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Un análisis detallado de los conceptos de límites laterales izquierdos y derechos, asintotas verticales y horizontales, y límites indeterminados de funciones. Incluye ejemplos gráficos y matemáticos para ilustrar cada concepto.
Tipo: Ejercicios
1 / 34
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LIMITE FINITO
Presentamos algunas funciones con las que nos proponemos investigar qué sucede con las
imágenes que asume la función para valores del dominio cercanos a 1. Es decir, nos interesa
conocer el comportamiento de f(x) cuando x se aproxima a 1 tanto como se quiera.
f 1 (x) = x + 1 (Observa quef (x) x 1 x 1) x- 1
2 x f 2 (x) 2
Dom R f 1 Dom R- 1 f 2
y y
x x
5 six 1
x 1 six 1 f 3 (x)
Dom R f 3
x 0,9 0,99 0,999 0,99 99 1 1,0001 1,001 1,01 1,
f 2 (x) 1,9 1,99 1,999 1,9999 (^) 2,0001 2,001 2,01 2,
x 0,9 0,99 0,999 0,99 99 1 1,0001 1,001 1,01 1,
f 2 (x) 1,9 1,99 1,999 1,9999 2 2,0001 2,001 2,01 2,
x 0,9 0,99 0,999 0,99 99 1 1,0001 1,001 1,01 1,
f 3 (x) 1,9 1,99 1,999 1,9999 5 2,0001 2,001 2,01 2,
1
2
x
y
1
1
1
2
0
5
Observemos el comportamiento de la función para valores próximos a c = 1.
Vemos que las imágenes se aproximan a 2 cuando x tiende a 1 considerando valores mayores
que él (decimos que se aproxima a 1 por derecha y lo indicamos
x 1 ); e n cambio, si x tiende
a 1 mediante valores menores (se aproxima a 1 por izquierda:
x 1 ) las imágenes tienden a 0.
Cada uno de los comportamientos anteriores se expresa mediante los llamados límites
laterales y se indican:
lim
lim
4
4
x 1
x 1
En general decimos que:
Volviendo al ejemplo anterior, ¿qué puedes decir dellim f 4 (x) x 1
Qué relación intuyes entre el límite de una función en un punto y los límites laterales de dicha
función en el mismo punto?
Concluimos entonces que:
El límite de una función en un punto existe si y solo sí los dos límites laterales existen y
son iguales.
El límite lateral izquierdo de f (x) cuando x tiende a c es el número L 1 , si los valores de
f(x) se aproximan a L 1 tanto como se desee cuando x se acerca suficientemente a c mediante
valores menores que c. Lo representamos: 1 x c
lím f(x) L
El límite lateral derecho de f (x) cuando x tiende a c es el número L 2 , si los valores de
f(x) se aproximan a L 2 tanto como se desee cuando x se acerca suficientemente a c mediante
valores mayores que c. Lo representamos: 2 x c
lím f(x) L
Los límites laterales
ilustran el comportamiento
de la función a cada lado
del valor de análisis
Sea
x- 1
f 5 (x)
Dom R- 1 f 5
Para esta función, a medida que consideramos valores próximos a 1 por derecha o izquierda las
imágenes no se acercan a ningún valor determinado, sino que crecen sin tope. Decimos
entonces que la función tiene en c=1 un comportamiento no acotado y, por supuesto, no tiene
límite finito. Este comportamiento será objeto de estudio más adelante.
Ejercicios propuestos
j)lím f(x)
i) límf(x)
h)límf(x)
g)límf(x)
f)límf(x)
e)límf(x)
d)lím f(x)
c)lím f(x)
b)lím f(x)
a)lím f(x)
x 4
x 5
x 3
x 3
x 3
x -
x 3
x -
x 1
x 0
Observación:
El límite finito de una función en un punto puede
existir o no, independientemente de que la función
esté o no definida en el punto.
1 2 3 4 5 x
y
4
3
2
1
y
x
f(x)=cos x
Para las siguientes funciones y a partir del análisis de su comportamiento, admitimos que el
límite de la función para x cse obtiene por sustitución directa. Es decir: limf(x) f(c) x c
Función constante.
limk k x c
Función identidad
limx c x c
Función seno
limsenx senc x c
Función coseno
limcosx cosc x c
Función exponencial
lim a a
x c
x c
Función logarítmica
c a
x log a
limlog x c
(c>0)
Función raíz enésima
lim x c ( n N- 1 , c sin esimpar c 0 sin espar)
n n
x c
x
k
f(x)=k
y
c
f(x)=x
x
y
c
c
f (x) = ax con a > 1
f (x) = a
x
con 0 < a < 1
ac ac
x x
y y
c c
logac x
f (x) = logax y con a > 1
c
y
f (x) = logax con 0< a <
x
logac
c
Ej: f (x) = x x
y
c
c
cos c
x
y
f(x)=sen x
sen c
c
y
x
Ejercicio propuesto
a) limsenx x
c)lim x
5
x 1
e)lim e
x
x 0
g)lim log 3 x x 1
b)lim 2 x 0
d)
límcos x x
f)
lim x x 7
h)
3
x o
lim x ^
Ejemplos resueltos
función en c. Es decir, límp(x) p(c) x c
Resolución:
n n
x c
lím x c
n
x c x c x c x c x c
n
x c
lím x lím x.x.x........x límx.lím x.límx.........límx c.c.c.........c c
n factores Límite de un producto Límite de la función n factores identidad
Consideremos ahora la función polinómica 1 0
n 1 n 1
n p(x) an .x a .x ......... a.x a
Sean k ,f yg funcionesquetenganlímiteparaxc, entonces son ciertas las
siguientes propiedades
Si existe, el límite de una función para x ces único.
lím f(x) g(x) límf(x) límg(x) x c xc xc
límf(x)
g(x)
f(x) lím x c x c
x c
x c
4 - hx si x 1
hx 3 six 1 límf(x)sif(x) x 1
Representa gráficamente esta función y corrobora la existencia del límite pedido.
2x ax 2
5x ax 3x 4 lím 2
3 2
x 2
Analicemos algunos ejemplos:
3 g (x) 5 x- 3 y f(x) x , definimos
3 (fog) (x) 5 x 3.
Queremos hallar lím 5 x 3
3
x 1
Para calcular este límite podemos seguir el siguiente razonamiento:
3 3 3 (^3 3) x 1 x 1
Cuando x 1, (5x-3) 2 Por lo tanto : lim 5 x - 3 lim (5 x - 3) 2 Cuando (5x-3) 2, 5 x 3 2 ^
2 x resulta
(x^2 1) (fog) (x) 2.
Con un razonamiento análogo al anterior podemos calcular el
(x 1)
x 3
2 lím 2
2 2 2 lim^ (x^ 1) (x 1) (^) x 3 10
2 (x^2 1) 10 x 3
Cuando x 3 , resulta (x 1) 10 Por lo tanto : lim 2 2 2
Cuando (x 1) 10 , 2 2
(^)
Estos ejemplos ilustran el siguiente teorema:
Recuerda:
(fog)(x) = f[g(x)]
Recuerda:
Todos los teoremas
enunciados son válidos también
para límites laterales
Si f y g son funciones tales que lim g(x) L y limf(x) f(L) x c x L
resulta lim f g(x) f limg(x) f(L) x c x c
Ejercicio propuesto
4 2 x 1 a 0
π (^) y 0 x 3
a) lím x 3 c ) lím log 3 a 1
sen 4y a b) lím cos 3x π d) lím 3 y
Si las imágenes de dos funciones coinciden en las inmediaciones de un punto c (salvo quizás
en c) entonces los límites de ambas para x c coinciden.
Hemos resuelto límites por sustitución directa aplicando los teoremas anteriores. Sin embargo,
algunos límites de cocientes de funciones no pueden resolverse por este medio debido a que el
límite del divisor es 0.
Desde el punto de vista geométrico el teorema es
intuitivamente cierto. En la representación de la
izquierda observamos que si f(x) < g(x) < h(x) para todo
x cercano a c, entonces la gráfica de g se encuentra
entre las gráficas de f y h en ese intervalo.
Por lo tanto si f y h tienen el mismo límite L cuando x
tiende a c, es evidente que g también tiene el límite L.
L
c
y
c
x
c f(x)
g(x)
h(x)
c
c
Sean f (x), g (x) y h (x) funciones que satisfacen f (x) g(x) h(x) x cercano a c
(excepto quizás en c), si lim f(x) limh(x) L limg(x) L x c x c x c
x
senx lim x 0
Para analizar el comportamiento de esta función alrededor de c = 0, presentamos su gráfica:
Analíticamente es posible demostrar este límite aplicando el teorema de intercalación:
Demostración:
En una circunferencia trigonométrica (de radio 1) consideremos
un ángulo positivo de “x” radianes. Como nos interesa x 0
podemos suponer que 0 < x <
2
.
Observemos los segmentos mp y rq que quedaron determinados
en la figura.
Es inmediato que:
mp medida arcopr rq (1)
Considerando valores de x próximos a 0 y que la circunferencia
es trigonométrica, resultan equivalentes:
De ella deducimos que:
x
senx lim x 0
x
p
r
q
x o m
y
Recuerda:
x(enradianes) radio
long.arco
x
senx lim x 0
Reemplazando en (1) nos queda:
sen x < x < tg x
Si x > 0 resulta sen x > 0 y al dividir cada miembro de la desigualdad anterior por sen x
obtenemos:
cosx
senx
x 1
O tomando los recíprocos: 1 x
senx cos x (2)
Observemos que las funciones involucradas en (2) son funciones pares.
En efecto:
cos (-x) = cos x y
sen ( -x) - sen x sen x = = (- x) (- x) x
Entonces la expresión (2) es válida aún cuando
2
< x < 0.
En resumen, es posible afirmar que para todo x próximo a 0 se cumple:
x
senx cos x
Además: lim cosx 1 x 0
y lim 1 1 x 0
. Por lo tanto, por el teorema de intercalación resulta:
En la representación, puede observarse cómo la
gráfica de
x
senx se halla comprendida entre
las gráficas de cos x y 1 para valores
suficientemente próximos a c = 0.
Conocer este límite nos permitirá resolver otros,
como veremos más adelante.
x
p
r (^) x m
o
y
s
Ejercicio propuesto
a)
(^1) x
4 x 4 lím x 1
b)
(^) x 4
x 2 2 lím x 2 2
para algunos cocientes de funciones trigonométricas:
Algunos límites con estas características pueden resolverse sabiendo que 1 x
senx lim x 0
y
efectuando algunas transformaciones:
Ejemplos resueltos:
3.x 0 3x 0 3x 0
x 0 x 0 x 0 x 0
sen (3x) 3. sen (3x) sen (3x) sen (3x)
x 3. x 3x 3x
(x-2)
sen(x-2) lim (x-2)
sen(x-2)
x 2 0
x 2 x 2
Ejercicio propuesto
a) (^7) x
sen( 2 x) lím x 0
b) x 0
1 - cos x lim x
c) (^) x
tgx lím x 0
para límites con valor absoluto:
Para “salvar” estas indeterminaciones, utilizaremos la definición de valor absoluto, como se
indica en los ejemplos:
x - 4
x- 2
De acuerdo a la definición de valor absoluto se tiene que
x- 2 six 2
x - 2
Así para valores de “x” mayores que 2 la expresión x- 2 se puede sustituir por (x – 2), y
para valores menores que 2 se sustituye por - (x – 2). Por lo tanto se hace necesario calcular
0
por separado los límites cuando x 2
y cuando
x 2 , es decir calculamos los límites
laterales:
2 x 2 x 2 x 2
x - 2 (^) (x - 2) 1 1 lím lím lím ^ x^ - 4 ^ (x - 2). (x^ 2)^ (x^ 2)^4
2 x 2 x 2 x 2
x - 2 (^) - (x - 2) -1 1 lím lím lím -
^ x^ - 4 ^ (x - 2). (x^ 2)^ (x^ 2)^4
Como los límites laterales son diferentes, entonces el
x - 4
x- 2 lím x 2 2
no existe.
Gráficamente pueden observarse
las diferentes tendencias de la
función cuando tomamos valores,
por derecha y por izquierda,
suficientemente cercanos a 2.
Ejercicios propuestos:
a) x 4
x 4
x 4
lím
= 1 b)
(^) x 5
x 5 lím x 5
-1 c)
3 x
2 x x
x 0
lím
x 2
x 4
3
x 2 2
2
x 0
2
x 9
x 5
x 2 6 x g) lím x 2
sen (2x) h) lím sen (3x)
x 8 i) lím x 3x 2
x 5x j) lím sen x
81 18x x k) lím x 3
sen (x 5) l) lím 2x 10
x 0
x 1 3
x 0
3 2
x 1 2
x 2 2
x 0
x 2x 7x a) lím 4 x 2x
x 1 b) lím x 1
tg (3x) c) lím 2x
3x 3x 6x d ) lím x 2x
x 2 e) lím x 2x
sen (5x) - 4x f) lím 3x
y
¼ x
x - 4
x- 2 f(x) 2
x 2
f 8 (x)
; c = -
f ^ 8
La función no tiene límite finito para
x -.
Observemos que f(x) crece sin tope
cuando
x -2 y decrece sin tope
cuando
x -2. No podemos indicar
un único comportamiento de la función
para (^) x -2, es decir, no podemos
indicar un resultado para x 2
lím x (^2)
Sin embargo, es razonable caracterizar
estas tendencias a través de límites
laterales
x 2
lím x 2
x 2
lím
x 2
El comportamiento de las funciones f 6 , f 7 y f 8 alrededor del valor de estudio c, puede
interpretarse geométricamente diciendo que los puntos de la gráfica de la función se acercan a
la recta x = c, tanto como se quiera, cuando x está lo suficientemente cerca de c.
La recta x = c recibe el nombre de asíntota vertical del gráfico de f.
Para las funciones analizadas resulta:
f 6 (x)
x
f (x) - (^7 )
f 8 (x)
y
x ( ( ( ) ) )
f (x) crece sin tope
f (x) decrece sin tope
Observaciones :
- Diremos que:
lím f(x) x c
cuando
^
lím f(x) lím f(x)
x c x c
lím f(x) x c
cuando
^
lím f(x) lím f(x)
x c x c
- Los límites infinitos indican el comportamiento no acotado de una función. El
símbolo (infinito) indica una tendencia y no representa ningún número real.
x 0 x 1
lím f(x) y lím f(x)
La función tiene dos asíntotas verticales: x= 0 y x = 1
f (x) x 1
lím
La función tiene una asíntota vertical : x= 1
f (x) x 0
lím
La función tiene una asíntota vertical: x = 0
Presentamos otros ejemplos:
Consideremos la función:
x 3
f 9 (x)
Dom (^) f R-{3}
y
x
“x” crece sin tope
“x” decrece sin tope
En general diremos que la recta x = c es una asíntota vertical de la gráfica de una función f
(x), si al menos uno de los siguientes límites es cierto:
* lim f(x) x c
* limf(x) x c
* lim f(x) x c
* limf(x) x c
