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ALISIS MATEM ´
ATICO I - CURSO 2011-12
PRIMERA CONVOCATORIA
Primer parcial
3 de Julio de 2012
1.- Enunciar y demostrar el teorema de Leibnitz. (10 puntos)
2.- Hallar los x∈R\ {0}que verifican la siguiente desigualdad:
|3−x| − 2<|x+ 8|(1 + 1
x)
(6 puntos)
3.- Hallar el siguiente l´ımite
l´ım
n→∞
3252. . . (2n−1)2
4nn!(n−1)!
log(cos n+1
(n+2)2)
e1/n2−1
(8 puntos)
4.- Hallar el car´acter seg´un valores de x∈Rde la serie
X
n≥0
2nn−2
n!(n+ 2) x2n
y calcular la suma para dichos valores.
(8 puntos)
5.- Sea f(x) = (1 + x)log2(1 + x)−x2
a) Hallar Del dominio de f. Extender fpor continuidad a x=−1.
b) Estudiar si tal extensi´on es derivable en x=−1.
c) Probar que f(x)<0,∀x∈D, x 6= 0.
Ayuda: log(1 + x)< x, ∀x∈(−1,∞)\ {0}.
(8 puntos)