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El método de pendientes-deflexiones para determinar los momentos en los extremos de una viga simple. Se proporcionan ecuaciones y ejemplos para calcular los momentos en los extremos de los miembros y las reacciones en los nodos. Además, se explica el cálculo de las rotaciones de los nodos y las cortantes en los extremos de los miembros.
Tipo: Apuntes
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15.1 Ecuaciones de las pendientes-deflexiones
15. 2 Concepto básico del método de las pendientes-deflexiones 15.3 Análisis de vigas continuas 15.4 Análisis de armazones sin ladeo 15.5 Análisis de armazones con ladeo Resumen Problemas
Edificio en la calle Market # 388, San Francisco Fotografía cortesía de American Institute of Steel Construction, Inc.
En el capítulo 13 se consideró el método de las fuerzas (flexibilidad) de análisis de las estructuras estáticamente indeterminadas. Recuerde que en el método de las fuer zas, se determinan primero lus fuerzas redundantes desconocidas mediante la reso lución de las ecuaciones de compatibilidad de la estructura; enseguida, se evalúan las otras características de respuesta de esta última por las ecuaciones de equilibrio o por superposición. Un enfoque alterno que se puede utilizar para el análisis de las estructuras indeterminadas se denomina método de los desplazam ientos (rigidez ). A diferencia del método de las fuerzas, en el de los desplazamientos en primer lugar se determinan desplazamientos desconocidos mediante la resolución de las ecuaciones de equilibrio de la estructura; después, se evalúan las otras características de res- puesta a través de consideraciones de compatibilidad y de relaciones tuerzas-defor maciones de los miembros. En este capítulo se considera un planteamiento clásico del método de los des plazamientos llamado método de las pendientes-deflexiones. Un planteamiento al terno clásico, el _método de la distribución de los momentos_* se presenta en el capítulo siguiente, seguido por una introducción al moderno m étodo rnatricial de la rigidez. en el capítulo 1?. El método de las pendientes-deflexiones para el análisis de las vigas y los arma zones indeterminado^ fue intmducido por George A. Maney, en 1915. En este méto do sólo se toman en cuenta las deformaciones por flexión de las estructuras. Aun cuando se considera que el método de las pendientes-deflexiones es por sí mismo una herramienta útil para el análisis de las vigas y armazones indeterminados, la comprensión de los fundamentos de este método proporciona una valiosa introduc ción al método rnatricial de la rigidez, base de la mayor parte del software para 1 computadoras que se usa en la actualidad para el análisis estructural. En principio, se deducen las relaciones fundamentales necesarias para la aplica ción del método de las pendientes-deflexiones y, a continuación, se desarrolla el concepto básico del propio método. Se considera la aplicación del método al análisis de vigas continuas y se presenta el análisis de los armazones, en los cuales se impi den las traslaciones de los nodos. Por último, se considera el análisis de armazones con traslaciones de nodos.
CapihAo 15 Método de ios pendientes -deflexiones
Cuando una viga continua o un armazón se sujetan a cargas externas, en general se desarrollan momentos internos individuales en los extremos de sus miembros. Las ecuaciones de las pendientes-deflexiones relacionan los momentos en los extremos de un miembro con las rotaciones y desplazamientos en sus extremos y las cargas externas aplicadas al mismo. A fin de deducir las ecuaciones de las pendientes-deflexiones, enfoquemos nues tra atención en un miembro arbitrario AS de la viga continua que se muestra en la figura 15.1 (a). Cuando la viga se sujeta a cargas externas y a asentamientos en los apoyos, el miembro AB se deforma como se muestra en la figura y se inducen mo mentos internos en sus extremos. En la figura 15. l(b) se muestran, usando una esca la exagerada, el diagrama de cuerpo libre y la curva elástica para el miembro AB- Como se indica en esta figura, se usa notación con doble subíndice para los momen tos en los extremos del miembro, identificándose con el primer subíndice el extremo del miembro en el cual actúa el momento y con el segundo subíndice el otro extre mo del miembro. Por tanto, MAB denota el momento en el extremo A del miembro AB, en tanto que MBá representa el momento en el extremo B del mismo miembro. Asimismo, como se muestra en la figura 15.1(b), dA y 0B denotan, respectivamente, las rotaciones de los extremos A y B del miembro con respecto a la posición no
15.
,QS Pend¡entes-def|exiones
(c) Diagrama del momento flexionante
Desviaciones tangenciales debidas a MAB
B
i l El
(d)
Fig. 15.1 (i Continuación )
Sección 15.1 Ecuaciones de las pendientes-deflexiones 517
P EFba
0A = 0B = \¡f=
(e) Momentos en extremos fijos
Fig. 15.1 ( C on tin u ación )
La convención de los signos que se usa en este capítulo es la siguiente:
Los momentos en los extremos de ¡os miembros, las rotaciones en los extremos y la rotación de la cuerda son positivos cuando giran en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj.
N ote que, en la figura 15.1 Cb), todos los momentos y rotaciones se muestran en el sentido positivo. Las ecuaciones de las pendientes-deflexiones se pueden deducir al relacionar los m omentos en los extremos del miembro con las rotaciones en los extremos y la rotación de la cuerda, mediante la aplicación del segundo teorema del momento- área (sección 6.4). A partir de la figura 15.1(b), se puede ver que
en la cual, como se muestra en la figura 15.1(b), AB/Tes la desviación tangencial del extrem o B respecto de la tangente a la curva elástica en el extremo A y Aab es la desviación tangencial del extremo A respecto de la tangente a la curva elástica en el extrem o B. Según el segundo teorema del momento-área, se pueden obtener las ex presiones para las desviaciones tangenciales Aba y Aab al sumar los momentos res pecto a los extremos B y A, respectivamente, del área debajo del diagrama M /EI entre los dos extremos.
Si, en las ecuaciones anteriores, se hace la sustitución A !L = \¡/, se escribe
a vA - (^) y/= — —^ B A aoB- (^) yf= —— ^ A B jL
Sección 15.1 Ecuaciones de las pendientes-deflexiones 519
conocen como momentos en extremos fijos y sus expresiones se pueden obtener a partir de la ecuación (15.6) al hacer 0A = 0B = y/= 0; es decir,
2 EF AB = — (2 ge - gA ) (15.7a) Z/.
EF&4 = j ^ i g B - 2g¿) (15.7b) Li
en las cuales EF^b y EFfl/í denotan los momentos en los extremos fijos debidos a la carga externa en los extremos A y B, respectivamente, de la viga fija AB (véase la figura 15.1(e)). Al comparar la ecuación (15.6) y la (15.7), se encuentra que los segundos térmi nos de los segundos miembros de la (15.6) son iguales a los momentos en extremos fijos que se desarrollarían si los extremos del miembro estuvieran fijos contra las rotaciones y traslaciones. Por tanto, sustituyendo la ecuación (15.7) en la (15.6), se obtiene
2 El Mab= —— (26a + 6 b
2EI Mba= - — (9a + 20b L/
3 y/) + E F ^
3 y/) + EF&
(15.8a)
(15.8b)
Las ecuaciones (15.8a) y (15.8b), las cuales expresan los momentos en los extremos de un miembro en términos de sus rotaciones y traslaciones en los extremos, para una carga externa específica, se conocen como las ecuaciones de las pendientes- deflexiones. Estas ecuaciones son válidas sólo para miembros prismáticos compues tos de material linealmente elástico y sujetos a deformaciones pequeñas. Asimismo, aun cuando en las ecuaciones se toman en cuenta las deformaciones por flexión de los miembros, se desprecian las deformaciones debidas a las fuerzas axiales y a las cortantes. A partir de las ecuaciones (15.8), se observa que las dos ecuaciones de las pen dientes-deflexiones tienen la misma forma y que una de ellas se puede obtener a partir de la otra, sencillamente al intercambiar los subíndices A y B. Por tanto, suele ser conveniente expresar estas ecuaciones mediante la ecuación única de las pen dientes-deflexiones:
(15.9)
en la cual el subíndice c se refiere al extremo cercano del miembro en donde actúa el momento Mc¡ y con el subíndice l se identifica el extremo lejano (el otro) del propio miembro.
\ # Momentos en extremos fijos
Se pueden deducir las expresiones para momentos en extremos fijos, debidos a cual quier condición de carga, mediante la aplicación de las deformaciones coherentes, como se discutió en el capítulo 13 (véase el ejemplo 13.8). Sin embargo, suele ser más conveniente determinar las expresiones de los momentos en extremos fijos por
(^520) Capítulo 15 Método de las pendientes-deflexiones
EF ba
( EF AB
/l 1 Cl — ■*■^ L^ ---- - L (a) Viga fija.
1 1 p 1 1!
t Pb L (^) Pab
Fig. 15.
)
B
Pa L
Pa2b
la aplicación de las ecuaciones (15.7), las cuales sólo requieren el cálculo de los momentos del área debajo del diagrama del momento flexionante de la viga simple respecto a los extremos de la viga fija. Con el fin de ilustrar la aplicación de las ecuaciones (15.7), considere una viga fija sujeta a una carga concentrada P, como se muestra en la figura 15.2(a). Los momentos en extremos fijos de esta viga se determinaron con anterioridad en el ejemplo 13.8, por el método de las deformaciones coherentes. Para aplicar las ecuaciones (15.7), se reemplazan los extremos de la viga por apoyos simples y se construye el diagrama del momento flexionante de la viga simple, como se muestra en la figura 15.2(b). Los momentos del área debajo del diagrama del momento flexionante de la viga simple, respecto a los extremos A y B, quedan dados por
—^1 a f Pab') (2 a ) ------^^ + —b^1 ,^ ' Pab N f (^2) l L ) I 3 J (^2) l _L ) _
a +
1 f Pab) (^) ( a 1 , ( Pab ) f —a - +b + _- b _ ----- (^2) l ¿ J l 3 J 2 U > \
2b 3 Al hacer la sustitución L = a + b en estas ecuaciones y simplificar, se obtiene
gA - — — (2a^ Pab^ + b) gB = — — (a Pab ,^ + ... 2b) o 6
Capítulo 15 Método de los pendientes-deflexiones
De manera análoga, se puede demostrar que, para el miembro AB con una articu lación en A, la rotación del extremo articulado se expresa por
a eA- ~ — e B + — (^3) w -------- L 2 2 4E
(EFab) (15.13)
y las ecuaciones modificadas de las pendientes-deflexiones se pueden expresar como
3 El
M.\b = 0
EF BA (^) E F ,, ' (15.14a)*
(15.14b) En virtud de que las ecuaciones modificadas de las pendientes-deflexiones tie nen una forma semejante a la de las ecuaciones (15.12) y (15.14), se pueden resumir de un manera conveniente como
52 II^ ^ - ( 0 r - y ñ + z_>
__ "^ - i
Mar =^0
(15.15a)
(15.15b)
en las cuales, el subíndice r se refiere al extremo rígidamente conectado del miem bro, en donde actúa el Mw, y el subíndice a identifica al extremo articulado del mismo miembro. Ahora, la rotación del extremo articulado se puede escribir como
d„ - — - + —^3 w --------- L 2 2 4 El
(EFflr) (15.16)
CONCEPTO BÁSICO DEL MÉTODO 15.2 DE LAS PENDIENTES-DEFLEXIONES
Con el fin de ilustrar el concepto básico del método de las pendientes-deflexiones, considere la viga continua con tres claros de la figura 15.3(a). Aun cuando la estruc tura en realidad consta de una sola viga continua entre los apoyos fijos Ay D, para la finalidad del análisis se considera que está compuesta por tres miembros, AB, BC y CD, rígidamente conectados en los nodos A, B, C y D que se encuentra ubicados en los apoyos de la estructura. Note que la viga continua se ha dividido en miem bros y nodos, de modo que las reacciones externas desconocidas sólo actúan en es tos últimos.
Grados de libertad
Habiendo establecido las ubicaciones de los nodos, se identifican los desplazamien tos independientes desconocidos (traslaciones y rotaciones) de esos nodos de la es tructura. Estos desplazamientos desconocidos de los nodos se conocen como grados de libertad de la estructura. A partir de la forma cualitativa deformada de la estruc tura de la viga continua mostrada en la figura 15.3(a), se puede ver que ninguno de sus nodos se puede trasladar. Además, los nodos fijos A y D no se pueden hacer girar, en tanto que los nodos B y C si pueden hacerlo. Por ello, la viga continua tiene dos grados de libertad, dB y 0 C, los cuales representan las rotaciones desconocidas en los nodos B y C, respectivamente.
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32-75 k
18.77 k
24.4 k-fi
4.9 k (ti Reacciones en los apoyos
% 15.
Ecuaciones de las pendientes-deflexiones
Las ecuaciones de equilibrio antes dadas (ecuaciones (15.17)) se pueden expresar en términos de las rotaciones desconocidas de los nodos, dB y 6C, utilizando las ecuaciones de las pendientes-deflexiones que relacionan los momentos en los extre mos de los miembros con esas rotaciones desconocidas. Sin embargo, antes de que se puedan escribir las ecuaciones de las pendientes-deflexiones, es necesario calcu lar los momentos en los extremos fijos debidos a las cargas externas que actúan sobre los miembros de la viga continua. Para calcular los momentos en los extremos fijos, se aplican sujeciones imagi narias en los nodos B y C para impedir que giren, como se muestra en la figura 15.3(c). Los momentos en los extremos fijos que se desarrollan en los miembros de esta estructura por completo restringida o cinemáticamente determinada se pue den evaluar con facilidad por la aplicación de las ecuaciones (15.7), o bien, usando las expresiones para los momentos en extremos fijos que se dan en el interior de la guarda posterior del libro. Con el uso de las expresiones para los momentos en ex tremos fijos, se calculan esos momentos como sigue: Para el miembro AB:
EF^n = ----- wL2^ = ----------1.5(20)2 = 50 k-ft ) o +50 k-ft 12 12 J
EF& 4 = 50 k-ft ]) o -50 k-ft
Para el miembro BC.
PL 30(20) „ ,. - „.. EFcr = ---- = -------- = 75 k-ft ^ o +75 k-ft 8 8 J
EFcs = 75 k-ft} o -75 k-ft
Note que, de acuerdo con la convención de los signos de las pendientes-deflexiones, los momentos en los extremos fijos en sentido contrario al movimiento de las mane cillas del reloj se consideran positivos. Como, sobre el miembro CD, no actúan car gas externas, sus momentos en los extremos fijos son cero; es decir,
EFcd = EFdc = 0
Los momentos en los extremos fijos se muestran en el diagrama de la estructura restringida de la figura 15.3(c). Ahora se pueden escribir las ecuaciones de las pendientes-deflexiones para los tres miembros de la viga continua mediante el uso de la ecuación (15.9). Si se supo ne que ninguno de los apoyos de la viga continua se traslada, las rotaciones de las cuerdas de los tres miembros son cero (es decir, y/AB = y/BC = \¡/cd = 0)- Asimismo, ya que los apoyos A y D están fijos, las rotaciones dA = 0D = 0. Al aplicar la ecuación (15.9) para el miembro AB, considerando A como el extremo cercano y B como el lejano, se obtiene la ecuación de las pendientes-deflexiones
2 El
¿J)
Enseguida, considerando B como el extremo cercano y A como el lejano, se escribe
Sección 15.2 Concepto básico del método de las pendientes-deflexiones 5 2 5
Método de las pendientes-deflexiones
De modo análogo, mediante la aplicación de la ecuación (15.9) para el miembro fíQ se obtiene
M cb = ^ (20c + ©a) - 75 = 0.2 EWC + O.l£/0* - 75 (15.18d)
y para el miembro CD,
9 FT
Mdc = (0c) = 0 .133£/0c (15.18f)
Estas ecuaciones de pendientes-deflexiones satisfacen de modo automático las con diciones de compatibilidad de la estructura. Ya que suponemos que los extremos de los miembros están rígidamente conectados a los nodos adyacentes, las rotaciones de esos extremos son iguales a las rotaciones de esos nodos adyacentes. Por tanto, los términos 0 en las ecuaciones de pendientes-deflexiones (ecuaciones (15.18)) representan las rotaciones de los extremos de los miembros, así como las de los nodos.
Rotaciones de los nodos
A fin de determinar las rotaciones desconocidas en los nodos, 0B y 0C, se sustituyen las ecuaciones de las pendientes-deflexiones (ecuaciones (15.18)) en las de equili brio de los nodos (ecuaciones (15.17)) y el sistema resultante de ecuaciones se re suelve simultáneamente para 0B y 0C. Por tanto, al sustituir las ecuaciones (15.18b) y (15.18c) en la (15.17a), se obtiene
(0.2 EIQB - 50) + (O.2£/0B + O.1£/0C + 75) = 0 o bien,
y al sustituir (15.18d) y (15.18e) en la (15.17b), se obtiene
(0.2 EIQC + 0. \E1Qb - 75) + O.267£/0C = 0 o bien,
Si se resuelvan las ecuaciones (15.19a) y (15.19b) simultáneamente para EI0B y EIQC, se obtiene
EI6b = -108.46 k-ft 2
EIQC = 182.82 k-ft 2
Al sustituir los valores numéricos de £ = 29 000 ksi = 29 000(12)2 ksf e / = 500 in 4 = (500/124) ft 4 (ksi = kilolibra por in2; ksf = kilolibra por ft2), se determinan las rota ciones de los nodos B y C como
0B = - 0.001 rad o 0.0011 rad }
0 C = 0.0018 rad }
fulo 15 Método de las pendientes-deflexiones
y para el miembro CD,
+ G l A = 0 49.1 - S cd( 1 5) + 2 4 .4 = 0
5 a , = 4.9 k t
Spc — 4-9 k vi De manera alternativa, se pueden evaluar las cortantes antes obtenidas en los extremos de los miembros por la superposición de Jas cortantes en los extremos debidas a la carga externa y a cada uno de los momentos en los extremos, actuando por separado sobre el miembro. Por ejemplo, la cortante en el extremo A del miem bro AB se expresa por
en la cual el primer término es igual a la cortante debida a la carga uniformemente distribuida de 1.5 k/ft, en tanto que el segundo y tercer términos son las cortantes debidas a los momentos de 39.2 k-ft y 71.7 k-ft, respectivamente, en los extremos^ y B del miembro.
Reacciones en los apoyos
A partir del diagrama de cuerpo libre del nodo B, de la figura 15.3(d), se puede ver que la reacción vertical en el apoyo de rodillo B es igual a la suma de las cortantes en los extremos B de los miembros AB y BC_ es decir, By = SBA + SBC = 16.62 + 16.13 = 32.75 k T De manera análoga, la reacción vertical en el apoyo de rodillo C es igual a la suma de las cortantes en los extremos C de los miembros BC y CD, donde Cy = SCB **+ S CD =_** 13.87 + 4.9 = 18.77 k t Las reacciones en el apoyo fijo son iguales a la cortante y al momento en el extremo A del miembro _AB_ esto es, Ay = SAB= 13.38 k t
Ma = Mab = 39.2 k-ft } De manera análoga, las reacciones en el apoyo fijo D son iguales a la cortante y al momento en el extremo D del miembro CD. Por tanto, Dy = S DC = 4.9 k i
Md = Mdc = 24.4 k-ft ^ Las reacciones en los apoyos se muestran en la figura 15.3(e).
Comprobación del equilibrio
Con el fin de verificar los cálculos de las cortantes en los extremos de los miembros y de las reacciones en los apoyos, se aplican las ecuaciones del equilibrio al cuerpo libre de la estructura completa. De donde (Fig. 15.3(e)),
Sección 15.3 Análisis de vigas continuas 529
39.2 - 13.38(55) + 1.5(20)(45) - 32.75(35) + 30(25)
Esta com probación del equilibrio, así como la comprobación realizada con anterio ridad sobre la solución de las ecuaciones simultáneas, no detectan los errores rela cionados con las ecuaciones de las pendientes-deflexiones. Por lo tanto, estas ecuaciones deben desarrollarse con mucho cuidado y verificarse antes de continuar con el análisis. Conocidas las reacciones en los apoyos, ahora se pueden construir los diagramas de la cortante y del momento flexionante de la manera usual, aplicando la conven ción de los signos de la viga descrita en la sección 5.1. Los diagramas de la cortante y del m omento flexionante obtenidos de este modo para la viga continua se m ues tran en las figuras 15.3(f) y (g), respectivamente.
15.3 ANÁLISIS DE VIGAS CONTINUAS
Con base en la discusión presentada en la sección anterior, el procedimiento para el análisis de las vigas continuas por el método de las pendientes-deflexiones se puede resum ir como sigue:
Sección 15.3 A nálisis de vigas continuas 531
d i i i I i i i i a -U.B M - c
(a) Viga real _______ w ______ M McD = -ñ r ( wa2 f f"IL-í (^) ---- I - (^) ---- |* (^) ----- \D 2 K \ C Seo - wo (b) Parte en voladizo estáticamente determinada
wa / T
w M 2 r i i i i i i i r B
(c) Parte estáticamente indeterminada, que tiene que analizarse Fig. 15.
E J E M P L O 15.1 (^) Determine las reacciones y trace los diagramas de la cortante y del momento flexionante para la viga continua con dos claros que se muestra en la figura 15.5(a), por el método de las pendientes-deflexiones.
S O L U C I Ó N Grados de libertad A partir de la figura 15.5(a), se puede ver que sólo puede girar el nodo B de la viga. Por esto, la estructura sólo tiene un grado de libertad, el cual es la rotación desco nocida del nodo, 0B. Momentos en los extremos fijos Usando las expresiones para los momentos en los extremos fijos dadas al inicio de esta obra, se evalúan los momentos en los extremos de este tipo debidos a las cargas externas, para cada uno de los miembros:
_ = IW O íp i = M g k ^ o +M g k ft L2 (25) J
^ = i 8 U 0 ^ =43 2k. 1} (25) V
EF BC = — = = 150 k-ft } o +150 k-ft 12 12 J EF CB= 150 k-ft } o -150 k-ft Note que, de acuerdo con la convención de los signos de las pendientes-deflexiones, los momentos en extremos fijos en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj se consideran como positivos, en tanto que aquellos con el movimiento en sentido de las mane cillas del reloj se les considera negativos. Rotaciones de las cuerdas Ya que no se presentan asentamientos de los apoyos, las rotaciones de las cuerdas de ambos miembros son cero; es decir, \¡fAB = \f/BC = 0.
pirulo 15 Método de las pendientes-deflexiones
Ecuaciones de las pendientes-deflexiones A fin de relacionar los momentos en los extremos de los miembros con la rotación desconocida del nodo, 0 B, se escriben las ecuaciones de las pendientes-deflexiones para los dos miembros de la estructura, mediante la aplicación de la ecuación (15.9). Nótese que, como los apoyos A y C están fijos, las rotaciones dA = 0C = o Por tanto, las ecuaciones de las pendientes-deflexiones para el miembro AB se pueden expre sar como
Mab = -----^2 El (fia) + 64.8 = O.O8£/0b + 64.8 (D 25 }
Mba - —^2 El (20) - 43.2 = 0.16* EI6B - 43.2 (2)
De manera análoga, por la aplicación de la ecuación (15.9) para el miembro BC , se obtienen las ecuaciones de las pendientes-deflexiones:
2 El Mb c = -Jq &0b)+ 150 = 0.133 EWb + 150 (3)
2 El Mcb = — (0B) - 150 = 0.0667 EI0B - 150 (4)
Ecuación de equilibrio El diagrama de cuerpo libre del nodo B se muestra en la figura 15.5(b). Note que los momentos en los extremos de los miembros, los cuales se supone están en direc ción contraria al movimiento de las manecillas del reloj sobre esos extremos, deben aplicarse en la dirección de ese movimiento (opuesta) sobre el cuerpo libre del nodo, según la tercera
1 « ü r i u
10 f t - 15 ft (^30) ft
18 k i B
EI = constante (a) Viga continua
(b)
2 k/ft Mcb
18 k 1 B
9.84 27.
8.
101.5 a 101. 9.84 I 27; ' By = 37.
2 k/ft
32.
(c) Momentos y cortantes en los extremos de los miembros Fíg. 15.
