¡Descarga Límites de funciones en análisis matemático y más Ejercicios en PDF de Análisis Matemático solo en Docsity!
TRABAJO PRÁCTICO 2
Contenidos
Noción intuitiva de límite. Límites laterales. Propiedades y cálculo. Teorema de intercalación.
Comportamiento cuando x se hace muy grande. Límites infinitos. Asíntotas horizontales, verticales
y oblicuas
GUÍA TEÓRICA
Entorno
Se llamar entorno de centro en 𝑥 0
, y radio 𝑟
, y se lo denota 𝜀
0
a un intervalo abierto
de números reales (𝑥 0
0
Entorno reducido
Si a un entorno de centro en 𝑥 0
, le quitamos el punto 𝑥
0
se obtiene lo que se denominada como un
entorno reducido de 𝑥 0
, y se lo denota 𝜀
∗
0
0
0
0
Límite
Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función definida en un entorno reducido de 𝑥 0
, se dice que el límite de
𝒇(𝒙) cuando 𝒙 tiende al valor 𝒙 𝟎
es el número 𝑳 , y escribimos 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒙 𝟎
𝒇(𝒙) = 𝑳 , si 𝑓(𝑥) puede
aproximarse arbitrariamente al número 𝐿 (Esto significa que 𝑓
puede tomar valores tan
cercanos a 𝐿 como se quiera) cuando 𝑥 toma valores suficientemente cercanos al valor 𝑥 0
con 𝑥 ≠
0
Nota importante: Cuando se pide calcular lim
𝑥→𝑥 0
𝑓(𝑥) = 𝐿 , interesa conocer que le sucede a 𝑓(𝑥)
cuando 𝑥 está cercano a 𝑥 0
y no interesa para nada que le sucede a la función 𝑓 en el valor 𝑥
0
Límites laterales
Definición 1: Sea 𝑓(𝑥) una función definida en un intervalo abierto (𝑎, 𝑥 0
) , se dice que el límite por
la izquierda de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende al valor 𝑥
0
, es el número 𝐿
𝑖
, y escribimos 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒙
𝟎
−
𝒊
si 𝑓
puede aproximarse arbitrariamente al número 𝐿
𝑖
cuando 𝑥 toma valores suficientemente
cercanos al valor 𝑥 0
con 𝑥 < 𝑥
0
x
0
x
0
Definición 2: Sea 𝑓(𝑥) una función definida en un intervalo abierto (𝑥
0
, 𝑏 ) , se dice que el límite por
la derecha de 𝑓
cuando 𝑥 tiende al valor 𝑥
0
, es el número 𝐿
𝑑
, y escribimos 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒙 𝟎
𝒅
si 𝑓(𝑥) puede aproximarse arbitrariamente al número 𝐿
𝑑
cuando 𝑥 toma valores suficientemente
cercanos al valor 𝑥
0
con 𝑥 > 𝑥
0
Teoremas:
- Si los límites laterales lim
𝑥→𝑥
0
−
𝑖
, y lim
𝑥→𝑥 0
𝑑
existen y son iguales a un
número 𝐿 → el límite lim
𝑥→𝑥
0
existe y su valor es 𝐿.
2) Si el límite lim
𝑥→𝑥 0
𝑓(𝑥) existe y su valor es 𝐿 → los límites laterales lim
𝑥→𝑥 0
−
𝑓(𝑥) , y
lim
𝑥→𝑥 0
existen y son iguales a 𝐿
Corolarios
- Si los límites laterales lim
𝑥→𝑥 0
−
𝑓(𝑥) , y lim
𝑥→𝑥
0
𝑓(𝑥) existen y son distintos entonces no existe
𝒙→𝒙
𝟎
- Si alguno o ambos de los límites laterales lim
𝑥→𝑥
0
−
, y lim
𝑥→𝑥 0
no existen, entonces
no existe 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒙
𝟎
Propiedades de los límites
Si existe lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐴 y existe lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐵 entonces:
Propiedad 1: lim
𝑥→𝑎
= 𝑘. 𝐴 , siendo 𝑘 una constante
Propiedad 2 : lim
𝑥→𝑎
[
)]
Propiedad 3 : lim
𝑥→𝑎
[
)]
Propiedad 4 : Si 𝐵 ≠ 0 , lim
𝑥→𝑎
[
𝑓(𝑥)
𝑔
( 𝑥
)
] =
𝐴
𝐵
Teorema de intercalación (o teorema del sandwich)
Si 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) para los 𝑥 de un entorno reducido de 𝑎 y lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿 y lim
𝑥→𝑎
ℎ(𝑥) = 𝐿 y si
𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) en un entorno reducido de 𝑎 entonces y lim
𝑥→𝑎
x
x
0
y=h(x)
y=g(x)
L
y
x
x
0
y=h(x)
y=g(x)
y=f(x)
y
4
Si lim
𝑥→𝑥 0
𝑓(𝑥) = +∞ y lim
𝑥→𝑥 0
𝑔(𝑥) = +∞ entonces lim
𝑥→𝑥 0
[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = +∞ y
lim
𝑥→𝑥 0
[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = +∞ pero lim
𝑥→𝑥
0
[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑦 lim
𝑥→𝑥
0
[
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
] son indeterminados, esto
significa que en cada ejercicio donde haya que calcular límites del tipo − o / hay que
averiguar cuál es su resultado.
Límites al infinito
Definición 1: Sea 𝑓
una función definida en algún intervalo
, se dice que el límite de 𝑓
es el número 𝐿 , cuando 𝑥 tiende a infinito y escribimos lim
𝑥 → ∞
= 𝐿 , si los valores de 𝑓
pueden aproximarse arbitrariamente al número 𝐿 (𝑓
puede tomar valores tan cercanos a 𝐿 como
se quiera) cuando toma valores positivos suficientemente grandes.
Definición 2: En forma similar, si 𝑓(𝑥) está definida en algún intervalo (−∞, 𝑎) , lim
𝑥 → −∞
significa que los valores de 𝑓(𝑥) pueden aproximarse arbitrariamente al número 𝐿, cuando 𝑥 toma
valores negativos de valor absoluto suficientemente grandes.
Asíntotas horizontales
Se dice que la recta de ecuación 𝑦 = 𝐿 es una asíntota horizontal de la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) si se
verifica uno de los siguientes resultados: lim
𝑥 → ∞
= 𝐿 o lim
𝑥 →− ∞
= 𝐿 , o
𝑦 = 𝐿 es asíntota horizontal de cada una de estas gráficas
Asíntotas verticales
Se dice que la recta de ecuación 𝑥 = 𝑎 es una asíntota vertical de la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) si se
verifica uno de los siguientes resultados:
lim
𝑥 → 𝑎
= +∞ o lim
𝑥 → 𝑎
= −∞ ,o lim
𝑥 → 𝑎
= ±∞ ,o lim
𝑥 → 𝑎
−
y= L
x
y
y
x
y=L
y
a
x
𝑥 = 𝑎 es asíntota vertical
Asíntotas oblicuas
Se dice que la recta de ecuación 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 es una asíntota oblicua de la curva 𝑦 = 𝑓
si se
verifica que lim
𝑥 → ∞
𝑓(𝑥)
𝑥
= 𝑎 y lim
𝑥 → ∞
Ejercicios
- La figura de la derecha es un cuadrado de lado 10 y x es un número real
que verifica 0 < 𝑥 < 10
a) Razonando geométricamente, averiguar a qué valor se acerca el área
sombreada si x se acerca a 0. Idem si x se acerca a 10.
b) Hallar una expresión para el área sombreada 𝐴(𝑥) y calcular
lim
𝑥→ 0
𝐴(𝑥), lim
𝑥→ 10
−
𝐴(𝑥) y corroborar los resultados obtenidos en a)
- Teniendo en cuenta los gráficos siguientes, hallar los límites laterales y el límite para x tendiendo
a 2:
Grafico a Grafico b
Grafico c Grafico d
x
x
i) No existe ii) es igual a 1 iii) es igual a 0 iv) es infinito
b) El lim
𝑥→ 0
√𝑥
2
+𝑎𝑥+ 1 − 1
𝑥
= 2 para.
i) ningún valor de 𝑎. ii) 𝑎 = 4 iii) 𝑎 = 0 iv) todo 𝑎
- Determinar si las siguientes funciones presentan asíntotas lineales. En caso afirmativo, hallar las
ecuaciones de las mismas
a) 𝑓(𝑥) =
2 𝑥
2
− 3 𝑥+ 1
𝑥
2
− 1
b) 𝑓(𝑥) =
3
𝑥+ 1
3 − 2. 3
𝑥
c) 𝑓(𝑥) =
𝑥
| 𝑥
|
d) 𝑓
√
𝑥+ 8 − 3
𝑥
2
−𝑥
e) 𝑓(𝑥) =
cos(𝑥)− 1
𝑥
f) 𝑓
𝑥
3
− 3 𝑥
2
𝑥
2
Ejercicios adicionales
- Un farol ilumina desde una altura h un poste de 2 metros de altura.
Para h > 2, el poste proyecta una sombra de longitud 𝑆 = 𝑆(ℎ). Si la
base del poste se encuentra a 1 metro de la base del farol, calcular
intuitivamente lim
ℎ→ 2
𝑆(ℎ) y luego verificar analíticamente el resultado
hallando previamente la función 𝑆(ℎ).
2 ) Hallar los valores de 𝑎 y 𝑏 para los cuales lim
𝑥→+∞
[
]
= 0 , siendo 𝑓
2 𝑥
4
𝑥
3
- Determinar el valor de a para que lim
𝑥→+∞
√𝑎𝑥
2
𝑥
- Encontrar los valores de 𝑎 y 𝑏 para los cuales la recta 𝑦 =
1
2
5
4
resulte una asíntota oblicua de
la función 𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥
3
+𝑏𝑥
2
4 𝑥
2
para 𝑥 → −∞
- Si 𝑓: ℝ → ℝ es una función tal que 𝑥
2
3
4
4
2
∀𝑥 ∈ ℝ ¿cuál es el valor de lim
𝑥→ 0
𝑓(𝑥)
𝑥
2
- Calcular lim
𝑥→+∞
𝑒
−𝑥
(𝑥
2
𝑔(𝑥)
sabiendo que para cualquier valor de 𝑥 se verifica 𝑥
2
RESPUESTAS
- a) lim
𝑥→ 0
2
lim
𝑥→ 10
−
𝐴(𝑥) = 50 b) 𝐴(𝑥) =
𝑥
2
2
2
- a) lim
𝑥→ 2
−
𝑓(𝑥) = 2 lim
𝑥→ 2
𝑓(𝑥) = 2 lim
𝑥→ 2
b) lim
𝑥→ 2
−
𝑓(𝑥) = 3 lim
𝑥→ 2
𝑓(𝑥) = 1 lim
𝑥→ 2
c) lim
𝑥→ 2
−
𝑓(𝑥) = 2 lim
𝑥→ 2
𝑓(𝑥) = 0 lim
𝑥→ 2
d) lim
𝑥→ 2
−
= −∞ lim
𝑥→ 2
= −∞ lim
𝑥→ 2
a) ∄ b) 5 c) - 7 d) 4
e)
11
3
f) 0 g) - 32
h)
√
2
12
i) −
1
54
j) 1
k) −
1
54
l) ) ∄
m) −
√
3
33
n) 0 ñ) 0 o) 0
p)
4
3
q)
𝑎
𝑏
r) 2 s) 2 t) ∄ u) ∄ v) ∄
- a) 𝐷𝑜𝑚
𝑓
= [− 1 ; 2 ]; 𝐷𝑜𝑚
𝑔
= [− 2 ; 2 ]
b) lim
𝑥→− 1
𝑓(𝑥) = 0 lim
𝑥→ 2
−
𝑓(𝑥) = 0 lim
𝑥→− 2
lim
𝑥→ 2
−
a) 3/2 b) 3/2 c) - 3/2 d) 3/2 e) + f) 1 g) - 1 h) ∄ i) - 1/
- a) 𝑎 =
9
8
3
8
b) 𝑎 = 6 ; 𝑏 = 2
- a) El límite es igual a 1 b) 𝑎 = 4
Función
Asíntota
2
2
𝑥+ 1
𝑥
2
cos(𝑥) − 1
3
2
2
Vertical 𝑥 = − 1 𝑥
= log
3
No tiene 𝑥 = 0 No tiene 𝑥 = 0
Horizont
al
𝑦 = 0 𝑦 = 0 No tiene
Oblicua No tiene No tiene No tiene No tiene No tiene 𝑦 = 𝑥 − 3
RESPUESTAS EJERCICIOS ADICIONALES
2
ℎ− 2
; lim
ℎ→ 2
