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Algebra A 62

Ingenier´ıa

CICLO B ´ASICO COM UN´ – UBA – A´LGEBRA A 62 (INGENIER´IA)

CICLO BÁSICO CÓMÚN – UBA – ÁLGEBRA A (62) (INGENIERÍA)

Se dice que un conjunto B está incluido en un conjunto A , o que B es un subconjunto de A , si cada elemento de B es un elemento de A. En este caso, se nota B ⊆ A. Si B no es un subconjunto de A , escribimos B 6 ⊆ A. Observamos que:

∅ ⊆ A y A ⊆ A para todo conjunto A ;

si A, B y C son conjuntos tales C ⊆ B y B ⊆ A , entonces C ⊆ A ;

A = B si y sólo si A ⊆ B y B ⊆ A.

Unión, intersección y complemento

Sean A y B dos conjuntos.

La unión de A y B , que se nota A ∪ B , es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B (o sea, los elementos que pertenecen a alguno de los dos conjuntos, incluyendo los que pertenecen a ambos); es decir, A ∪ B = {x : x ∈ A o x ∈ B}.

La intersección de A y B , que se nota A ∩ B , es el conjunto de todos los elementos que pertenecen simultáneamente a A y a B ; es decir, A ∩ B = {x : x ∈ A y x ∈ B}. La diferencia de conjuntos “ A menos B ”, que se nota A \ B , es el conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B ; es decir, A \ B = {x : x ∈ A y x ∈/ B}. Observamos que, en general, las diferencias A \ B y B \ A no son iguales.

Si A es un conjunto incluido en un conjunto universal U , el complemento de A (en U ), que notaremos Ac^ , es el conjunto de todos los elementos de U que no pertenecen a A ; es decir, Ac^ = {x ∈ U : x ∈/ A}.

CICLO BÁSICO CÓMÚN – UBA – ÁLGEBRA A (62) (INGENIERÍA)

Práctica 2

Números Complejos

Definiciones y propiedades

El conjunto C de los números complejos se define como

C = {z = a + bi/ a, b ∈ R, i^2 = − 1 }

La representación z = a + bi de un número complejo se llama la forma binómica de z , a se llama la parte real de z y escribimos Re(z) = a , y b se llama la parte imaginaria de z y escribimos Im(z) = b. Dados z, w ∈ C , z = w ⇐⇒ Re(z) = Re(w) e Im(z) = Im(w).

Si z = a + bi y w = c + di , definimos la suma y el producto de z y w en la forma

z + w = (a + c) + (b + d)i (suma)

zw = (ac − bd) + (ad + bc)i (producto)

La suma y el producto son asociativos y conmutativos y, además, vale la propiedad distribu- tiva del producto respecto de la suma.

Notación: a + (−b)i = a − bi , a + 0 i = a , 0 + bi = bi.

Si z = a + bi ∈ C , llamaremos conjugado de z al número complejo z = a − bi y módulo de z al número real no negativo (^) |z| =

a^2 + b^2. Se verifican: a) zz = |z|^2 b) si z 6 = 0 , z−^1 = z |z|^2 Propiedades de la conjugación:

C1) z = z C2) z + w = z + w C3) zw = z w C4) si z 6 = 0, z−^1 = z−^1 C5) z + z = 2 Re(z) C6) z − z = 2 Im(z) i

Propiedades del módulo:

M1) z = 0 ⇐⇒ |z| = 0 M2) |z| = |z| M3) |zw| = |z| |w| M4) (^) |z| = (^) |−z| M5) si z 6 = 0,

z−^1

= (^) |z|−^1 M6) si w 6 = 0,

∣ (^) wz

∣ =^ ||wz||

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Práctica 3

Polinomios

Definiciones y propiedades

En lo que sigue, K significa Q , R o C. Un polinomio con coeficientes en K es una expresión de la forma

P(x) = a 0 x^0 + a 1 x^1 + a 2 x^2 + · · · + an xn^ =

n ∑ j= 0

aj xj

con n ∈ N 0 y aj ∈ K para j = 0,... , n. Indicaremos con K[x] al conjunto de polinomios con coeficientes en K y consideramos en K[x] las operaciones de suma y producto usuales.

Dado P ∈ K[x] no nulo, P(x) = a 0 x^0 + a 1 x^1 + a 2 x^2 + · · · + an xn^ con an 6 = 0 , decimos que an es el coeficiente principal de P y definimos el grado de P como gr(P) = n. Por convención, el polinomio nulo no tiene grado.

Propiedades. Dados P, Q ∈ K[X] , P 6 = 0 y Q 6 = 0 ,

gr(PQ) = gr(P) + gr(Q) ;

si P + Q 6 = 0 , entonces gr(P + Q) ≤ m´ax{gr(P), gr(Q)} ;

si gr(P) 6 = gr(Q) , entonces gr(P + Q) = m´ax{gr(P), gr(Q)}.

Algoritmo de división. Dados P, Q ∈ K[x] , Q 6 = 0 , existen únicos S, R ∈ K[x] tales que

P = QS + R y R = 0 o gr(R) < gr(Q).

El polinomio R se llama el resto de la división de P por Q. Cuando este resto es el polinomio nulo (es decir, si P = QS ), decimos que P es divisible por Q o que Q divide a P.

Dados P ∈ K[x] , P(x) =

n ∑ j= 0

aj xj^ , y z ∈ K , llamaremos especialización de P en z al número

P(z) =

n ∑ j= 0

ajzj^ y diremos que z es raíz de P si P(z) = 0.

Teorema del resto. Sean P ∈ K[x] y z ∈ K. Entonces el resto de la división de P por x − z es igual a P(z). En particular, z es raíz de P si y sólo si x − z divide a P.

CICLO BÁSICO CÓMÚN – UBA – ÁLGEBRA A (62) (INGENIERÍA)

Si P ∈ K[x] y z 1 , z 2 ,... , zr son r raíces distintas de P , entonces

P = (x − z 1 )(x − z 2 )... (x − zr).Q

para algún Q ∈ K[x]. En consecuencia, si P ∈ K[x] tiene grado n , entonces P tiene a lo sumo n raíces en K.

Teorema de Gauss. Sea P ∈ Z[x] , P(x) =

n ∑ j= 0

aj xj^ , con an 6 = 0 y a 0 6 = 0. Si (^) qp ∈ Q es raíz de

P (con p ∈ Z y q ∈ N sin factores primos en común), entonces p es un divisor de a 0 y q es un divisor de an.

Teorema fundamental del álgebra. Si P ∈ C[x] y gr(P) ≥ 1 , existe z ∈ C tal que z es raíz de P.

Propiedad. Si P ∈ R[x] y z ∈ C , entonces z es raíz de P si y sólo si z es raíz de P.

Sea P ∈ K[x] y sea k ∈ N. Diremos que z ∈ K es una raíz de P de multiplicidad k si existe Q ∈ K[x] con Q(z) 6 = 0 tal que P(x) = (x − z)k^ Q(x).

Dado P ∈ K[x] , P(x) =

n ∑ j= 0

aj xj^ , el polinomio derivado de P es ∂ P(x) =

n ∑ j= 1

jaj xj−^1 ∈ K[x].

Propiedades. Dados P, Q ∈ K[x] y a ∈ K ,

a) ∂ (P + Q) = ∂ P + ∂ Q b) ∂ (PQ) = ( ∂ P).Q + P.( ∂ Q) c) ∂ (ax^0 ) = 0

Escribimos ∂^2 P = ∂ ( ∂ P) , ∂^3 P = ∂ ( ∂^2 P) = ∂ ( ∂ ( ∂ P)) , ∂ m^ P = ∂ ( ∂ m−^1 P) = ∂ ( ∂ (... ( ∂ P))).

Propiedad. Si P ∈ K[x] y z ∈ K , vale que z es una raíz de P de multiplicidad k si y sólo si

P(z) = 0, ∂ P(z) = 0, ∂^2 P(z) = 0,... , ∂ k−^1 P(z) = 0 y ∂ k^ P(z) 6 = 0.

Dados un polinomio f ∈ R[x] y x 0 ∈ R una raíz de f , el orden de contacto entre la curva y = f (x) y el eje x en el punto (x 0 , 0) es la multiplicidad de x 0 como raíz de f. Más generalmente, si f , g ∈ R[x] y x 0 ∈ R es tal que f (x 0 ) = g(x 0 ) , el orden de contacto entre las curvas y = f (x) e y = g(x) en el punto de abscisa x 0 es la multiplicidad de x 0 como raíz de f − g.

Polinomio interpolador de Lagrange. Sean a 0 , a 1 ,... , an ∈ K tales que ai 6 = aj si i 6 = j y sean b 0 , b 1 ,... , bn ∈ K. Existe un único polinomio L ∈ K[x] , con L = 0 o gr(L) ≤ n , que satisface L(ai) = bi para i = 0, 1,... , n. Este polinomio es

L(x) =

n ∑ i= 0

bi Li(x) donde Li(x) =

n ∏ k= 0 k 6 =i

(x − ak)

n ∏ k= 0 k 6 =i

(ai − ak)

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En el plano R^2 los puntos están dados por pares de números reales (sus coordenadas) por lo que, para dar un vector, bastará dar dos pares de números reales que caractericen su origen y su extremo. En la figura que sigue, v = − PQ→ está dado por P = (1, 2) y Q = (5, 3) y w = OR−→ está dado por O = (0, 0) y R = (2, 1).

1 2 5

1

2

(^3) v

O

w

P

Q

R

Algo análogo se puede decir en el espacio de tres dimensiones R^3 ; ahora, cada punto, en particular el origen y el extremo de un vector, estará dado por una terna de números reales. En la figura que sigue, v = − PQ→ está dado por P = (2, 3, 1) y Q = (1, 1, 4) y w = OR−→ está dado por O = (0, 0, 0) y R = (3, 0, 0).

v

w

O P

Q

R

En adelante trabajaremos con vectores cuyo origen O tiene todas sus coordenadas iguales a 0 ( O = (0, 0) en R^2 y O = (0, 0, 0) en R^3 ), identificando entonces el punto P con la flecha − OP→.

Dados P = (p 1 , p 2 ) y Q = (q 1 , q 2 ) en R^2 , definimos

la suma como P + Q = (p 1 + q 1 , p 2 + q 2 ) y el producto por un escalar c ∈ R como c.P = (cp 1 , cp 2 ).

Análogamente, en R^3 , si P = (p 1 , p 2 , p 3 ) y Q = (q 1 , q 2 , q 3 ) , se define

la suma como P + Q = (p 1 + q 1 , p 2 + q 2 , p 3 + q 3 ) y el producto por un escalar c ∈ R como c.P = (cp 1 , cp 2 , cp 3 ).

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Escribimos P − Q = P + (− 1 ).Q (es decir, resta coordenada a coordenada).

En este contexto vale:

a) − PQ→ es equivalente a − RS→ si y sólo si S − R = Q − P. En particular, − PQ→ es equivalente a − OR→ si y sólo si R = Q − P.

b) − PQ→ y − RS→ son paralelos o tienen igual dirección si existe k ∈ R , k 6 = 0 , tal que Q − P = k.(S − R). Si k > 0 , − PQ→ y − RS→ tienen igual sentido; si k < 0 , − PQ→ y − RS→ tienen sentidos opuestos.

Vectores en Rn

Generalizando lo anterior, llamaremos punto o vector en el espacio Rn^ a una n -upla X = (x 1 , x 2 , x 3 ,... , xn) , donde x 1 , x 2 , x 3 ,... , xn son números reales. Estos números son las coorde- nadas de X.

Si P = (p 1 , p 2 , p 3 ,... , pn) y Q = (q 1 , q 2 , q 3 ,... , qn) decimos que P = Q si y sólo si p 1 = q 1 , p 2 = q 2 , p 3 = q 3 ,... , pn = qn.

Definimos

la suma como P + Q = (p 1 + q 1 , p 2 + q 2 , p 3 + q 3 ,... , pn + qn) y

el producto por un escalar c ∈ R como c.P = (cp 1 , cp 2 , cp 3 ,... , cpn).

El vector con todas sus coordenadas cero se notará O = (0, 0, 0,... , 0)

Propiedades. Las siguientes propiedades para la suma de vectores y el producto de un escalar

por un vector valen en cualquier espacio de vectores Rn^ :

1. P + (Q + R) = (P + Q) + R

2. P + Q = Q + P

3. Si c ∈ R , c.(P + Q) = c.P + c.Q

4. Si c 1 ∈ R y c 2 ∈ R , (c 1 + c 2 ).P = c 1 .P + c 2 .P y (c 1 c 2 ).P = c 1 .(c 2 .P)

5. O + P = P

6. 1.P = P

7. P + (− 1 ).P = O Notación: −P = (− 1 ).P

8. 0.A = O

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v

L

Una ecuación paramétrica de la recta L es X = λ. v ( λ ∈ R). Si v = (v 1 , v 2 ) y X = (x, y) , la ecuación se escribe (x, y) = λ .(v 1 , v 2 ) ( λ ∈ R). La recta L resulta ser el conjunto de soluciones de la ecuación v 2 x − v 1 y = 0 , y esta ecuación es una ecuación implícita de L.

Ahora bien, dados en el plano R^2 un vector v y un punto P , una ecuación paramétrica de la recta L que pasa por P en la dirección de v es X = λ. v + P ( λ ∈ R). El vector v se dice un vector dirección para L.

P v

L

Si v = (v 1 , v 2 ) , P = (p 1 , p 2 ) y X = (x, y) , la ecuación paramétrica se escribe (x, y) = λ .(v 1 , v 2 ) + (p 1 , p 2 ). Si c = v 2 p 1 − v 1 p 2 , la recta L es el conjunto de soluciones de la ecuación v 2 x − v 1 y = c , y esta ecuación es una ecuación implícita para L. Para describir una recta en R^2 , podemos utilizar una ecuación paramétrica del tipo X = λ. v + P o utilizar una ecuación implícita del tipo ax + by = c.

De manera similar, dados en R^3 un vector v y un punto P una ecuación paramétrica de la recta L que pasa por P en la dirección de v es X = λ. v + P ( λ ∈ R). El vector v se dice un vector dirección para L. Si v = (v 1 , v 2 , v 3 ) , P = (p 1 , p 2 , p 3 ) y X = (x, y, z) , tenemos que (x, y, z) = λ .(v 1 , v 2 , v 3 ) + (p 1 , p 2 , p 3 ).

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Planos en R^3

Dado un vector N y un punto Q de R^3 , la ecuación del plano Π que pasa por Q y es perpen- dicular a N es Π : (X − Q) · N = 0.

El plano Π es el conjunto de todos los puntos X tales que X − Q es perpendicular a N. Diremos que N es un vector normal al plano. Si X = (x, y, z) y N = (a, b, c) , la ecuación resulta: Π : ax + by + cz = d donde d = Q · N.

Esta ecuación es una ecuación implícita del plano Π. Si los puntos P , Q y R no están alineados y pertenecen al plano Π , resulta que Π es el conjunto de todos los X que cumplen

X = α .(P − R) + β .(Q − R) + R para α , β ∈ R.

Ésta es una ecuación paramétrica del plano Π. Un vector normal N a Π es cualquier vector no nulo perpendicular simultáneamente a P − R y a Q − R. Por ejemplo, puede tomarse N = (P − R) × (Q − R).

Una recta L en R^3 puede considerarse como intersección de dos planos que la contienen. Por lo tanto, para dar ecuaciones implícitas para una recta se necesitan por lo menos dos ecuaciones. Una forma de obtener ecuaciones implícitas a partir de una ecuación paramétrica para L del tipo (x, y, z) = λ .(v 1 , v 2 , v 3 ) + (p 1 , p 2 , p 3 ) es buscar dos vectores con distintas direcciones (a, b, c) y (d, e, f ) perpendiculares a (v 1 , v 2 , v 3 ) simultáneamente. Entonces la recta L estará dada por las ecuaciones   

ax + by + cz = ap 1 + bp 2 + cp 3 dx + ey + f z = dp 1 + ep 2 + f p 3.

Posiciones relativas

Dos rectas en R^2 o en R^3 se dicen

coincidentes si son la misma recta, transversales si se cortan en un punto, paralelas si sus direcciones coinciden.

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Práctica 5

Álgebra vectorial - Segunda parte

Definiciones y propiedades

Norma, ángulo y producto mixto

La norma de un vector v , que notaremos ‖ v ‖ , es la longitud del vector. Si v = (v 1 , v 2 ) es un vector en R^2 , su norma es la distancia entre el punto (v 1 , v 2 ) y el origen de coordenadas O = (0, 0). Por el teorema de Pitágoras, resulta ser ‖(v 1 , v 2 )‖ =

v^21 + v^22.

De manera análoga, la norma de v = (v 1 , v 2 , v 3 ) en R^3 es ‖(v 1 , v 2 , v 3 )‖ =

v^21 + v^22 + v^23. La norma puede expresarse en función del producto escalar: ‖ v ‖^2 = v · v. A partir de esta definición, se puede calcular la distancia entre dos puntos P y Q (de R^2 o R^3 ): es la norma de la diferencia P − Q ; en símbolos, d(P, Q) = ‖P − Q‖.

Propiedades. Si v y w son dos vectores, entonces

‖k v ‖ = |k|‖ v ‖ para todo k ∈ R. ‖ v + w ‖ ≤ ‖ v ‖ + ‖ w ‖ (desigualdad triangular o de Minkowski). | v · w | ≤ ‖ v ‖. ‖ w ‖ (desigualdad de Cauchy-Schwarz).

El ángulo entre dos vectores v y w es el menor de los dos ángulos determinados por v y w. Es el único ángulo θ tal que 0 ≤ θ ≤ π que verifica cos( θ ) = (^) ‖ vv ‖^ ·.^ ‖ ww ‖.

Si los puntos O , P y Q en R^3 no están alineados, los vectores OP−→ y − OQ→ determinan un paralelogramo. El área de este paralelogramo es la norma del producto vectorial OP−→ × − OQ→.

Dados tres vectores u , v y w en R^3 , su producto mixto es el número real que se obtiene al hacer el producto vectorial de los dos primeros y al resultado multiplicarlo escalarmente por el último vector; en símbolos, ( u × v ) · w. Si los puntos O , P , Q y R en R^3 no son coplanares, los vectores − OP→ , − OQ→ y − OR→ determinan un paralelepípedo. El volumen de este paralelepípedo es el módulo del producto mixto entre los vectores. Este producto mixto es cero si y solo si O , P , Q y R son coplanares.

Proyección ortogonal y distancia

Dados un punto P y una recta L en R^2 , la proyección ortogonal de P sobre L es el punto proyL(P) que resulta de intersecar a la recta L con la recta perpendicular que pasa por P.

CICLO BÁSICO CÓMÚN – UBA – ÁLGEBRA A (62) (INGENIERÍA)

A partir de las fórmulas para proyección ortogonal se deducen fórmulas para calcular la dis- tancia entre un punto y una recta o entre un punto y un plano. Si P ∈ R^2 y L : ax + by = c , entonces d(P, L) = |c^ −‖^ (Pa^ ,· b()a‖,^ b)|

y si P ∈ R^3 y Π : ax + by + cz = d , llamando N = (a, b, c) , se tiene que

d(P, Π) = |d^ −‖^ N P^ ‖·^ N |.

Simetrías

Con respecto a un punto Q : El simétrico de un punto P con respecto a Q es el único punto en la recta que pasa por P y Q que es distinto de P y cuya distancia a Q es igual a la distancia entre P y Q. Con respecto a una recta L : El simétrico de un punto P con respecto a una recta L en R^2 es el único punto (distinto de P ) en la recta perpendicular a L que pasa por P cuya distancia a L es igual a la distancia entre P y L ; es decir, es el simétrico de P con respecto a proyL(P). Similarmente, el simétrico de un punto P con respecto a una recta L en R^3 es el simétrico de P con respecto a proyL(P). Con respecto a un plano Π : El simétrico de un punto P con respecto a un plano Π en R^3 es el único punto (distinto de P ) en la recta perpendicular a Π que pasa por P cuya distancia a Π es igual a la distancia entre P y Π ; es decir, es el simétrico de P con respecto a proyΠ(P).