una matriz se encuentra en forma escalonada si cumple las condiciones siguientes:
i. En cualquier fila, el primer número diferente de cero debe ser 1 y 𝑎
11
= 1 , si no
todos son ceros.
ii. En cualquier fila que no contiene solo ceros, el primer 1 debe estar colocado a la
derecha del primer 1 de cualquier fila superior. Al primer 1 en cada fila se le
suele llamar pivote.
iii. Todas las filas, cuyos elementos son todos cero (si las hay); aparecen en la parte
inferior de la matriz.
Ejemplos de matrices escalonadas
[
] [
] [
] [
]
Matriz escalonada reducida
Una matriz se encuentra en forma escalonada reducida si cumple las condiciones
siguientes:
i. Es una matriz escalonada y
ii. Cualquier columna que contiene el primer 1 (pivote) de una fila, tiene ceros en
la parte superior.
El siguiente ejemplo muestra una matriz escalonada reducida.
[
]
Otro ejemplo de escalonada reducida
[
]
Operaciones con matrices
Las operaciones suma y resta, multiplicación por un escalar y multiplicación de matrices
se define de la forma siguiente.
1. Suma de matrices
Para sumar o restar dos matrices se suman o se restan los elementos que se encuentran
en la misma posición, por lo tanto, solo se pueden sumar o restar matrices que son del
mismo tamaño.
Formalmente si
ij
A = a
y
ij
B = b
son dos matrices de m n , entonces la suma y
resta de A y B es una matriz m n se define
ij ij
A + B = a + b
2. Multiplicación de una matriz A por un escalar
Para multiplicar una matriz 𝐴 = [𝑎 𝑖𝑗
]
𝑚𝑥𝑛
por un escalar 𝑘 se multiplican todos los
elementos de la matriz por el escalar.
Formalmente si k es un número real y A es una matriz m n , entonces la matriz
kA
es una matriz
m n dada por
ij ij
kA = k a = ka
Ejemplo 1: Suma de matrices
Dadas las matrices
A
y
B
Calcule: a. A + B b. A − B
Ejemplo 3: Multiplicación de matrices
Dadas las matrices
𝐴 = [
] y 𝐵 = [
]
Calcule: a. AB , b. BA , c.
2
B − 2 B
Solución
a. La multiplicación AB si está definido pues el número de columnas de A
es igual al número de filas de B. Sea 𝐶 = 𝐴𝐵, entonces C tiene el número
de filas de A y el número de columnas de B. Es decir que C es una matriz
de 2 3.
Los elementos la multiplicación están dados por
𝑐
11
= (− 2 )(− 2 ) + ( 5 )( 0 ) + ( 0 )( 2 ) = 4
𝑐
12
= (− 2 )(− 4 ) + ( 5 )( 3 ) + ( 0 )(− 3 ) = 23
𝑐
13
= (− 2 )( 5 ) + ( 5 )(− 1 ) + ( 0 )( 6 ) = − 15
𝑐
21
= (− 1 )(− 2 ) + ( 6 )( 0 ) + ( 8 )( 2 ) = 18
𝑐
22
= (− 1 )(− 4 ) + ( 6 )( 3 ) + ( 8 )(− 3 ) = − 2
𝑐
23
= (− 1 )( 5 ) + ( 6 )(− 1 ) + ( 8 )( 6 ) = 37
La multiplicación es entonces
2 4 5
2 5 0 4 23 15
0 3 1
1 6 8 18 2 37
2 3 6
AB
− −
− −
= − =
− −
−
b. La multiplicación BA no está definido pues el número de columnas de B
no es igual al número de filas de A
c. La potencia de una matriz cuadrada se calcula de la misma forma que la
multiplicación, 𝐵
𝑛
= 𝐵𝐵𝐵... 𝐵 n veces, n un entero positivo mayor a 1.
Ejemplo
2
= 𝐵𝐵 = [
] [
]
2
Como B es una matriz cuadrada el número de filas es igual al número de
columnas se tiene que la multiplicación C está definido y es una matriz
de 3 3. Cada elemento la multiplicación está dado por
11
c = ( −2)( −2) + ( −4)(0) + (5)(2) = 14
12
c = ( − 2)( −4) + ( −4)(3) + (5)( −3) = − 19
13
c = ( − 2)(5) + ( − 4)( −1) + (5)(6) = 24
21
c = (0)( −2) + (3)(0) + ( − 1)(2) = − 2
23
c = (0)(5) + (3)( −1) + ( −1)(6) = − 9
31
c = (2)( −2) + ( −3)(0) + (6)(2) = 8
32
c = (2)( −4) + ( −3)(3) + (6)( −3) = − 35
33
c = (2)(5) + ( − 3)( −1) + (6)(6) = 49
22
c = (0)( −4) + (3)(3) + ( −1)( −3) = 12
Entonces
2
= [
] [
] = [
]
Ahora podemos calcular la operación requerida
2
B − 2 B
[
] − 2 [
] = [
]
Propiedades de las operaciones con matrices
En el siguiente cuadro se muestran algunas de las propiedades de las operaciones con
matrices
P r o p i e d a d e s
Si A , B y C son matrices de
m n , k y r son dos escalares, entonces
Siempre que se puedan realizar la multiplicación de matrices
𝑻
𝑻
𝑻
𝑻
𝑻
𝑻
𝑻
𝑻
