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ANALISIS ESTRUCTUTRAL I
EXAMEN SUMATIVO I UND
- De la armadura mostrada, determinar la DEFLEXION HORIZONTAL del nudo D, sabiendo que la seccion tranversal de la barra circular de 𝑟 ൌ 2ሺ𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑎𝑝𝑒𝑙𝑙𝑖𝑑𝑜ሻ 𝑚𝑚 y 𝐸 ൌ 70 𝐺𝑃𝑎, para todos los elementos. Utilice el metodo de trabajo virtual
a) Fuerzas en el sistema Real (2 ptos) b) Fuerzas en el sistema Virtual (2 ptos) c) Desplazamiento Horizontal del Nudo D (2.5 ptos)
SOLUCIÓN:
Sistema Real, Encontraremos las fuerzas axiales en los elementos, productos de las cargas externas o reales por el metodo de nodos.
Del equilibrio estatico, calcularemos las reacciones en los apoyos; por tanto, tendremos: 𝑀 ൌ 0 𝑅 ሺ3ሻ െ 50ሺ3ሻ െ 100ሺ4ሻ ൌ 0 𝑅 ൌ 183.33 𝑘𝑁 𝐹 ൌ 0 𝐴 ൌ 100 𝑘𝑁 𝐹 ൌ 0 𝐴 (^) ൌ 83.33 𝑘𝑁 Aplicando el metodo de nodos determinamos las 𝐴 fueras en las barras.
𝐴 𝑅
‐100 kN
0 kN
‐50.00 kN ‐183.33 kN
Sistema Virtual, Colocaremos una fuerzas en el sentido del desplazamiento del Nudo D, encontraremos las fuerzas axiales en los elementos, productos de la carga Virtual por el metodo de nodos.
Del equilibrio estatico, calcularemos las reacciones virtuales en los apoyos; por tanto, tendremos: 𝑀 ൌ 0 𝑅 ሺ3ሻ െ 1ሺ4ሻ ൌ 0 𝑅 ൌ 4/3 𝑘𝑁 𝐹 ൌ 0 𝐴 ൌ 1.00 𝑘𝑁 𝐹 ൌ 0 𝐴 (^) ൌ 4/3 𝑘𝑁 Aplicando el metodo de nodos determinamos las fueras en las barras.
Barra L(m) N (kN) n (kN) nNL (kN‐m) AB 3.00 0 0 0 AC 4.00 െ50.00 0 0 AD 5.00 166.66 5/3 1,388. BD 4.00 െ183.33 െ4/3 977. CD 3.00 െ100.00 0 0 𝟐, 𝟑𝟔𝟔. 𝟓𝟗
Calculando el desplazamiento del nudo D
ሺ70 10 ^ 𝑘𝑁/𝑚 ଶ^ ሻሺ𝐴ሻ
0 kN
‐4/3 kN
0 kN
0 kN
𝐴 (^) 𝑅
1 𝑘𝑁
𝐴
Sistema Virtual, Usaremos dos cortes para el segmento AB y BC, encontraremos los momentos internos en los elementos, productos de las cargas virtual, vertical en el nudo C. Determinaremos las fuerzas en las reacciones:
𝑀 ൌ 0 𝑀 ൌ 9 𝑘𝑁 െ 𝑚 𝐹 ൌ 0 𝑅 ൌ 1 𝑘𝑁 Los momentos del sistema real serán:
Ecuación del trabajo virtual. Entonces, el desplazamiento vertical de D es:
ଽ
ଽ
70ሺ10 ^ ሻ 𝑘𝑁𝑚 ଶ ሺ𝐼ሻ
∆ ൌ 1.86 𝑥 10ିସ^ ሺ𝐼ሻ 𝑚 ↓
𝑥 𝑥
9 𝑘𝑁 െ 𝑚
1 𝑘𝑁
9 𝑘𝑁 െ 𝑚 𝑚ଶ
1 𝑘𝑁
𝑚ଵ 𝑥
1 𝑘𝑁
- Determinar la PENDIENTE del nudo B, del portico mostrado, sabiendo que la Altura ℎ ൌ ሺ𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑎𝑝𝑒𝑙𝑙𝑖𝑑𝑜ሻ 𝑚 y 𝐸 ൌ 200 𝐺𝑃𝑎, para todos los elementos. Utilice el metodo de trabajo virtual
a) Fuerzas en el sistema Real (2 ptos) b) Fuerzas en el sistema Virtual (2 ptos) c) Pendiente del Nudo B (3 ptos)
SOLUCIÓN:
Sistema Real, Usaremos tres cortes para el segmento AB y CB, encontraremos los momentos internos en los elementos, productos de las cargas externas o reales. Determinaremos las fuerzas en las reacciones: 𝑀 ൌ 0 𝑅 ሺ8ሻ ൌ 150ሺ1.50ሻ 20ሺ5ሻሺ5.50ሻ 𝑅 ൌ
h
𝐴
𝐴
𝑅
Los momentos del sistema virtual serán: 𝑚ଵଵ ൌ
8 𝑥ଵଵ^ cos 𝛼 𝑚ଵଶ ൌ
8 𝑥ଵଶ^ cos 𝛼 𝑚 (^) ଶ ൌ െ
La longitud de la barra AB sera: 𝐻 ൌ √9 ℎ ଶ Por tanto el primer tramo ሺ𝑥ଵଵ ሻ^ sera desde 0 → √9 ℎ ଶ^ / el segundo tramo ሺ𝑥ଵଶ ሻ sera desde (^) √9 ℎ ଶ^ /2 → √9 ℎ ଶ el cos 𝛼 ൌ 3/𝐻 Ecuación del trabajo virtual. Entonces, el desplazamiento vertical de C es:
𝐸𝐼 ቈන^ ൬
8 𝑥ଵଵ^ cos 𝛼൰ ൬
8 𝑥ଵଵ^ cos 𝛼൰ 𝑑𝑥ଵଵ
ு/ଶ න ൬
8 𝑥ଵଶ^ cos 𝛼൰ ൬
8 𝑥ଵଶ^ cos 𝛼 225൰ 𝑑𝑥ଵଶ
ு ு/ଶ න ൬െ
8 𝑥ଶ^ ൰ ൬
8 𝑥ଶ^ െ 10𝑥ଶ
ହ
𝑚ଶ
𝑚ଵଵ
𝑚ଵଶ
25𝐻 ଷ^ ሺ18𝐻 െ 217ሻ
25𝐻 ଷ^ ሺ18𝐻 െ 217ሻ
1536 ሺ𝑘𝑁. 𝑚^
200ሺ10 ^ ሻ 𝑘𝑁𝑚 ଶ ሺ500ሺ10^ ሻ𝑚𝑚 ସ^ ሻ ൬10ି
𝑚𝑚 ସ^ ൰
