Anàlisi Matemàtica. Curs 2014-2015
Llista 1: Els nombres reals
1. Demostreu, detallant les propietats utilitzades, que si
x, y ∈R
són negatius, llavors
x·y > 0
.
2. (a) Demostreu que per a tot
x, y ∈R
,
||x|−|y|| ≤ |x−y|
.
(b) Demostreu que per a tot
x, y ∈R
,
max(x, y) = x+y+|x−y|
2
i
min(x, y) = x+y− |x−y|
2.
3. Demostreu que si
x > 1
,
1
√x≤√x+ 1 −√x−1.
(Indicació: Multipliqueu pel conju-
gat).
4. Sigui
A⊂R
i sigui
α∈R\A
. Demostreu que
α
és l'ínm de
A
si i només si
α
és cota
inferior de
A
i per a tot nombre
ε > 0
existeix
x∈A
tal que
α < x < α+ε
. (Indicació:
Un nombre real és més gran que
α
si i només si es pot expressar de la forma
α+ε
,
amb
ε > 0
.)
5. Siguin
A
i
B
dos conjunts no buits de nombres reals i
C={x+y∈R:x∈A, y ∈B}.
Demostreu que:
(a) Si
A
i
B
estàn acotats superiorment, aleshores
C
està acotat superiorment i que
sup C= sup A+ sup B.
(b) Si
A
i
B
estàn acotats inferiorment, aleshores
C
està acotat inferiorment i que
inf C= inf A+ inf B.
(c) Si
λ > 0
i
Cλ={λx :x∈A}
, i
A
està acotat superiorment, aleshores
Cλ
està
acotat superiorment i que
sup Cλ=λsup A.
6. Sigui A un conjunt de nombres reals no buit i acotat superiorment. Demostreu que el
conjunt
−A={−a:a∈A}
té ínm i que
inf(−A) = −sup A.
7. Sigui
(An)n
una successió creixent de subconjunts de
R
acotats superiorment i sigui
sn= sup An
. Demostreu que la successió
(sn)n
és convergent si i només si el conjunt
A=SnAn
està acotat superiorment i en aquest cas,
lim
nsn= sup A
.
8. Sigui
(xn)
una successió de Cauchy de nombres enters. Demostreu que existeix
n0∈N
tal que
xn=xn0
per a qualsevol
n≥n0
.
