¡Descarga Análisis de Sensibilidad con Excel y LINDO: Aprendizaje Operativo en Proyecto e-Math - Pro y más Apuntes en PDF de Contabilidad Financiera solo en Docsity!
Proyecto e-Math 1
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD CON EXCEL Y LINDO
Autores: Ángel A. Juan ( [email protected] ), Javier Faulín ( [email protected] )
ESQUEMA DE CONTENIDOS_________________________________________
INTRODUCCIÓN____________________________________________________
En el mundo real, las condiciones de trabajo no suelen permanecer estáticas, sino en continuo estado de cambio. Así las cosas, son usuales las variaciones en los precios (tanto de productos finales como de materias primas, mano de obra, etc.), y en las cantidades de recursos disponibles. Además, continuamente se producen cambios en los métodos productivos y mejoras tecnológicas que logran aumentar la productividad. El Análisis de Sensibilidad (o de Post-optimalidad) se encarga precisamente de estudiar cómo afectaría a la solución óptima obtenida y a la función objetivo el cambio (dentro de un rango predeterminado) de uno de los parámetros, manteniendo fijos los restantes. Por ejemplo, si nuestros contables estiman al revisar los cálculos que los beneficios por cada unidad de producto vendida son de 5,5 € en vez de la estimación inicial de 5 €, o si resulta que ahora disponemos de recursos adicionales (cómo diez horas más de mano de obra, o de una nueva máquina), el Análisis de Sensibilidad nos ayudará a conocer cómo afectarán estos cambios a la solución óptima obtenida y a los beneficios totales. Conviene hacer notar que este tipo de análisis tan sólo tiene sentido para modelos lineales no enteros (no se usa en modelos enteros ni cuadráticos).
EJEMPLOS
Análisis de
Sensibilidad
Cambios en los coeficientes de la función objetivo
Cambios en los coeficientes tecnológicos
Cambios en los recursos (RHS)
EXCEL
LINDO
Proyecto e-Math 2
OBJETIVOS ____________________________
- Introducirse en los conceptos propios del análisis de sensibilidad, los cuales responden a la pregunta: ¿qué ocurriría con la solución óptima si variamos alguna de las condiciones iniciales…?
- Aprender a interpretar los “outputs” de Excel y LINDO en relación al análisis de sensibilidad.
CONOCIMIENTOS PREVIOS _______________________________________
Previo a este math-block , es conveniente haber trabajado los math-blocks siguientes: Introducción a la Investigación Operativa , PL - PLE con Excel y LINDO y Aplicaciones de la PL.
CONCEPTOS FUNDAMENTALES Y CASOS CON SOFTWARE______________
Conceptos básicos en Análisis de Sensibilidad
El Análisis de Sensibilidad se utiliza para examinar los efectos de cambios en tres áreas diferenciadas del problema:
(1) Los coeficientes de la función objetivo ( coeficientes objetivo ). Los cambios en los coeficientes objetivos NO afectan la forma de la región factible, por lo que no afectarán a la solución óptima (aunque sí al valor de la función objetivo).
(2) Los coeficientes tecnológicos (aquellos coeficientes que afectan a las variables de las restricciones, situados a la izquierda de la desigualdad). Los cambios en estos coeficientes provocarán cambios sustanciales en la forma de la región factible. Gráficamente (en el caso de 2 variables) lo que varía es la pendiente de las rectas que representan las restricciones.
(3) Los recursos disponibles (los términos independientes de cada restricción, situados a la derecha de la desigualdad). Intuitivamente (para 2 variables), los cambios en el RHS suponen desplazamientos paralelos de las rectas asociadas a las restricciones, lo cual hará variar la forma de la región factible y, con ello, a la solución óptima.
Coeficientes Objetivo
MAX 10 X + 20 Y Recursos ST (RHS) 3 X + 1 Y >= 9 1 X - 3 Y >= 5
Coeficientes Tecnológicos
Se observa rápidamente que el Análisis de Sensibilidad está íntimamente relacionado con lo que en el mundo de las hojas de cálculo (Excel, Lotus 123, etc.) se conoce como Análisis de Escenarios o “ what-if analysis ”: ¿Qué ocurriría si el beneficio producido por la línea de artículos B aumentase en un 10%?, ¿Qué sucedería si los trabajadores hiciesen una hora extra retribuida un 50% más que una normal?, etc. Así, vemos cómo el Análisis de Sensibilidad no sólo tiene que
Proyecto e-Math 4
Veamos ahora cuál sería el “output” extra del programa al escoger la opción SENSIBILITY (RANGE) ANALYSIS (opción también seleccionable desde la barra de menú como Reports>Range ):
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: Cantidad máxima en que podemos OBJ COEFFICIENT RANGES aumentar/disminuir los VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE coeficientes objetivo sin variar la solución óptima COEF INCREASE DECREASE X 50.000000 10.000000 INFINITY Y 120.000000 INFINITY 20.
RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 80.000000 160.000000 80. 3 60.000000 INFINITY 40.
(1) Cambios en los Coeficientes Objetivo: Distinguiremos entre variables básicas , que son las que toman valores no nulos en la solución óptima (Y en nuestro ejemplo), y variables no básicas , las cuales toman el valor 0 (X en este caso). Por lo que respecta al coeficiente objetivo asociado a la variable no básica (50), la solución actual (X = 0, Y = 20) seguirá siendo válida siempre que éste no exceda de 60 (su incremento permitido es de 10 unidades); si este coeficiente excediese de 60, la variable pasaría a ser básica, cambiando así la sol. óptima. Por lo que respecta al coeficiente objetivo asociado a la variable básica (120), la solución actual será válida siempre que éste no disminuya en más de 20 unidades.
Observar que, dentro de los rangos especificados, los cambios en uno de los coeficientes objetivo no alterarán la solución óptima, pero sí harán variar el valor final de la función objetivo.
(2) Cambios en los Coeficientes Tecnológicos: Estos cambios se deben a menudo a innovaciones tecnológicas o a mejoras en la productividad. Este tipo de cambios no producirá variación alguna en la función objetivo, pero sí alterará sustancialmente la “forma” de la región factible, por lo que la solución óptima también variará. Su análisis puede llegar a ser muy complejo, motivo por el cual lo omitiremos.
(3) Cambios en los recursos: Los valores que quedan a la derecha de las desigualdades ( Right-Hand-Side ) representan la disponibilidad de recursos de la empresa (horas de mano de obra, materias primas, etc.). Los cambios que se puedan producir en estos valores afectarán también a la “forma” de la región factible y, por extensión, al valor de la solución óptima. A pesar de ello, si el parámetro que varía lo hace dentro de un rango predeterminado, seremos capaces de predecir (vía precios sombra) cómo este cambio afectará a la función objetivo, pues la base (conjunto de variables básicas de la solución) no variará.
Como ya hemos comentado, el precio dual asociado a una restricción nos informa de cuánto mejoraría el valor de la función objetivo si relajásemos la restricción en una unidad. Ello nos da una idea de la cantidad que estaríamos dispuestos a pagar por cada unidad adicional del recurso asociado. Por supuesto, no es posible seguir aumentando indefinidamente los recursos disponibles sin que ello afecte a la clasificación actual de variables básicas y no básicas. La información que el “output” nos proporciona es, precisamente, el rango en el cual este precio sombra es válido. Así, en la primera de las restricciones anteriores, podríamos aumentar los recursos disponibles hasta un total de 240 unidades (80+160), incrementando con ello el valor de la función objetivo en unas 4.800 unidades (160*30).
Cantidad máxima en que podemos aumentar/disminuir los recursos disponibles sin variar la solución
Proyecto e-Math 5
Ejemplo: Queremos resolver el siguiente problema de PL referido a una compañía que produce dos tipos de lanchas acuáticas:
Maximizar beneficios = 30 X1 + 80 X Sujeto a: 2 X1 + 4 X2 <= 1.000 (horas de mano de obra disponibles) 6 X1 + 2 X2 <= 1.200 (kg. de materia prima disponibles) X2 <= 200 (motores de lancha tipo 2 disponibles) X1, X2 >= 0
(a) ¿Cuál es la mejor combinación productiva? ¿Cuál es el beneficio máximo?. (b) ¿Cuánto valen los precios sombra? Una vez alcanzada la solución óptima, ¿qué recurso tiene un valor marginal más elevado?. (c) Para cada recurso, ¿cuál es el rango de tolerancia en el que son válidos los precios sombra?. (d) ¿Cuáles son los rangos de tolerancia en que pueden variar los coeficientes objetivo?. (e) Plantear y resolver el problema dual.
Al plantear este problema en el programa LINDO, éste nos ofrece el siguiente “output”:
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 100.000000 0. X2 200.000000 0.
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
- 0.000000 15.
- 200.000000 0.
- 0.000000 20.
NO. ITERATIONS= 2
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 30.000000 10.000000 30. X2 80.000000 INFINITY 20.
RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 1000.000000 66.666664 200. 3 1200.000000 INFINITY 200. 4 200.000000 50.000000 20.
(a) Se observa en el “output” que lo óptimo será producir 100 lanchas de tipo 1 y 200 de tipo 2, lo cual nos proporcionará unos beneficios de 19.000 €.
(b) El precio dual de la primera restricción es de 15, lo cual significa que estaríamos dispuestos a pagar hasta 15 € por disponer de una hora más de mano de obra. El precio dual de la segunda restricción es 0, lo cual resulta lógico dado que no agotamos toda la materia prima disponible (en el óptimo aún nos sobran 200 kg.). Finalmente, estaríamos dispuestos a pagar hasta 20 € por disponer de un motor adicional de tipo 2, lo que convierte este recurso en el de mayor valor marginal.
(c) Los precios sombra anteriores son válidos en los rangos establecidos por el “output”. Así, por ejemplo, nuestros beneficios aumentarían en 15 € por cada hora extra de que dispusiésemos
Proyecto e-Math 7
Ejemplos Análisis de Sensibilidad con Excel
Ejemplo 1: Compañía de producción de televisores.
Una compañía produce televisores, equipos Hi-Fi y altavoces utilizando una serie de componentes comunes, tal y como se indica en la tabla inferior.
Estos componentes están disponibles en cantidades limitadas, por lo que se trata de plantear el problema de maximización restringida de beneficios sabiendo que la contribución neta de los tres productos es, respectivamente, de 75 €, 50 €, y 35 €.
Televisor Hi-Fi Altavoces Disponibilidad Chasis 1 0 450 Tubo de imágenes 1 0 250 Conos de altavoces 2 1 800 Fuente de alimentación 1 0 450 Componentes electrónicos 2 1 600
El primer paso sería plantear el problema en la hoja de cálculo:
El menú de diálogo de Solver nos quedará algo así:
Proyecto e-Math 8
Ahora, deberemos seleccionar dentro de Opciones la casilla Adoptar modelo lineal:
Haciendo clic sobre el botón Resolver, obtendremos la ventana de Resultados:
Elegimos las opciones Respuestas y Sensibilidad. Excel nos dará el siguiente “output”:
SOLUCIÓN ÓPTIMA
VALOR ÓPTIMO DE LA FUNCIÓN OBJ.
CARÉNCIA O EXCEDENTE (SLACK OR SURPLUS)
Proyecto e-Math 10
de las máquinas empleadas. Las capacidades de producción para la semana siguiente, y los costes unitarios, se expresan de esta forma:
Máquina I II III Capacidad 1500 1500 1000
Producto A Producto B Producto C Máquina I 1 1.2 0. Máquina II 1.3 1.4 1. Máquina III 1.1 1 1.
a) Usar un modelo del transporte para desarrollar un diseño de producción de costo mínimo para productos y máquinas. b) ¿Existe una solución alternativa al diseño óptimo de producción? Si el director de producción quisiera diseñar el mínimo coste de tener el número más pequeño posible de cambios de elaboración de productos sobre las diferentes máquinas, ¿qué solución recomendaría? (solución alternativa que dé un menor número de máquinas haciendo cada producto)
Resolución:
Es necesario observar que aunque el modelo que resuelve este problema es de transporte, el problema en sí mismo es de producción. Sin embargo, los modelos de transporte se adaptan adecuadamente a este tipo de problemas. Además, hay que llamar la atención sobre el hecho de que las tres primeras restricciones son de desigualdad porque establecen las capacidades máximas de cada máquina. La definición de las variables de decisión es la usual, llamando Aj al número de unidades del producto A que se fabrican en la máquina j-ésima, Bj al número de unidades del producto B que se fabrican en la máquina j-ésima y Cj al número de unidades del producto C que se fabrican en la máquina j-ésima
y la solución a este problema aparece escrita en la forma siguiente:
- Proyecto e-Math
- Proyecto e-Math
Proyecto e-Math 14
OTROS ASPECTOS IMPORTANTES DEL ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD________
El análisis de sensibilidad es de suma importancia en las aplicaciones prácticas de la
programación lineal, puesto que la realidad nunca es estática. Los cambios son continuos en los
problemas reales: cambios de precios, de disponibilidad de recursos, de tecnología de producción,
etc. No obstante, en el análisis de cambios existen dos perspectivas que permiten abordar los
problemas:
a) análisis de sensibilidad discreto (ha cambiado el precio de un producto P de 5 € a 8 € y se
quiere saber si con el nuevo valor la solución óptima del problema ha cambiado o no, y si lo ha hecho
cuál es la nueva solución)
b) análisis de sensibilidad continuo (el precio de un producto P es w ∈[ 4 , 10 ] euros , entonces se
pide resolver el problema de programación lineal en función de w ).
El primer caso, es el que se ha analizado aquí mediante el uso de LINDO y Excel. El segundo
caso es mucho más complejo, pero permite saber cuál es el valor mejor para un parámetro w. De
esta forma, en lugar de decir qué pasa si cambio el precio del producto P de 5€ a 8€, me preguntó
qué precio debo poner al producto P dentro de un rango preestablecido para cumplir otras metas que
no se hayan especificado en las restricciones del problema. Se trata de un proceso de elección
óptima de precios. La resolución de programas lineales con parámetros es lo que se llama
Programación Paramétrica , que no se estudiará directamente aquí pero que es interesante conocer.
Un ejemplo de programa paramétrico es el siguiente:
Habría que resolver el programa lineal arrastrando los valores del parámetro . Para cada valor de
dicho parámetro con sentido económico habría que dar una solución al programa lineal que podría
representar una minimización de costes.
