¡Descarga Método Simplex: Un Algoritmo para la Optimización Lineal y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
METODO SIMPLEX
INTRODUCCION
La solución de un problema de programación lineal se obtiene mediante el Método Simplex, el cual consiste en un algoritmo que mediante un proceso iterativo alcanza una solución óptima a partir de una solución inicial. Para la aplicación del algoritmo es necesario que todos los problemas queden expresado siempre de la misma manera, es decir, que tenga una forma estandarizada, dado que el algoritmo sigue un patrón único (instrucciones y criterios de inicio y término). Estandarización De acuerdo con lo señalado, la estandarización del problema se realiza conforme con lo siguiente:
Todos los problemas deben ser de Minimización, si el objetivo es Maximización, o
sea, si la F.O. es Max Z= ∑CjXj , debe reemplazarse Z por -Z’, de modo que queda Min Z’= -Max Z
Todas las variables deben ser ≥0, Si existe alguna variable (Ej.: Xk) que pueda ser
negativa se reemplaza por la diferencia de dos variables no negativas (Xk+- Xk-) tales que el producto (Xk+Xk) sea =
Todos los segundos miembros deben ser ≥ 0, si alguno fuera negativo se multiplica
toda la restricción por (-1) y se cambia el sentido de la desigualdad.
Las desigualdades deben expresarse como igualdad, para ello se suma o se resta
la cantidad necesaria para la igualdad. Si la restricción es ≥ 0 se restará una cantidad (H), si es ≤0 se sumará una cantidad (H) En términos generales se tiene el planteamiento siguiente: a 11 X 1 + a 12 X 2 + a 13 X 3 +……………….. a1n Xn ≥ o ≤ b 1 a 21 X 1 + a 22 X 2 + a 23 X 3 +……………….. a2n Xn ≥ o ≤ b 2 a 31 X 1 + a 32 X 2 + a 33 X 3 +……………….. a3n Xn ≥ o ≤ b 3 ….............................................................................................................................................. am1 X 1 + am2 X 2 + am3 X 3 +……………….. amn Xn ≥ o ≤ bm C 1 X 1 + C 2 X 2 + C 3 X 3 +……………… Cn Xn –Z = Xj ≥ 0 (j=1, 2, 3,..........,n) Tal como se señaló, la función objetivo se debe expresar como minimización y todas las restricciones como igualdades, para lo cual se debe agregar o restar una cantidad, que se llamará Hi, para conseguir tal igualdad, de modo que si la restricción es del tipo ≥ se restará H, si es del tipo ≤, se sumará H. esta variable H se denomina Variable de Holgura y tiene las dimensiones del término bi y, por lo tanto, tiene un significado bien preciso que se verá más adelante.
ALGORITMO SIMPLEX
Asumiendo que todas las restricciones son igualdades, el planteamiento se puede ordenar de manera de tener una Tabla, en la cual la Función Objetivo es la última fila, que se llama “Fila de Costos”. Esta Tabla se denomina Tabla Original.
TABLA ORIGINAL
X 1 X 2 X 3 Xn -Z b a 11 a 12 a 13 a1n 0 b 1 a 21 a 22 a 23 a2n 0 b 2 a 31 a 32 a 33 a3n 0 b 3 am1 am2 am3 amn 0 bm C 1 C 2 C 3 Cn 1 0 Para aplicar el algoritmo de solución se requiere tener una solución inicial, para ello es preciso que la matriz representada por la Tabla contenga una matriz unitaria (mxm) entre sus elementos componentes. Suponiendo que la matriz unitaria está contenida en las primeras m columnas de la Tabla, queda así (Tabla Canónica Inicial):
TABLA CANONICA INICIAL
X 1 X 2 X 3 Xn-2 Xn-1 Xn -Z b 1 0 0 a1n-2 a1n-1 a1n 0 b 1 0 1 0 a2n-2 a2n-1 a2n 0 b 2 0 0 1 a3n-2 a3n-1 a3n 0 b 3 0 0 0 amn-2 amn-1 amn 0 bm 0 0 0 Cn-2 Cn-1 Cn 1 0 Aquí se tiene ahora la Solución Inicial: X 1 = b 1 ; X 2 = b 2 ; X 3 = b 3 ; X 4 = b 4 ;.....................Xm = b1m; Z= El resto de las variables son cero.
las variables Y deberán ser 0. Al aplicar el algoritmo y obtener el óptimo, w deberá ser cero, de otro modo significa que el problema original no tiene solución. Una vez obtenido w*=0, se elimina todo lo agregado. Ejemplo de estandarización 3 6 6 80
lg : ' 3 10 6 6 int var
1 2 3 4 3 1 2 3 4 2 1 2 3 4 1 1 2 3 4 3 3 4 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
X X X X H
X X X X H
Sa X X X X H deho ura MinZ X X X X X seráX X ylasrestriccionesseránigualdades roduciendo iables Z Z talqueZ ZyMaxZserá MinZ XyX son X puedeser negativa
X X X
X X X
Sa X X X MaxZ X X X X 1 X 2 X 3 X 4 H 1 H 2 H 3 -Z B 1 1 1 -1 -1 0 0 0 50 5 8 2 -2 0 1 0 0 120 3 -1 6 -6 0 0 1 0 80 -3 -10 6 -6 0 0 0 1 0 Aplicación algoritmo
tan :
1 2 3 1 2 3 3 1 2 3 2 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
X X X
X X X H
X X X H
Sa X X X H MinZ X X X Es darizando
X X X
X X X
X X X
Sa X X X FO MaxZ X X X
Tabla Inicial
X 1 X 2 X 3 H 1 H 2 H 3 -Z’ b 1 2 -1 1 0 0 0 20 -2 4 2 0 1 0 0 60 2 3 1 0 0 1 0 50 1 -1 -2 0 0 0 1 0 La Tabla incluye una matriz unitaria │ H1, H2, H 3 │ por lo tanto, se puede aplicar el algoritmo. Existe una solución inicial: H 1 =20, H 2 =60, H 3 =50, como variables básicas y X 1 = X 2 = X 3 =0, variables no básicas. Z’=0. La solución no es óptima, existen coeficientes de costo negativos (-1 y -2), por lo que hay que mejorarla, cambiando la Base. Entra la variable con el coeficiente de costo más negativo (-2), que es C. Para saber cual variable básica sale, se calculan los cuocientes b/a para la columna de la variable que entra (X 3 ), con los a>0. X 3 b/a -1 NO 2 60/ 1 50/ El mínimo es 60/2=30, por lo que la variable básica actual que sale es H 2 , el 1 de la matriz unitaria en esa fila corresponde a esa variable. El 1 de la nueva columna unitaria (X 3 ) estará en esa fila, por lo que el elemento actual (2) divide a toda la fila (fila pivote). Fila Pivote: Fila Actual: Fila Nueva: -2/2 4/2 1 0 1/2 0 0 60/
Z’=- 200/3 por lo que el original es Z*=200/ X 2 , = H 2 =H 3 =0, son las variables no básicas. Interpretación: El valor máximo de Z es 200/ El recurso 1 (1ª restricción) no se utiliza completa, sobran 50 (H 1 ) El recurso 2 (2ª restricción) se usa completo, H 2 = El recurso 3 (3ª restricción) se usa completo, H 3 =
