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Ejercicio 2
Considere el siguiente problema, defina el sistema de ecuaciones lineales que
le describe y soluciónelo por medio de una reducción de Gauss–Jordán. Valide su
resultado por medio de Geogebra*.
Se desea obtener un preparado semanal que cubra las necesidades
mínimas de una persona en proteínas, hidratos de carbono y grasas.
Suponga que el preparado debe contener una mezcla de los productos A, B
y C cuyos contenidos por onzas son los que se indican en la siguiente tabla:
Proteína
s
Hidrato
s
Grasa
s
Producto A 2 1.5 0.
Producto B 0.5 3 1.
Producto C 1.5 2.2 0.
Disponibilida
d
0.5 lb 0.5 lb 0.5 lb
¿Cuántas onzas de cada producto deberán mezclarse semanalmente
para obtener el preparado?
Solución
A: onzas de proteínas
B: onzas de hidratos de carbono
C: onzas de calcio
1 libra tiene 16 onzas
2 A +0,5 B + 1,5 C = 8 onzas
1,5 A + 3 B + 2,2 C = 8 onzas
0,5 A +1,5 B +0,5 C = 8 onzas
Método de gauss Jordán:
f 1
f 1
f 2 → −
f 1 + f 2 ; f 3 → −
f 1 + f 3
f 2 →
8 f 2
f 1 → −
f 2 + f 1 ; f 3 → −
f 2 + f 3
f 3 → −
f 3
f 1 → −
f 3 + f 1 ; f 2 =
f 3 + f 2
a =¿ Cantidad de producto A = 11_._ 13 onzas
b = Cantidad de producto B = 5_._ 39 onzas
c = Cantidad de producto C =− 11_._ 3 onzas
Con estos datos, se busca saber cuántos estudiantes aprobaron cada una
de las tareas del curso y reconstruir así los datos estadísticos del informe a
presentar.”
Recuerde que dentro de las operaciones elementales entre filas es válido el
intercambiar una fila por otra, lo que en ocasiones podría facilitar el procedimiento.
- Método Gauss Jordán - Definiendo el conjunto de variables para trabajar más fácil, se obtiene
que.
x =¿ tarea 1
y =¿ tarea 2
z =¿ tarea 3
- ecuaciones:
x + y + z = 1243
y =( x + y ) 230
z =( x − y ) 90
- Desarrollo matricial
f 2 =
f 1
− f 1
f 2 =
f 2
(
)
f 1 =− f 2 + f 1
(
)
f 3 =
f 3
f 1 =− f 3 + f 1
Tarea 1 = 321 Estudiante s
Tarea 2 = 567_._ 67 Estudiantes
Tarea 3 = 354_._ 33 Estudiantes
Validación Geogebra
b. De la recta que pasa por el punto R=(-5,4,-3) y que es paralela a la
recta que pasa por los puntos A=(-2,4,6) y B=(1,-3,5).
- ecuación vectorial
´ v =
( x 2 − x 1 )
^
i +( y
2
− y
1 )^
^
j +( z 2
− z 1
^
k
´ v =( 1 −(− 2 ))
^
i +(− 3 − 4 )
^
j +( 5 − 6 )
^
k
´ v = 3
^
i − 7
^
j − 1
^
k
- ecuación paramétrica
x =− 5 + 3 t
y = 4 − 7 t
z =− 3 − 1 t
- ecuación simétrica
x =− 5 + 3 t x + 5 = 3 t
x + 5
= t
y = 4 − 7 t y − 4 =− 7 t
y − 4
= t
z =− 3 − 1 t z + 3 =− 1 t
z + 3
= t
x + 5
y − 4
z + 3
c. De la recta que pasa por el punto S=(-9,6,11) y cuyo vector director
es V=(-2,7,-6).
- ecuación vectorial
x
^
i + y
^
j ± z
^
k = x − 9 + 6
^
j + 11
^
k + t (− 2
^
i + 7
^
j − 6
^
k )
- ecuación paramétrica
x =− 9 − 2 t
y = 6 + 7 t
z = 11 − 6 t
- ecuación simétrica
x =− 9 − 2 t x + 9 =− 2 t
x + 9
= t
y = 6 + 7 t y + 6 = 7 t
y + 6
= t
z = 11 − 6 t z − 11 =− 6 t
z − 11
= t
x + 9
y + 6
z − 11
