Teoría de Números: Ejercicios y Demostraciones, Transcripciones de Matemáticas

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MATEM ´ATICA Y OLIMP´IADAS II

Dr. Oscar Barriga

Facultad de Ciencias

Universidad de Chile

Dr. V´ıctor H. Cort´es

Facultad de Matem´atica

Pontificia Universidad Cat´olica de Chile

Dr. Sergio Plaza

Dpto. de Matem´aticas y Ciencias de la Computaci´on

Universidad de Santiago de Chile

Dr. Gonzalo Riera

Facultad de Matem´atica

Pontificia Universidad Cat´olica de Chile

Dr. Hern´an Burgos, Dr. Mauricio Godoy

Departamento de Matem´atica

Universidad de La Frontera

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PRESENTACI ON´

Con una alt´ısima probabilidad, quienes abren este maravilloso libro se cuentan entre quienes nos sentimos atra´ıdos de una manera especial por la Matem´atica. A´un en este caso, hay tambi´en una alta probabilidad de que en ellos la idea de las Olimpiadas de Matem´ati- ca sea un concepto novedoso y algo at´ıpico. Estamos muy habituados a las competencias deportivas desde una edad temprana, pero escasamente se nos presenta a la Matem´atica como una oportunidad de desplegar los talentos en competencias que, m´as all´a de bus- car ganadores, buscan ser un punto de encuentro de ni˜nas y ni˜nos con un inter´es particular.

Siendo esta realidad extra˜na hoy en d´ıa, en un ´epoca en que la informaci´on parece desbordar cada uno de nuestros momentos, imaginemos por un instante el contexto chi- leno a mediados de la d´ecada de los 90’s. Eramos j´ovenes entusiastas por una ciencia que descubr´ıamos gracias, la mayor´ıa de las veces, a la intervenci´on providencial de alg´un pro- fesor que nos regalaba su tiempo para legarnos su pasi´on. Nos enfrent´abamos a bibliotecas insuficientemente nutridas, y a un intercambio de fotocopias ajadas, muy similar a un tr´afico rom´antico y quiz´as il´ıcito. Hojas mudas que trasmit´ıan desde listados de ingeniosos problemas sovi´eticos, hasta alguna t´ecnica geom´etrica para atacar una pregunta escurridi- za que, seg´un sab´ıamos por o´ıdas, hab´ıa aparecido hace unos meses en la ´ultima olimp´ıada mundial.

La aparici´on del libro Matem´atica y Olimp´ıadas vino a constituirse entonces como una hoja de ruta para quienes quer´ıamos navegar este oc´eano inmenso. Escrito por cuatro matem´aticos profesionales, mismos quienes unos a˜nos antes hab´ıan apoyado la creaci´on de lo que hoy por hoy es el m´as tradicional evento cient´ıfico para escolares del pa´ıs, la Olimpiada Nacional de Matem´atica. La primera edici´on del libro traz´o la manera en que muchos aprendimos Matem´atica. La descripci´on del Pr´ologo original da luces claras de que esto se trata directamente de resolver problemas, t´ermino que curiosamente parece haber sido re-descubierto en los ´ultimos a˜nos. Los autores entregan la receta sin muchos rodeos, receta bien conocida por quienes se dedican a esta ciencia. Buenas definiciones, un recorrido simple pero profundo de los principales resultados relacionados con el tema, algunos ejemplos de aplicaci´on de la t´ecnica, junto con el ingrediente central: un listado bien escogido de ejercicios que van desarrollando la madurez, hacen florecer la intuici´on y

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amoldan el car´acter para hacer frente a los momentos de frustraci´on que a menudo ante- ceden a la emoci´on de la resoluci´on de un problema.

Estando ya bien entrados en el siglo XXI, con la posibilidad de acceder a casi cualquier libro o material por medio de unos simples movimientos de nuestro dedo ´ındice sobre el super computador que traemos en nuestro bolsillo, la empresa de reeditar el Matem´atica y Olimpiadas puede parecer llamativa y hasta f´util. El acceso masivo al contenido ha tra´ıdo consigo un nuevo problema, quiz´as m´as complejo que aquel que enfrent´abamos hace un cuarto de siglo. Los grandes vol´umenes de archivos, libros, videos, t´ecnicas, sus m´ultiples versiones, sus m´ultiples autores,etc., se han vuelto desconcertantes y una hoja de ruta se hace nuevamente necesaria. La segunda edici´on, revisada y ampliada, del Matem´atica y Olimpiadas nos ofrece un camino riguroso, simple y directo hacia las principales t´ecni- cas de resoluci´on de problemas ol´ımpicos. Un camino recomendado por profesionales de la matem´atica, con una dedicaci´on y exitosa experiencia de tres d´ecadas formando y en- tusiasmando a las nuevas generaciones de matem´aticas y matem´aticos chilenos. Parte de esta tradici´on se encuentra plasmada en problemas resueltos por antiguos ol´ımpicos, cuyas soluciones se agregaron en esta edici´on, mostrando as´ı que los estudiantes pueden resolver problemas de esta complejidad.

El tiempo sigue sin pasar en vano. Adem´as de servir como testimonio de que el libro es una herramienta eficaz en su propuesta, tambi´en este cuarto de siglo nos ha golpeado con la partida de dos de los autores originales. Sirvan estas l´ıneas como homenaje a Oscar Barriga y Sergio Plaza, quienes dedicaron su vida y trabajo a contarnos que la matem´atica nos puede hacer muy felices.

Muchos descubrimos la resoluci´on de problemas ol´ımpicos con la primera edici´on del libro. Agradezco a los autores la oportunidad de escribir esta presentaci´on a la segunda edici´on, que sin lugar a dudas se convertir´a en un referente para las nuevas generaciones.

Mario Ponce, Matem´atico y Ol´ımpico chileno, Santiago, septiembre de 2018.

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Estamos conciente de que los estudiantes finalistas de cada olimp´ıada son una elite, y es por ello que la intenci´on de estas notas es describir estos entrenamientos, a modo de gu´ıa para docentes y alumnos interesados en conocer m´as profundamente las ideas matem´aticas involucradas.

El trabajo de recopilaci´on de problemas adecuados para estos estudiantes ha sido posible gracias a la colaboraci´on de matem´aticos y de contactos realizados a lo largo de estos cinco a˜nos de fruct´ıfera labor, durante los cuales los estudiantes chilenos han demostrado en la pr´actica tener aptitudes y gran inter´es en conocer esta apasionante ciencia, una de las m´as antiguas de la humanidad.

Vaya tambi´en nuestro reconocimiento a la Sociedad de Matem´atica de Chile, sin cuyo apoyo hubiera sido muy dif´ıicil concretar estos objetivos.

Agradecemos a todos quienes, con su constante apoyo, nos incentivaron a encarar este desaf´ıo, y en especial a los profesores Renato Lewin y Nicol´as Yus por su lectura acuciosa de los manuscritosy sus valiosos aportes.

Finalmente agradecemos el financiamiento de Fundaci´on Andes, sin el cual esta primera edici´on a´un no ver´ıa la luz.

Oscar Barriga V´ıctor Cort´es Sergio Plaza Gonzalo Riera.

Santiago, Marzo 1994

Presentaci´on 1994

Una de las situaciones m´as dif´ıciles que se ve enfrentado com´unmente un investigador en matem´aticas es la de tratar de explicar su labor profesional.

Las respuestas a esta interrogante a lo largo de la historia de la humanidad han sido de la m´as variada ´ındole: hay quienes plantean que cultivan esta ciencia por satisfacci´on personal, sin buscar sus aplicaciones inmediatas; otros aseguran que, siendo la b´usqueda de conocimiento consustancial a la naturaleza humana y siendo la matem´atica lenguaje universal, ´esta debe cultivarse como contribuci´on al acervo cultural de la humanidad, para permitir a los diversos pueblos comprender su propia y particular realidad. Tambi´en se estima necesario que todos los pa´ıses, especialmente aquellos en desarrollo, cultiven las disciplinas cient´ıficas b´asicas para as´ı poder lograr independisarze cient´ıfica, tecnol´ogica y econ´omicamente.

Concordando en mayor o menor medida con estos planteamientos, se puede constatar que pese a ser la matem´atica la m´as com´un de las ciencias, en el sentido de que est´a presente y es utilizada por todos en la vida cotidiana, ciertamente no es la ciencia con mayor grado de popularidad; mucha gente tiene sentimientos de aprensi´on, disgusto e incluso miedo a la matem´atica.

A´un considerando estas dificultades, creemos que no ha sido suficientemente difundi- do el muy relevante papel que juega nuestra disciplina en la formaci´on integral de cada ciudadano: de manera privilegiada, la matem´atica aporta a esta formaci´on capacitando a las personas para tomar decisiones en la vida, para enfrentar situaciones nuevas, para poder crear y expresar ideas originales; esto se logra por ejemplo a trav´es de desarrollar la capacidad de abstracci´on; de ense˜nar a relacionar objetos o situaciones diversas, de desarrollar la intuici´on; en fin, la matem´atica ayuda a desarrollar una mentalidad cr´ıtica y creativa.

Es entonces muy preocupante que sea la m´as desconocida de las ciencias para el ciu- dadano medio; es lo que nos atrevemos a llamar el analfabetismo matem´atico, o, m´as generalmente, el analfabetismo cient´ıfico.

Este es el compromiso que como Sociedad de Matem´atica de Chile hemos asumido: el contribuir a la formaci´on integral del ciudadano chileno del pr´oximo siglo.

Para ello, y desde 1989, por primera vez en el pa´ıs una sociedad cient´ıfica, integrada por investigadores, organiza una olimp´ıada cient´ıfica para la educaci´on media, la Olimp´ıada Nacional de Matem´aticas; esta competencia anual, concebida como un lugar de encuentro, ha conjugado los esfuerzos de los distintos actores involucrados en el sistema educacional:

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´INDICE

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Cap´ıtulo I

TEOR´IA DE N ´UMEROS

En este primer cap´ıtulo supondremos que el lector est´a familiarizado con los n´umeros naturales y con los n´umeros enteros. Estos conjuntos los denotaremos por N y Z respecti- vamente.

Tambi´en asumiremos conocidas las operatorias de suma (+) y producto (·) en estos conjuntos. Casi siempre escribiremos ab (en vez de a · b) para el producto de los n´umeros a y b. Adem´as supondremos que se conocen las reglas de orden < y ≤ en los n´umeros enteros.

I.1. Divisibilidad en los n´umeros enteros

Consideremos a, b ∈ Z con a 6 = 0. Diremos que el n´umero entero no nulo a divide a b si existe un n´umero entero c tal que b = ac. Si a divide a b escribimos el s´ımbolo a|b. En este caso, al n´umero entero a se le llama un divisor de b ; tambi´en se dice que b es un m´ultiplo de a , o que a es un factor de b.

Ejemplo I.1. Claramente 2 | 18 puesto que existe el n´umero entero 9 tal que 18 = 2 · 9. Es decir, 2 es un divisor de 18 y 18 es un m´ultiplo de 2.

Ejemplo I.2. Para todo n´umero entero n diferente de cero se cumple que n| 0. Esto es inmediato de la propiedad de que todo n´umero entero (incluido el cero) multiplicado por cero es igual a cero. Esto se prueba usando que 0 + 0 = 0 y las propiedad de distribuci´on:

n · 0 = n · (0 + 0) = n · 0 + n · 0 ⇒ 0 = n · 0 ,

donde la ´ultima igualdad se obtiene sumando a ambos lados el n´umero entero (−n · 0).

Ejemplo I.3. Es claro que 3 | 18 pero 3 no divide a 20. Sin embargo, sabemos que el n´umero 20 se puede escribir como 20 = 3 · 6 + 2.

Esta propiedad es generalizable a un par de n´umeros enteros arbitrarios, como lo indica el resultado siguiente.

Teorema I.1. ( Algoritmo de la Divisi´on ). Dados a, b ∈ Z con a > 0 , existen dos ´unicos n´umeros enteros q, r tales que

(I.1) b = q · a + r

con 0 ≤ r < a. Al n´umero r se le llama el resto de la divisi´on de b por a.

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Matem´atica y Olimp´ıadas II 15

En Matem´atica los principios no se demuestran: su validez se acepta sin discusi´on. Por otra parte, los teoremas deben ser demostrados y para desarrollar una demostraci´on se pueden usar definiciones, resultados previos y principios. En este cap´ıtulo el ´unico principio supuesto ser´a el P.B.O.

Para completitud de estas notas incluimos el m´etodo o t´ecnica de demostraci´on por el absurdo, o del tercero excluido: consiste en negar la conclusi´on, y a partir de aquello concluir l´ogicamente que una afirmaci´on es falsa, sabi´endose que es verdadera. En otras palabras, negando la conclusi´on se deduce una contradicci´on. Esta t´ecnica la aplicaremos en varias demostraciones a lo largo de estas notas.

A continuaci´on probaremos, usando esta t´ecnica, el siguiente resultado como conse- cuencia del Principio del Buen Orden.

Teorema I.2. (Propiedad Arquimediana). Si a y b son n´umeros enteros positivos entonces existe un n´umero entero positivo n tal que na ≥ b.

Supongamos que no existe tal n´umero n; es decir, supongamos que na < b para todo entero positivo n. Los n´umeros a y b son enteros positivos dados y fijos. Construyamos el siguiente conjunto S :

S = {b − na : n ∈ Z, n > 0 } = {b − a, b − 2 a,.. .}.

Como hemos supuesto que b − na > 0 para todo entero positivo n , se tiene que S es un conjunto no vac´ıo de n´umeros enteros positivos. Aplicando el Principio del Buen Orden se obtiene que S posee un menor elemento. Luego existe m 0 ∈ Z tal que (b − m 0 a) ≤ (b − na) para todo n entero positivo. De esta ´ultima desigualdad se obtiene que n ≤ m 0 para todo n entero positivo, lo cual es evidentemente falso, pues por ejemplo m 0 + 1 > m 0. Esta contradicci´on se obtuvo por la suposici´on de que na < b para todo entero positivo n. Por lo tanto la suposici´on es falsa, y el teorema ha sido probado.

Con respecto a la segunda pregunta, una manera de calcular (a; b) es encontrar todos los divisores de a y de b y elegir el mayor divisor com´un a ambos n´umeros. Este m´etodo resulta muy engorroso para n´umeros grandes. Un m´etodo m´as eficaz esta descrito en el s´eptimo libro de la obra de Euclides, Los elementos. Este algoritmo para el c´alculo de (a; b) se basa en el siguiente resultado:

Lema I.1. Si b = qa + r , entonces (a; b) = (a; r).

La demostraci´on es inmediata de la definici´on de m´aximo com´un divisor. Sean k = (a; b) y ℓ = (a; r) los m´aximos comunes divisores de a, b y de a, r respectivamente.

Despejando r se tiene que r = b − qa. Como k|a y k|b se obtiene, por la propiedad iv) de la divisibilidad, que k tambi´en divide a r, y luego por definici´on k ≤ ℓ. Adem´as ℓ es tambi´en un divisor de b = qa + r , y por definici´on de k se tiene que ℓ ≤ k. Por lo tanto no queda otra alternativa que k = ℓ.

Para calcular (a; b) procedamos de la siguiente manera: aplicando el algoritmo de la divisi´on sucesivamente, obtenemos la siguiente cadena de igualdades

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(I.2)

b = q · a + r 1 , 0 ≤ r 1 < a a = q 2 · r 1 + r 2 , 0 ≤ r 2 < r 1 r 1 = q 3 · r 2 + r 3 , 0 ≤ r 3 < r 2 .. .

rn− 2 = qn · rn− 1 + rn , 0 ≤ rn < rn− 1 rn− 1 = qn+1rn + rn+1 , rn+1 = 0.

Paramos el proceso al encontrar el primer resto nulo. Esto siempre sucede, puesto que el resto de una etapa es estrictamente menor que el resto de la etapa anterior y r 1 , el primer resto, es estrictamente menor que a. Aplicando el Lema I.1 se obtiene que

(a; b) = (a; r 1 ) = (r 1 ; r 2 ) =... = (rn− 1 ; rn) = rn.

Luego rn es el m´aximo com´un divisor de a y b ; es decir, (a; b) es igual al ´ultimo resto no nulo del proceso.

Ejemplo I.5. Calculemos (414; 943). 943 = 2 · 414 + 115 414 = 3 · 115 + 69 115 = 1 · 69 + 46 69 = 1 · 46 + 23 46 = 2 · 23

En este ejemplo, a = 414, b = 943 y los correspondientes restos son r 1 = 115, r 2 = 69 , r 3 = 46, r 4 = 23 y r 5 = 0. Luego (414; 943) = 23.

Este algoritmo tambi´en prueba que para un par de n´umeros enteros a, b existen α, β n´umeros enteros tales que:

(I.3) (a; b) = αa + βb.

En el Ejemplo I.5 se obtienen α y β eliminando consecutivamente los restos r 1 , r 2 ,... , rn empezando por la pen´ultima igualdad:

23 = 69 − 1 · 46 = 2 · 69 − 115 = 2 · (414 − 3 · 115) − 115 = 2 · 414 − 7 · 115 = 2 · 414 − 7 · (943 − 2 · 414) = 16 · 414 − 7 · 943.

Es decir, α = 16 y β = − 7.

Este ejemplo muestra como proceder para el caso en que a y b son dos enteros cualesquiera: se empieza por la ´ultima igualdad de la cadena en (I.2) y se contin´ua hacia atr´as, imitando lo realizado en el ejemplo.

18 Teor´ıa de N´umeros

I.1.3. N´umeros primos. Diremos que un n´umero entero p > 1 es un n´umero primo (o simplemente primo) si sus ´unicos divisores son 1, − 1 , p y −p. Si un n´umero a > 1 no es primo diremos que a es un n´umero compuesto.

En este texto trabajaremos con los primos positivos. Los primeros primos son 2, 3 , 5 , 7,

.. ., y los primeros compuestos son 4, 6 , 8 , 9 ,.. .. Hacemos notar que el n´umero 1 no es primo ni compuesto.

Examinaremos una propiedad elemental de los n´umeros primos que es de utilidad. Lema I.3. Si p es primo y p|ab entonces p|a o p|b. Es decir, si un n´umero primo divide al producto de dos n´umeros entonces necesariamente ´el debe dividir a uno de ellos (o a ambos).

La demostraci´on es simple, puesto que si p|a no hay nada m´as que hacer. Si p no divide a a entonces (p; a) = 1 (puesto que p no posee ning´un divisor positivo fuera de 1 y p); es decir, a y p son coprimos. Aplicando la propiedad ii) de la coprimalidad se obtiene que necesariamente p|b.

Ahora estamos en condiciones de describir el resultado quiz´as m´as importante de la teor´ıa de n´umeros, llamado el Teorema Fundamental de la Aritm´etica ( T.F.A.).

Teorema I.3. Sea n > 1 un n´umero entero. Entonces existen primos p 1 , p 2 ,... , pr y n´umeros enteros positivos α 1 , α 2 ,... , αr tales que

(I.5) n = pα 1 1 · pα 2 2 · · · · pα r r.

con p 1 < p 2 < · · · < pr. Adem´as esta representaci´on (I.5), llamada “descomposici´on primaria de n”, es ´unica.

Ejemplo I.7. Claramente si no se impone la condici´on p 1 < p 2 < · · · < pr , tal represen- taci´on no es ´unica. Por ejemplo el n´umero 12 posee las descomposiciones siguientes:

12 = 22 · 3 12 = 2 · 3 · 2 12 = 3 · 22 ,

pero s´olo la primera de estas cumple la condici´on p 1 = 2 < p 2 = 3. Para los n´umeros 112 y 465 , sus descomposiciones primarias son :

112 = 24 · 7 165 = 3 · 5 · 11.

La demostraci´on del T.F.A. est´a basada en el P.B.O.. Daremos a continuaci´on un esbozo de ella.

Como n > 1 entonces hay solamente dos posibilidades para n : i) n es primo, y luego no hay nada m´as que hacer: p 1 = n, α 1 = 1, y r = 1. ii) n es compuesto.

En el segundo caso se tendr´ıa que n posee divisores positivos distintos de 1 y n. Entonces llamamos p 1 al menor de los divisores positivos y mayores que 1 de n , el cual existe por

Matem´atica y Olimp´ıadas II 19

el P.B.O. puesto que el conjunto S definido por

S = {c : c|n , c > 1 }

es un conjunto no vac´ıo de enteros positivos.

Afirmaci´on: p 1 es primo. Si p 1 no fuera primo entonces p 1 posee un divisor c > 1 con c < p 1. Como c|p 1 y p 1 |n entonces c|n (propiedad iii) de la divisi´on), lo cual contradice la minimalidad de p 1 , quedando demostrada la afirmaci´on.

Por definici´on de divisor existe un n´umero entero n 1 > 1 tal que n = n 1 · p 1.

Fijemos nuestra atenci´on en n 1. Hay dos posibilidades para ´el, ya descritas en i) y ii). Aplicando el mismo argumento sobre n 1 , se obtiene que existe p 2 tal que p 2 |n 2 con p 2 el menor divisor posible de n 2. Imitando lo hecho para p 1 obtenemos que p 2 tambi´en es primo. Luego n = n 2 · p 2 · p 1 , con 1 ≤ n 2 < n 1 < n.

Continuando este m´etodo se obtiene que en alg´un instante nr es primo, pues en cada etapa nr < nr− 1 < · · · < n 2 < n 1 < n, y nr no puede ser menor que 1.

Varias preguntas se pueden plantear para los primos. Algunas de ellas son :

i) ¿ Es la cantidad de primos infinita? ii) ¿ Existe alg´un algoritmo para encontrarlos todos?

Empecemos con la primera. La respuesta a tal pregunta se encuentra en el libro IX de los Elementos de Euclides. El argumento descrito all´ı es de una simplicidad asombrosa.

Teorema I.4. (Euclides) La cantidad de n´umeros primos es infinita.

Para demostrar este teorema Euclides supuso que hay una cantidad finita de n´umeros primos y logr´o construir otro primo m´as a partir de los anteriores. Examinemos esta construcci´on mas detalladamente.

Supongamos que p 1 , p 2 ,... , pn son todos los primos posibles. Considere el n´umero entero q definido como q = p 1 · p 2 · · · pn + 1. Puesto que q > pi para todo i = 1, 2 ,... , n, se tiene que q no es primo, puesto que estamos suponiendo que {p 1 , p 2 ,... , pn} son todos los primos posibles. Puesto que q no es primo, ´el debe de ser compuesto. Aplicando el T.F.A. se obtiene que q posee un divisor primo p, el cual debe ser uno de los p 1 , p 2 ,... , pn. Es decir, p|q. Pero adem´as claramente p | (p 1 · p 2 · · · · pn). Aplicando la propiedad iv) de la divisi´on, p debe dividir al n´umero (q − p 1 · p 2 · · · · pn) = 1, y por lo tanto p = 1 lo cual contradice la definici´on de primo. En resumen, se ha probado la infinitud del conjunto de los n´umeros primos.