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XIII
CONTENIDO
1 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS .................................................................................. 1
Ejercicio 1.1 Funciones de Fuerzas cortante y normal, y de momento flector de una viga isostática con un soporte inclinado ................................................ 1 Ejercicio 1.2 Diagramas de fuerza cortante y de momento para una viga con carga triangular ..................................................................................................... 8 Ejercicio 1.3 Análisis de una viga con carga compleja ................................... 12 Ejercicio 1.4 Diagramas de fuerza cortante y normal, y de momento para un pórtico .................................................................................................................. 25 Ejercicio 1.5 Fuerzas en las barras de una armadura simétrica .................. 36 Ejercicio 1.6 Fuerzas en las barras de una armadura no simétrica ............. 42 Ejercicio 1.7 Resolución de un arco triarticulado parabólico ....................... 47
Ejercicio 1.8 Resolución de un arco triarticulado circular .............................. 54
2 ANÁLISIS ESTRUCTURAL ........................................................................................ 63
Ejercicio 2.1 Método de flexibilidades aplicado a una viga ........................... 63 Ejercicio 2.2 Método de flexibilidades aplicado a una viga con un asentamiento en un soporte ....................................................................................................... 72 Ejercicio 2.3 Método de flexibilidades aplicado a una viga con un asentamiento en un soporte modelado como resorte helicoidal ............................................ 82 Ejercicio 2.4 Método de flexibilidades aplicado a un pórtico con un asentamiento en un apoyo ................................................................................. 91 Ejercicio 2.5 Método de la rigidez matricial aplicado a una armadura en 2D .............................................................................................................................. Ejercicio 2.6 Análisis de una armadura con un rodillo en un plano inclinado empleando el método de la rigidez matricial ................................................... 125 Ejercicio 2.7 Resolución de una viga con el uso del método de la rigidez directa ................................................................................................................. 134 Ejercicio 2.8 Solución de una viga con asentamiento en un apoyo por medio del método de la rigidez matricial ..................................................................... 144
XIV
Ejercicio 2.9 Resolución de un pórtico plano con el método de la rigidez directa ................................................................................................................. 150
3 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA ESTRUCTURAL ................................................. 159
Ejercicio 3.1 Análisis de un sistema de un grado de libertad, sin amortiguación .............................................................................................................................. 159 Ejercicio 3.2 Análisis de un sistema de un grado de libertad, con amortiguación ..................................................................................................... Ejercicio 3.3 Respuesta de un sistema de un grado de libertad sin amortiguación, a excitación armónica .............................................................. 168 Ejercicio 3.4 Respuesta de un sistema de un grado de libertad amortiguado, a excitación armónica ........................................................................................ 171
BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................................. 175
𝑟 = 3, tres ecuaciones de equilibrio (∑ 𝐹𝑋 = 0, ∑ 𝐹𝑌 = 0, ∑ 𝑀 = 0), 𝑛 = 3, y ninguna ecuación de condición (no existe articulación (rótula) ni conexión cortante intermedia), 𝑐 = 0, se concluye que la viga es isostática o estáticamente determinada debido a que se cumple que 𝑟 = 𝑛 + 𝑐, puesto que 3 = 3 + 0.
Si 𝑟 > (𝑛 + 𝑐), entonces la viga es estáticamente indeterminada, o bien, en caso de que 𝑟 < (𝑛 + 𝑐), se infiere que la viga es inestable.
Cálculo de las reacciones en los apoyos
Diagrama de cargas. Este diagrama se muestra en la figura 1-1b. El sentido de cada reacción ha sido supuesto arbitrariamente debido a que las fuerzas reactivas no son conocidas. Para la carga distribuida se tienen que determinar: a) la carga concentrada equivalente, es decir, la magnitud de la fuerza resultante de la carga, que es igual al área bajo la curva de carga (en este caso, por ser carga uniforme es el área del rectángulo) y b) el centroide de dicha área a través del cual pasa la línea de acción de la resultante,o sea, se halla el punto de aplicación de la resultante (para una carga rectangular, el centroide se localiza a la mitad de la longitud de la base).
- 5 𝑘/𝑓𝑡
1
2 24´
10´ 12
5
𝜃
𝜃 𝑅 2 𝑋
𝑅 2 𝑌
𝐴 = 12 𝑘
𝑥 = 12´
𝑋
𝑌
(b)
Por otra parte, se han establecido en sus cuadrantes positivos a los ejes coordenados 𝑋 y 𝑌 más convenientes para aplicar las ecuaciones de equilibrio en la estructura; esto último hace que sea necesario descomponer a 𝑅 1 en sus componentes rectangulares horizontal y vertical, las cuales han sido etiquetadas como 𝑅1𝑋 y 𝑅1𝑌 respectivamente.
La fuerza resultante de la carga uniforme distribuida y su punto de aplicación son
𝐴 = (0.5𝑘/𝑓𝑡)(24𝑓𝑡)^ = 12𝑘 𝑥̅ = 12 (24´)^ = 12´
De acuerdo a las figuras 1-1c y 1-1d, las componentes rectangulares de la reacción 𝑅 1 en el plano 𝑋 − 𝑌 son
𝜃 = tan−^
𝑅1𝑋 = 𝑅 1 sin 𝜃 = 𝑅 1 ∙ 𝑠𝑖𝑛22.6198° = 0.3846𝑅 1
𝑅1𝑌 = 𝑅 1 cos 𝜃 = 𝑅 1 ∙ 𝑐𝑜𝑠22.6198° = 0.923𝑅 1
Ecuaciones de equilibrio. Se aplican al diagrama de cargas para calcular las reacciones en los apoyos; la convención de signos que se adopta es arbitraria. En caso de que la solución de las ecuaciones de equilibrio proporcione una magnitud negativa para una fuerza reactiva, su sentido propuesto debe ser invertido.
Tomando momentos alrededor del punto 2 considerando los ejes que pasan por tal punto, se puede despejar directamente el valor de 𝑅 1.
- ∑ 𝑀2 = 0 ⇒ 𝑅1𝑋(10) + 𝑅1𝑌(24) − 12(12) = 0
𝜃 𝜃 12
5
Plano de deslizamiento del soporte 90°
𝜃
𝑅 1 𝑋
𝑅 1 𝑌
(c)
(d)
En la figura 1-1e se visualizan los valores de las reacciones en los soportes con sus correspondientes sentidos adecuados. A continuación se aplica el método de las secciones (cortes). La distribución de la carga actuante no presenta discontinuidad, así que sólo será necesario efectuar un corte perpendicular al eje longitudinal de la viga para definir los elementos mecánicos, también llamados acciones internas, que corresponden a la fuerza axial o normal 𝑁, la cual actúa en la misma dirección que la del eje longitudinal de la viga, la fuerza cortante 𝑉 que es perpendicular a 𝑁 y el momento flexionante 𝑀; se considera como origen del sistema coordenado al punto 1 , así que la coordenada 𝑥 es positiva hacia la derecha y hacia abajo, y es válida para la región 1 − 2 (0 ≤ 𝑥 ≤ 26´), debido a que la longitud de la viga es
𝐿 = √(24´)^2 + (10´)^2 = 26´.Se secciona la viga en un punto arbitrario (intermedio en el segmento 1 − 2) a una distancia 𝑥 del punto 1.
En la figura 1-1f se proporciona un diagrama de cuerpo libre del segmento de viga con longitud 𝑥. El área 𝐴𝐶 bajo el rectángulo y su centroide 𝑥𝐶 deben determinarse. Las acciones internas aparecen actuando en sus direcciones positivas de acuerdo a la convención de signos más usual y sus funciones se deducen aplicando las ecuaciones de equilibrio cuya convención de signos si puede ser indistinta en el diagrama mencionado.
(f)
La carga concentrada equivalente de la carga distribuida uniforme del corte y su punto de aplicación son, respectivamente
𝐴𝐶 = (0.5)(0.923𝑥) = 0.4615𝑥 𝑥𝐶 =
Con base en la figura 1-1g se determinan las componentes rectangulares de la fuerza resultante 𝐴𝐶 cuyas líneas de acción coinciden con las de 𝑁 y 𝑉, es decir, las componentes que actúan en forma paralela y perpendicular al eje longitudinal de la viga.
𝐴𝐶𝑋 = 𝐴𝐶 sin 𝜃 = 0.4615𝑥(0.3846) = 0.1775𝑥
𝐴𝐶𝑌 = 𝐴𝐶 cos 𝜃 = 0.4615𝑥(0.923) = 0.426𝑥
Las distancias auxiliares 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑑 se deducen a partir del triángulo rectángulo que
se observa en la figura 1-1h.
𝑐 = 𝑥 sin 𝜃 = 0.3846𝑥
𝑎 = 𝑥 cos 𝜃 = 0.923𝑥
Si tomamos momentos alrededor del punto del corte, puede obtenerse directamente el momento 𝑀 en función de 𝑥.
𝐴𝐶 = 0. 4615 𝑥 𝜃
𝜃 𝑎
𝑐
(g)
(h)
Ejercicio 1.2 Diagramas de fuerza cortante y de momento para una viga con carga triangular.
Instrucciones Para una viga simplemente apoyada de longitud 𝐿 que soporta una carga cuya variación lineal va de 0 en el apoyo 𝐴 hasta 𝑤 en el apoyo 𝐵, figura 1-2a, dibuje los diagramas de momento y cortante.
SOLUCIÓN
Cálculo de las reacciones en los apoyos
Diagrama de cargas. Las reacciones en los apoyos han sido identificadas y el sentido de cada una de ellas se ha supuesto arbitrariamente por desconocerse; por otra parte, se ha determinado la carga concentrada equivalente 𝐴 para la carga distribuida de intensidad con variación lineal y su punto de aplicación 𝑥̅. La figura 1-2b indica el diagrama de cargas de la estructura.
Ecuaciones de equilibrio. Se aplican al diagrama de cargas para obtener las fuerzas reactivas en los soportes; la convención de signos a utilizar es indistinta.
𝑤𝐿^2
Figura 1- 2
(a)
Funciones de fuerza cortante y de momento
En la figura 1-2c se visualizan los valores de las reacciones en los soportes con sus correspondientes sentidos adecuados; se especifica la coordenada 𝑥 a utilizar cuyo origen asociado está en 𝐴. El momento y el cortante deben estar en función de 𝑥 y como no hay discontinuidad de carga a lo largo de la estructura, sólo se efectuará un corte perpendicular al eje de la viga.
(b)
(c)
𝑥^2 ⇒ 𝑥^2 =
2𝑤𝐿^2
𝐿^2
Al hacer 𝑥𝑚𝑎𝑥 = 𝑥 en la ecuación de 𝑀, el momento máximo resulta ser
3
𝑤𝐿^2
𝑤𝐿^2
𝑤𝐿^2 ⇒∴ 𝑀𝑚𝑎𝑥 =
𝑤𝐿^2
Diagramas de fuerza cortante, momento flector
Una vez que se han determinado las funciones de fuerza cortante y de momento flector, estas se evaluan en el intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿, tablas 1-1 y 1-2. Luego, los respectivos diagramas, figuras 1-2e y 1-2f, se obtienen de graficar los datos dispuestos en forma tabular.
Tabla 1- 1
Tabla 1- 2
(e)
(f)
Ejercicio 1.3 Análisis de una viga con carga compleja.
Instrucciones Calcule las fuerzas reactivas en los soportes y determine las funciones del momento flector y de las fuerzas cortante y normal de la viga isostática mostrada en la figura 1-3a. Obsérvese que en los extremos izquierdo y derecho están aplicadas cargas puntuales de 7𝑇 con una pendiente de 3: 4 y de 5𝑇 con una pendiente de 1: 1 respectivamente; sobre la región 𝐵 − 𝐷 se extiende una carga cuya intensidad varía linealmente desde 0 en el punto 𝐵 hasta 3𝑇/𝑚 en el punto 𝐷 y sobre la región 𝐷 − 𝐹 la estructura soporta una carga distribuida irregularmente en la que se conocen seis puntos de intensidad de carga cuyos valores son indicados.
SOLUCIÓN
Cálculo de las reacciones en los apoyos
Diagrama de cargas. Primero se construye una función polinomial que ajuste a los puntos conocidos de la carga distribuida irregularmente; como se tienen seis datos, se propone una función polinómica de grado cinco (ndatos -1) de la siguiente forma:
𝑦 = 𝑎𝑥^5 + 𝑏𝑥^4 +𝑐𝑥^3 + 𝑑𝑥^2 + 𝑒𝑥 + 𝑓 − − − (𝐼)
Tomando como origen al punto 𝐴 se sabe que
𝑒𝑛 𝑥 = 4𝑚, 𝑦 = 0; 𝑒𝑛 𝑥 = 5𝑚, 𝑦 = 2𝑇/𝑚; 𝑒𝑛 𝑥 = 6𝑚, 𝑦 = 3𝑇/𝑚
𝑒𝑛 𝑥 = 7𝑚, 𝑦 = 1𝑇/𝑚; 𝑒𝑛 𝑥 = 8𝑚, 𝑦 = 2𝑇/𝑚; 𝑒𝑛 𝑥 = 9𝑚, 𝑦 = 0
Si sustituimos los valores anteriores en la ecuación (𝐼), se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
0 = 𝑎(4)^5 + 𝑏(4)^4 +𝑐(4)^3 + 𝑑(4)^2 + 𝑒(4) + 𝑓
0 = 1024𝑎 + 256𝑏 + 64𝑐 + 16𝑑 + 4𝑒 + 𝑓 − − − (1)
2 = 𝑎(5)^5 + 𝑏(5)^4 +𝑐(5)^3 + 𝑑(5)^2 + 𝑒(5) + 𝑓
2 = 3125𝑎 + 625𝑏 + 125𝑐 + 25𝑑 + 5𝑒 + 𝑓 − − − (2)
3 𝑇/𝑚 2 𝑇/𝑚
3 𝑇/𝑚
1 𝑇/𝑚
2 𝑇/𝑚
𝐴 (^) 𝐵 (^) 𝐶 𝐷 (^) 𝐺
1 𝑚 (^2) 𝑚 1 𝑚 1 𝑚 1 𝑚 1 𝑚 1 𝑚 1 𝑚 (^2) 𝑚
1
1 3
4
Carga distribuida irregularmente
𝐸 𝐹
Figura 1- 3
(a)
una pequeña porción de la carga distribuida, específicamente la que se extiende de 4𝑚 a 4.45𝑚, actúa hacia arriba; lógicamente en 𝑥 = 4.45𝑚, 𝑦 = 0. La fuerza resultante para esta porción de carga distribuida es
𝐴 2 = ∫ 𝑑𝐴 = ∫ 𝑦𝑑𝑥
𝐿 2
𝐿 1
5 +^16
4 −^401
4
𝐴 2 = [−
1 36 𝑥
(^6) +^16 15 𝑥
(^5) −^401 24 𝑥
(^4) +^136389 1000 𝑥
(^3) −^2443 4 𝑥
(^2) + 1422𝑥] 4
1 36
(4.45^6 − 4.00^6 ) +
16 15
(4.45^5 − 4.00^5 ) −
401 24
(4.45^4 − 4.00^4 )
136389 1000
(4.45^3 − 4.00^3 ) −
2443 4
(4.45^2 − 4.00^2 ) + 1422(4.45 − 4.00) ≈ −0.12 𝑇
El signo negativo indica que la resultante 𝐴 2 actúa hacia arriba_._ Su punto de aplicación es
𝐿 2 𝐿 1 ∫ 𝑦𝑑𝑥
𝐿 2 𝐿 1
∫ 4 4.45(𝑥) (−^16 𝑥^5 +^163 𝑥^4 −^4016 𝑥^3 + 409.167𝑥^2 − 1221.5𝑥 + 1422) 𝑑𝑥
∫ 4 4.45(−^16 𝑥^5 +^163 𝑥^4 −^4016 𝑥^3 + 409.167𝑥^2 − 1221.5𝑥 + 1422) 𝑑𝑥
Resolviendo el numerador se tiene
∫ (𝑥) (−
𝑥^5 +
𝑥^4 −
𝑥^3 + 409.167𝑥^2 − 1221.5𝑥 + 1422) 𝑑𝑥
4
= ∫ (−
6 +^16
5 −^401
4
= [−
𝑥^7 +
𝑥^6 −
𝑥^5 +
𝑥^4 −
𝑥^3 + 711𝑥^2 ]
4
(4.45^7 − 4.00^7 ) +
(4.45^6 − 4.00^6 ) −
(4.45^5 − 4.00^5 )
(4.45^4 − 4.00^4 ) −
(4.45^3 − 4.00^3 ) + 711(4.45^2 − 4.00^2 ) ≈ −0.
El denominador ya fue resuelto_._ Por lo tanto,
Ahora se analiza la parte de la carga distribuida que actúa hacia abajo, es decir, la que se extiende de 4.45𝑚 a 9𝑚. La fuerza resultante es
𝐴 3 = ∫ 𝑑𝐴 = ∫ 𝑦𝑑𝑥
𝐿 2
𝐿 1
𝐴 3 = ∫ (−
5 +^16
4 −^401
9
= [−
1 36 𝑥
(^6) +^16 15 𝑥
(^5) −^401 24 𝑥
(^4) +^136389 1000 𝑥
(^3) −^2443 4 𝑥
(^2) + 1422𝑥]
9
1 36
(9^6 − 4.45^6 ) +
16 15
(9^5 − 4.45^5 ) −
401 24
(9^4 − 4.45^4 )
136389 1000
(9^3 − 4.45^3 ) −
2443 4
(9^2 − 4.45^2 ) + 1422(9 − 4.45) = 8.87 𝑇
y su punto de aplicación es
𝐿 2 𝐿 1 ∫ 𝑦𝑑𝑥
𝐿 2 𝐿 1
5 +^16
4 −^401
∫ (−
5 +^16
4 −^401
Resolviendo el numerador se tiene
∫ (𝑥) (−
𝑥^5 +
𝑥^4 −
𝑥^3 + 409.167𝑥^2 − 1221.5𝑥 + 1422) 𝑑𝑥
9
= ∫ (−
𝑥^6 +
𝑥^5 −
𝑥^4 + 409.167𝑥^3 − 1221.5𝑥^2 + 1422𝑥) 𝑑𝑥
9
= [−
𝑥^7 +
𝑥^6 −
𝑥^5 +
𝑥^4 −
𝑥^3 + 711𝑥^2 ]
9
(9^7 − 4.45^7 ) +
(9^6 − 4.45^6 ) −
(9^5 − 4.45^5 ) +
(9^4 − 4.45^4 )
(9^3 − 4.45^3 ) + 711(9^2 − 4.45^2 ) = 59.
El denominador ya fue resuelto_._ Por lo tanto,
Luego, se resuelven las fuerzas puntuales 𝐹 1 = 7𝑇 y 𝐹 2 = 5𝑇 en sus componentes rectangulares 𝑋 − 𝑌, figuras 1-3b, 1-3c y 1-3d, 1-3e, respectivamente.
Ecuaciones de equilibrio. Se aplican al diagrama de cargas para calcular las incógnitas 𝑅𝐶𝑌 y 𝑅𝐸𝑌 y 𝑅𝐸𝑋 usando una convención de signos arbitraria.
+→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒ 4.2 − 𝑅𝐸𝑋 − 3.53553 = 0 ⇒∴ 𝑅𝐹𝑋 = 0.66447𝑇
+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ −5.6 − 4.5 + 𝑅𝐶𝑌 + 0.12 − 8.87 + 7.34 − 3.53553 = 0 ⇒∴ 𝑅𝐶𝑌 = 15.0456𝑇
La fuerza reactiva vertical del soporte en 𝐶 también se puede obtener tomando momentos alrededor de 𝐹.
- ∑ 𝑀𝐸 = 0 ⇒ 3.53553(2) − 8.87(2.315) − 4.5(6) + 0.12(4.917) + 𝑅𝐶𝑌(6) − 5.6(9) = 0
∴ 𝑅𝐶𝑌 = 15.0455𝑇
Funciones de fuerza cortante, de fuerza normal y de momento
En la figura 1-3g se muestran los resultados obtenidos.
La distribución de la carga que actúa sobre la viga presenta discontinuidades en los puntos 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 y 𝐹; así que, para obtener expresiones algebraicas que definan la variación de los elementos mecánicos es necesario cortar a la estructura perpendicularmente a su eje a través de secciones arbitrarias en los tramos 𝐴 − 𝐵, 𝐵 − 𝐶, 𝐶 − 𝐷, 𝐷 − 𝐸 𝐸 − 𝐹 y 𝐹 − 𝐺.
3 𝑇/𝑚 2 𝑇/𝑚
3 𝑇/𝑚
1 𝑇/𝑚
2 𝑇/𝑚
𝐴 𝐵 𝐶^ 𝐷^ 𝐸
𝐺
3 𝑚 6 𝑚 (^2) 𝑚
1 3
4
Carga distribuida 𝐹 1 𝑌 = 5. 6 𝑇 𝐴 1 = 4. 5 𝑇 𝐴 3 = 8. 87 𝑇 irregularmente
𝐹 1 𝑋 = 4. 2 𝑇
𝐹 2 𝑌 = 3. 53553 𝑇
𝐹 2 𝑋 = 3. 53553 𝑇
𝑅𝐶𝑌 = 15. 0456 𝑇 (^) 𝑅𝐹𝑌 = 7. 34 𝑇
𝑅𝐹𝑋 = 0. 66447 𝑇
𝑥̅ 3 = 6. 714 𝑚
𝑥̅ 1 = 2 𝑚 (^3). 685 𝑚 2. 315 𝑚
𝑥
1 𝐹 𝐴 2 = 0. 12 𝑇
𝑥̅ 2 = 4. 083 𝑚
(g)
Se ha definido una sola coordenada 𝑥 para toda la viga, por lo que es válida para toda la región 𝐴 − 𝐺 (0 ≤ 𝑥 ≤ 11𝑚), su origen ha sido asociado en 𝐴, y es positiva hacia la derecha.
Corte en el tramo ① (𝐴 − 𝐵). Se secciona la viga en un punto arbitrario (intermedio en el segmento (𝐴 − 𝐵) a una distancia 𝑥 del punto 𝐴. En la figura 1-3h se
proporciona un diagrama de cuerpo libre del segmento de viga con longitud 𝑥. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio, se tiene
o también
𝑉 1 =
𝑑𝑀 1 𝑑𝑥
=
𝑑𝑥
Corte en el tramo ②(𝐵 − 𝐶). En la figura 1-3i se muestra un diagrama de cuerpo libre de la sección cortada. A la derecha, figura 1-3j, se proporciona un esquema para determinar el valor en función de 𝑥 de la intensidad 𝑊 1.
La fuerza resultante de la carga triangular cortada es
(𝑥 − 1)^2
3 𝑇/𝑚 𝑊 1
𝑥 − 1 𝑚 3 𝑚
𝐵 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝐷
𝐴
3
4
𝐹 1 𝑌 = 5. 6 𝑇
𝐹 1 𝑋 = 4. 2 𝑇 𝑥
𝑉 1
𝑁 1
𝑀 1
𝑊 1 = 𝑥 − 1
𝐴 𝐵
𝑥
3
4
𝐴𝐼 = (𝑥^ −^1 )
2 2
𝐹 1 𝑌 = 5. 6 𝑇
𝐹 1 𝑋 = 4. 2 𝑇 𝑥 − 1 𝑚
𝑥̅𝐼 1 𝑚
𝑉 2
𝑁 2
𝑀 2
(h)
(i) (j)
