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Capítulo VIII
MOMENTOS DE INERCIA
8.1 INTRODUCCIÓN
En este capítulo desarrollaremos un método para determinar el momento de inercia de un
área y de un cuerpo que tenga una masa específica. El momento de inercia de un área es una
propiedad importante en ingeniería, puesto que ésta debe determinarse o especificarse si uno va
a analizar o diseñar un miembro de una estructura o parte mecánica. Por otro lado, se debe
conocer el momento de inercia del cuerpo si se estudia el movimiento del mismo cuerpo.
8.2 MOMENTOS DE INERCIA PARA ÁREAS
Cuando se determina el centroide de un área se considera el primer momento de área con
respecto a un eje, es decir, para el cálculo se evalúa una integral de la forma:
x dA
Las integrales del segundo momento de un área tal como:
2
x dAson llamadas momentos
de inercia del área.
El momento de inercia de un área se origina siempre al tener que calcular el momento de
una carga distribuida, variable en forma lineal, del eje de momentos.
Asimismo podemos formular el segundo momento del área con respecto al polo O , o eje z.
Esto se conoce como momento polar de inercia J 0 y se define por:
2 o x y A
J r dA I I
^ ;^ Donde:
2 2 2 r x y
r
x
y
x
y
dA A
O
Si consideramos un área A, en el plano xy, los
momentos de inercia de esta área con respecto a
los ejes x e y se define por:
2 2
I x Ay dA Kx A
2 2
I y Ax dA K yA
Dónde:
Kx = radio de giro con respecto al eje x
Ky = radio de giro con respecto al eje y
Notas:
- I (^) x ,I (^) y y Joson siempre positivos.
- Las unidades del momento de inercia son: m
4 , cm
4 , mm
4 , pulg
4 .
8.3 TEOREMA DEL EJE PARALELO PARA UN ÁREA (TEOREMA DE STEINER)
“El momento de inercia de un área con respecto a un eje es igual al momento de inercia
del área con respecto a un eje paralelo que atraviesa su centroide, más el producto del área y el
cuadrado de la distancia perpendicular entre los ejes”
Donde: dx y dy son distancias perpendiculares entre los ejes.
8.4 RADIO DE GIRO DE UN ÁREA
El radio de giro de un área plana se utiliza en el diseño de columnas en mecánica de
estructuras. Siempre y cuando se conozcan las áreas y los momentos de inercia, el radio de giro
se determina con las fórmulas:
0 0
x^ y x y
I I J
K K K
A A A
8.5 MOMENTOS DE INERCIA DE ÁREAS COMPUESTAS
El momento de inercia de un área compuesta es igual a la suma algebraica de los
momentos de inercia de todas sus partes componentes.
Método de cálculo:
- Divide el área compuesta en sus partes componentes e indique la distancia perpendicular
existente desde el centroide de cada parte hasta el eje de referencia.
!
2 I (^) x I (^) xAdy
!
2 I (^) y I (^) y Adx
2
J o J cAd
dx
dy
x
y
o
! x
! x
! y
dA
c
d
dx
dy
x
y
O
! x
! y
! x
! y
dA
c
d
8.7 MOMENTOS DE INERCIA DE MASAS
El momento de inercia de masa es una propiedad que mide la resistencia del cuerpo a una
aceleración angular. Se define como la integral del “segundo momento” con respecto a un eje de
todos los elementos de masa dmque componen el cuerpo.
OBSERVACIONES:
a) Si el cuerpo se compone de un material cuya densidad es variable, entonces el momento
de inercia de masa “ I” está dado por:
2 V
I r dV
b) Si es constante, entonces “ I” se halla por:
2
V
I r dV
Nota:
El teorema de Steiner (o del eje paralelo) para el momento de inercia de masa, viene dado por la
siguiente expresión:
2 I I (^) Gm d
dónde:
IG = momento de inercia con respecto al eje z´ que atraviesa el centro de masa G.
m = masa del cuerpo
d = distancia perpendicular entre los ejes paralelos.
r
z
dm
Para el cuerpo rígido mostrado en la figura, su momento de
inercia de masa con respecto al eje z, viene dado por:
2
m
I r dm
r = distancia perpendicular desde el eje hasta el elemento
diferencial “ dm”.
- El eje que generalmente se elige para el análisis atraviesa el
centro de masa del cuerpo.
8.7.1 MOMENTOS DE INERCIA DE MASA PARA UN DISCO CIRCULAR
DELGADO DE MASA “m” Y RADIO “r”
Cálculo de Iz (momento de inercia del disco circular delgado, respecto al eje z)
Por definición, el momento de inercia del disco circular delgado, respecto al eje z que
atraviesa su centro de masa, viene dado por:
I r dm
m
z
2 ( ' )
, r'= distancia perpendicular del eje z al elemento “dm”
Se cumple: dm dV( r'dr'ddz)
Reemplazando “ dm”, la ecuación de Iz queda:
Resolviendo la integral y reemplazando la densidad “ ” del disco circular:
r z
m
V
m
2
obtenemos que:
2
1 I m r z
Cálculo de Ix (momento de inercia del disco circular delgado, respecto al eje x)
Por definición, el momento de inercia del disco circular delgado, respecto al eje x que
atraviesa su centro de masa, viene dado por:
I r dm
m
x
2 ( '' )
, r''= distancia perpendicular del eje x al elemento “dm”
Para calcular los momentos de inercia del
disco circular delgado se debe recordar
que en coordenadas cilíndricas, el
volumen para el elemento diferencial de
masa “ dm ”, mostrado en la figura, viene
dado por:
dV r'dr'ddz
y
z
x
r’ dm ϕ
r z
8.7.2 MOMENTOS DE INERCIA DE MASA PARA UN CILINDRO DE MASA “m”,
ALTURA “h” Y SECCIÓN TRANSVERSAL DE RADIO “r”
Cálculo de Iz (momento de inercia del cilindro, respecto al eje z )
El momento de inercia para el cilindro, respecto al eje z que atraviesa su centro de masa,
se halla a partir del valor conocido del momento de inercia para un disco delgado.
Se cumple:
2 ( ) ( ) 2
dI (^) z CILINDRO dmr
Dónde: ( )
2
dm dVr dz
***** Como el elemento diferencial (disco circular delgado) y el cilindro son del mismo material,
entonces su densidad es la misma. Esta densidad la hallo dividiendo la masa del
cilindro entre su respectivo volumen, es decir:
2 r h
m
V
m
Reemplazando “ dm” en la ecuación del momento de inercia “ dIz(CILINDRO)” e
integrando, obtenemos:
2 ( ) 2
1 I (^) z CILINDRO mr
Para calcular los momentos de
inercia del cilindro se
recomienda elegir como
elemento diferencial un disco
circular delgado de masa “ dm ”,
radio “ r ” y espesor “ dz ”, tal
como se observa en la figura.
z
z
dz
y
x
y ’
r
r
h/
h/
Cálculo de IY (momento de inercia del cilindro, respecto al eje y )
El momento de inercia para el cilindro, respecto al eje y que atraviesa su centro de masa,
se halla a partir del valor conocido del momento de inercia para un disco delgado y
aplicando el teorema de Steiner o teorema del eje paralelo.
Por lo tanto, se cumple:
2 2 ( ) ( ) ( ) 4
dI (^) Y CILINDRO dmr dm z
Reemplazando “ dm” e integrando, obtenemos:
( 3 ) 12
(^1 ) I (^) Y ( CILINDRO) m r h
NOTA.- debido a la simetría de la figura, el momento de inercia del cilindro, respecto al eje
x que atraviesa su centro de masa, es igual al momento de inercia respecto al eje y. Es
decir:
( 3 )
12
(^1 ) I (^) X ( CILINDRO) IY(CILINDRO) m r h
8.7.3 MOMENTOS DE INERCIA DE MASA PARA UNA ESFERA DE MASA “m”
Y RADIO “r”
y
x
z
r ’
r
z
dz
Al igual que en el caso del
cilindro, para calcular los
momentos de inercia de la
esfera se recomienda elegir
como elemento diferencial
un disco circular delgado de
masa “ dm ”, radio “ r ‘ ” y
espesor “ dz ”, tal como se
observa en la figura.
8.7.4 MOMENTOS DE INERCIA DE MASA PARA UNA PLACA DELGADA DE
MASA “m” Y LADOS “a” Y “b”
Para calcular los momentos de inercia de la placa delgada elegimos un elemento
diferencial de masa “ dm ”, ubicado a una distancia perpendicular “ r ”, respecto al eje z, tal
como se aprecia en la figura. De ella también se concluye que las componentes de r : “ x ” e
“ y ”, son distancias perpendiculares del elemento diferencial a los ejes coordenados.
Además, asumiremos que la placa delgada tiene espesor “z”.
Cálculo de Iz (momento de inercia de la placa delgada, respecto al eje z )
Por definición, el momento de inercia de la placa delgada, respecto al eje z que atraviesa
su centro de masa, viene dado por:
I r dm
m
z ^
2 , r = distancia perpendicular del eje z al elemento “dm”
Se cumple: dm dV( dxdydz)
De la figura se observa que:
2 2 2 r x y
Reemplazando “
2 r ” y “ dm”, la ecuación de Iz queda:
( )( )
2 2
/ 2
/ 2
/ 2
/ 2
/ 2
/ 2
I x y dx dy dz
z
z
b
b
a
a
z ^
Resolviendo la integral y reemplazando la densidad “ ” de la placa delgada:
a b z
m
V
m
obtenemos que:
( ) 12
(^1 2 ) Iz m a b
x
y
z
dm
x r
y
b
a
Cálculo de IX (momento de inercia de la placa delgada, respecto al eje x )
Por definición, el momento de inercia de la placa delgada, respecto al eje x que atraviesa
su centro de masa, viene dado por:
I r dm
m
x
2 ( ' )
, r'= distancia perpendicular del eje x al elemento “dm”
Al trazar la distancia perpendicular r', desde el eje x hasta el elemento diferencial “ dm ”,
se observa que esta distancia es igual a la distancia “y”. Es decir:
r 'y
Si esta distancia “ r' ” y el diferencial de masa “ dm ” se reemplazan en la ecuación del
momento de inercia Ix, tenemos:
( ) ( )
2
/ 2
/ 2
/ 2
/ 2
/ 2
/ 2
I y dx dy dz
z
z
b
b
a
a
X ^
Resolviendo la integral y reemplazando la densidad “ ” de la placa delgada:
a b z
m
V
m
obtenemos que:
2
12
1 I (^) X mb
Cálculo de IY (momento de inercia de la placa delgada, respecto al eje y )
Para calcular el momento de inercia IY se procede de manera similar al cálculo de IX.
En este caso, la distancia perpendicular del eje y que atraviesa su centro de masa, al
elemento diferencial, es “ x ”.
Al evaluar la ecuación del momento de inercia IY se obtiene que:
2
12
1 I m a Y
Cálculo de IY (momento de inercia del prisma rectangular, respecto al eje y )
El momento de inercia para el prisma rectangular, respecto al eje y que atraviesa su centro
de masa, se halla a partir del valor conocido del momento de inercia para una placa
delgada.
Por lo tanto, se cumple que:
dI (^) Y ( PRISMA) dm a c
donde: dm^ dV(^ acdy) ; siendo:
a b c
m
V
m
Reemplazando “ dm” en la ecuación del momento de inercia “ dIY(PRISMA)” e integrando,
obtenemos:
( )
12
(^1 )
( )
I m a c Y PRISMA
NOTA.- para calcular el momento de inercia del prisma rectangular, respecto al eje z que
atraviesa su centro de masa, se procede de manera similar al cálculo del momento de
inercia con respecto al eje x. Procediendo de esta forma, se obtiene que:
( )
12
(^1 ) I (^) z ( PRISMA) m a b
8.8 TABLA 8.1 – Momentos de inercia de formas corrientes
8.9 PROBLEMAS RESUELTOS DE MOMENTOS DE INERCIA
PROBLEMA Nº 1
Determine el momento de inercia de masa Iz del sólido que se forma al girar el área sombreada
alrededor del eje z. La densidad del material es 7,85 Mg/m
3 .
Resolución
Al girar el área sombreada alrededor del eje z, se obtiene el sólido mostrado a continuación. Para
calcular el momento de inercia de dicho sólido elijo como elemento diferencial un disco circular
delgado porque se conoce sus momentos de inercia de masa, respecto a los ejes x , y, z.
Se sabe que:
2
4
I (^) x Iy mr
2
2
I (^) z mr
y
z
x
r
Disco circular delgado de masa “m”
z 8 y
2
4 m
y
x
z
Para el problema dado, el momento de inercia del disco será un diferencial del momento de
inercia del sólido, es decir:
2 ( ) ( ) 2
dI (^) Z SOLIDO dm r... (1)
Dónde:
2 z r y r ; dz
z dm dV r dz dm 64
4 2
Reemplazamos en (1) :
4 4
( )
z dz
z
dI Z SOLIDO
Integrando tenemos:
I (^) Z SOLIDO z dz
4
0
8 ( ) 2 ( 64 )( 64 )
2
I Z ( SOLIDO) 87 685 , 546 kgm
z 8 y
2 4 m
R = 2 m
y
x
z
z
dz
y
r
I (^) x ' (TOTAL)Ix'(Al)Ix'(Fe)... (1)
Hallo Ix' (Al) (momento de inercia del cilindro de aluminio, respecto al eje x' ):
Si consideramos como elemento diferencial un disco circular delgado de radio r , masa dm y
espesor dx , se sabe que su momento de inercia, respecto al eje x', está dado por:
2 ' ( ) ( ) 2
dI (^) x Al dm r ; donde:dm (^) Al ( r )dx
2
Reemplazamos “ dm”:
2 2 ' ( ) ( ) 2
dI (^) x Al Alr dx r
Integrando, tenemos:
0 , 6
0
4
' ( ) 2
dx
r I
Al x Al
I (^) x ' (Al) 0 , 25497 kgm
Hallo Ix' (Fe) (momento de inercia del cilindro de hierro, respecto al eje x' ):
En este caso, se cumple:
2 ' ( ) ( ) 2
dI (^) x Fe dmr ; donde:dm (^) Fe ( r )dx
2
Reemplazamos “ dm” :
2 2 ' ( ) ( ) 2
dI x Fe Fer dx r
Integrando, tenemos:
1 , 2
0 , 6
4
' ( ) 2
dx
r I
Fe x Fe
I x ' (Fe) 0 , 740789 kgm
Reemplazando en la ecuación (1), tenemos:
2
I x ' (TOTAL) 0 , 94526 kgm
Cálculo de Iy' (TOTAL) (momento de inercia para el cilindro compuesto, respecto al eje y' )
En este caso debemos recordar que el momento de inercia para un cilindro de masa “ m ”, altura “ h ”
y sección transversal de radio “ r ”, respecto al eje centroidal “y”, el cual es perpendicular al eje del
cilindro, viene dado por la ecuación siguiente:
I (^) y ( Cilindro) m r h h y
Eje centroidal
r
Aplicando esta ecuación y el principio del eje paralelo, tenemos que el momento de inercia del
cilindro de aluminio, respecto al eje y', está dado por:
2 1
2 2 ' ( ) (^3 ) 12
I (^) y Al mAl r h mAld
2 2 2 ' ( ) (^3 ) (^0 ,^74660 ,^3 ) 12
Iy Al mAl r h mAl
2 I (^) y ' (Al) 11 , 804896 kgm
Para comprender mejor la ecuación anterior, ver la figura siguiente:
Para el cilindro de hierro, tenemos:
2 2
2 2 ' ( ) (^3 ) 12
I (^) y Fe mFe r h mFed
2 2 2 ' ( ) (^148 ,^1575 )(^30 ,^10 ,^6 )^148 ,^1575 (^0 ,^90 ,^7466 ) 12
Iy Fe
2 I (^) y ' (Fe) 8 , 307495 kgm
Para calcular Iy' (TOTAL)aplicamos principio de superposición. Es decir:
I (^) y ' (TOTAL)Iy'(Al)Iy'(Fe)
2
I y ' (TOTAL) 20 , 106391 kgm
y
z
y’
z’
x, x’
0 ,3 m
Eje centroidal para el aluminio
10 cm
C.M.
Al
Fe
0 ,9 m
d 1
x 0 , 7466 m
Eje centroidal para el hierro
d 2
