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ALGORITMO DEL SIMPLEX
1. CRITERIO DE MEJORA
Sea el programa lineal en forma estándar Opt. s.a con , rg( ) , 0 0
m n
z c x Ax b A M A m n b x
(^)
y sea x ( xB , xN ) una solución básica factible inicial (donde xB representa sus variables básicas y
xN sus variables nulas) para la que la submatriz de A correspondiente a (^) xB es la matriz identidad I.
Denotemos por (^) cB y (^) cN los coeficientes de la función objetivo z correspondientes respectivamente
a xB y xN , y por N la submatriz de A correspondiente a xN. Entonces, construimos la tabla
cj cB cN B b xB xN
cB xB b I N
zj c (^) j zj
cB b cB 0
cB N cN cB N
donde c (^) j zj (denominado coste relativo) representa el crecimiento que experimenta la función
objetivo z al incrementar una unidad la variable xj.
Sea x (^) j N una variable nula tal que cj zj 0 si estamos resolviendo un problema de
maximización, o bien c (^) j zj 0 si es de minimización. Entonces, interesa aumentar su valor, por lo que pasa a ser una variable básica.
Ahora bien, el valor de xj se puede incrementar todo lo que se quiera siempre que x 0. Así,
lo máximo que se puede incrementar es hasta que la primera variable básica pase a ser nula. Este hecho se mide de la siguiente forma:
(i) Si todos los coeficientes aij de dicha variable xj en la matriz A son aij 0 , entonces no hay limitación alguna (las variables básicas iniciales no disminuyen) y, por tanto, no existe óptimo finito. (ii) Si hay al menos un coeficiente aij tal que aij 0 , sea
i min bi aij ; aij 0
que denota la primera variable básica inicial que pasa a ser nula. Así, la inicial variable básica xi pasa a ser nula, mejorando en la nueva solución básica factible obtenida el valor de la función objetivo.
2. CRITERIO DE EXISTENCIA DE SOLUCIÓN ÓPTIMA
El proceso anterior (a menos que no haya solución finita) se repite hasta encontrar una
solución básica factible para la cual todas las variables nulas x (^) j N verifiquen que c (^) j zj 0 si
estamos resolviendo un problema de maximización, o bien c (^) j zj 0 si es de minimización.
Entonces, en esta solución básica factible se alcanza el óptimo global.
Además, en el caso en que c (^) j zj 0 para alguna x (^) j N variable nula, entonces el
óptimo se alcanza en infinitos puntos.
3. OBTENCIÓN DE LA SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE INICIAL
Cuando la matriz A no tiene directamente una submatriz identidad de orden m , existe un
procedimiento sencillo para obtener una solución básica factible inicial, llamado método de penalización. Este proceso consiste en añadir las variables (denominadas artificiales) necesarias hasta conseguir una submatriz identidad de orden m en la matriz A , agregándolas en la función
objetivo con un coeficiente M muy elevado (positivo para minimizar y negativo para maximizar). De este modo, la solución óptima del nuevo programa tendrá nulas las variables artificiales, por lo que las restantes variables en el óptimo coincidirán con las correspondientes del programa inicial. Por tanto, se dispone de una solución inicial, aunque a costa de aumentar el número de variables;
sin embargo, estas nuevas variables desaparecerán (se harán nulas) en las primeras tablas.
EJEMPLO 1.
1 2 1 2 1 2 1 2
Max. 6 7 s.a 2 3 24 2 16 , 0
z x x x x x x x x
(^)
Forma estándar:
1 2 1 2 3 1 2 4 1 2 3 4
Max. 6 7 s.a 2 3 24 2 16 , , , 0
z x x x x x x x x x x x x
Paso 1. Elegimos una SBF inicial: Como
2 3 1 0 2 1 0 1 A ^ N I
tomando (^) x 1 (^) 0 y (^) x 2 (^) 0 (0,0,24,16)SBF.
[ (^) x 3 y (^) x 4 variables básicas; (^) x 1 y (^) x 2 variables nulas]
Paso 2. Escribimos el programa en formato de tabla:
1 2 3 4 3 4
j B
j j j
c x b x x x x x x z c z
Calculando
z 1 (^) 0 2 0 2 || z 2 (^) 0 3 0 1|| z 3 (^) 0 1 0 0 || z 4 0 0 0 1
la tabla se completa de la siguiente forma:
1 2 3 4 3 4
j B
j j j
c x b x x x x x x z z c z
donde (^) z 0 24 0 16 0 representa el valor de la función objetivo en la SBF(0,0,24,16)
inicialmente considerada.
Nótese que:
disminución en al aumentar una unidad aumento en al aumentar una unidad incremento neto en al aumentar una unidad
j j j j j j j
z z x c z x c z z x
El método consiste en saltar a otra SBF (cambiando una variable nula por una básica) en la que la
función tome un valor “mejor”.
(*) ¿Qué variable nula pasa a ser básica?
max( c (^) j zj ) 7 x 2 nueva variable básica
(*) ¿Qué variable básica pasa a ser nula?
1ª restricción (^) x 3 (^) 0 para (^) x 2 (^) 8 (y (^) x 3 (^) 0 si (^) x 2 (^) 8 )
2ª restricción x 4 0 para x 2 16 (y x 4 0 si x 2 16 )
Por tanto: (^) min(24/ 3,16/1) 8 x 3 nueva variable nula
Repetimos entonces el paso 2 para esta nueva SBF, para lo cual es necesario que la caja de la matriz A
asociada a las variables básicas sea la identidad (utilizamos Gauss-Jordan):
A N I
Paso 3. Escribimos la tabla en la nueva SBF
1 2 3 4 3 4
j B
j j j
c x b x x x x x x z z c z
1 2 3 4 2 4
j B
j j j
c x b x x x x x x z z c z
1 1 2 2 1
F F : 3 F F F
^
