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análisis de datos experimentales
Tipo: Apuntes
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0.0 Índice general
1.1 1.1. Errores e incertidumbres
1.1. Errores e incertidumbres
En la determinación experimental de una magnitud no podemos definir error como la diferencia entre el valor observado de la magnitud y su valor real : no conocemos este supuesto valor real sólo disponemos de aproximaciones a ese valor obtenidas en otros experimentos o a partir de predicciones teóricas. Sin embargo, podemos acotar el intervalo de valores que puede asumir esa magnitud al realizar la medida. Suponga que conocemos el valor real del observable^1 , A. A la diferencia entre el valor del obser- vable A y el valor obtenido en la medida, a i, la denominaremos error absoluto, ei:
ei = |A − ai| (1.1) Como es imposible determinar A , no podemos determinar ei. Lo que si podemos hacer es estimar el intervalo de valores en que esperamos encontrar A de modo que la diferencia entre la medida, a i, y A sea menor o igual que un cierto error, εi:
εi = |A − ai| (1.2)
A − ai ≤ εi ≥ A + ai (1.3)
Así, es conveniente representar el valor real que intentamos aproximar (y no conocemos) con un intervalo centrado en la medida a i:
A = ai ± εi (1.4)
εi es el error absoluto o incertidumbre de la medida. Podemos distinguir tres tipos de contribuciones a la disparidad entre las observaciones experimen- tales y el valor real:
errores ilegítimos
errores sistemáticos
errores aleatorios
Los errores ilegítimos^2 son aquellos causados por errores de cálculo o en la realización del expe- rimento. Afortunadamente estos son fácilmente detectables, ya sea porque el resultado de la medida es un valor físicamente improbable o porque los resultados difieren considerablemente de otras deter- minaciones. Estos errores se corrigen repitiendo las operaciones erroneas o el experimento. Los errores sistemáticos (o determinados) son aquellos que afectan a las distintas medidas de un modo previsible. Su determinación no es siempre fácil, puesto que no siempre es posible estimar su efecto y sólo pueden detectarse mediante un análisis detallado del procedimiento experimental. Si el tipo y magnitud de este error es conocido, la medida puede ser corregida para compensar por este
(^1) observable: propiedad que puede medirse experimentalmente (^2) También llamados errores groseros o accidentales
1 1.Errores, incertidumbres, precision y exactidud.
error. En otros casos la incertidumbre asociada a este efecto ha de ser estimada y combinada con aquella asociada a los errores aleatorios.
Un caso particular de error sistemático es el error de escala. Este resulta de la capacidad limitada, resolución , para distinguir dos valores muy próximos de la magnitud medida. La resolución es por tanto una característica del instrumento y siempre tiene un valor distinto de cero. Salvo que el cons- tructor indique lo contrario, su valor puede estimarse como un medio de la unidad que corresponde a las divisiones más próximas de la escala (lectura analógica) o a los cambios más pequeños de un contador (lectura digital).
Ejemplo 1. Error de escala Considere un termómetro con una graduación en divisiones de decimas de grado. El error de escala puede estimarse como en 0.05 o^ C. Este error es constante y afecta a todos las medidas efectuadas. Así, si leemos una temperatura de 36.5 oC, al tener en cuenta la resolución del termómetro, podemos expresar el valor de la temperatura como 36.50 ± 0.05 oC. Es decir, la temperatura está comprendida entre 36.45 y 36.55 oC.
Ejemplo 2. Error sistemático Para una determinación de una longuitud se utilizó un metro de aluminio. Las medidas fueron realizadas a una temperatura de 20 oC, obteniendose una media de las me- didas de 1.982 m. Tras completar el experimento se advirtió que el metro se habia calibrado a 25 oC y que el aluminio utilizado tenia un coeficiente de expansión lineal de 0.005 m.oC−^1. Es decir, las lecturas del metro a 20 oC no son correctas.
1 1.Errores, incertidumbres, precision y exactidud.
Figura 1.1: Comparación de errores sistemáticos y accidentales. Los errores sistemáticos están asocia- dos con la exactitud de la medida mientras que los errores accidentales o aleatorios con su precisión.
Figura 1.2: Distribución de las medidas de la tabla del ejemplo 3 [3, figura1]
1.2 1.2. Cifras o digitos significativos
1.2. Cifras o digitos significativos
Para indicar el valor de una magnitud experimental se han de proporcionar el máximo número de cifras significativas que permita la precisión del experimento. Cualquier número en valor absoluto puede expresarse como una serie de potencias
|x| =
m=i
αi 10 m^ (1.6)
donde αm es un dígito del 0 al 9, e i es un entero tal que
|x| 10 i^
Las cifras significativas se definen como:
Ejemplo 4. Número de cifras significativas ¿Cuantas cifras significativas tiene el número 0 , 00370 ?. En el número 0 , 00370 los tres primeros dígitos no son significativos puesto que sólo sirven para indicar el orden de magnitud de la medida. El último cero si es significativo puesto que el número 0 , 00370 es diferente a 0 , 00369 , 0 , 00371 , 0 , 00372 ,.... El número tiene 3 cifras significativas. Note que 0 , 00370 es diferente a 0 , 0037 porque este número sólo tiene dos cifras significativas.
Una consecuencia del resultado del ejemplo anterior es que hay que tener cuidado cuando escribi- mos el resultado de una medida en distintas unidades. Hay que tener cuidado con el número de cifras significativas. Por ejemplo, el equivalente en gramos de 3 , 2 Kg es 3 ,2 10^3 g no 3200 g. Esta número no es correcto puesto que supondría que el resultado del peso en Kg lo conocemos con cuatro cifras significativas. Un método que evita ambigüedades a la hora de determinar que cifras son significativas es expre- sar los números en notación científica. En esta notación el número se expresa como el producto de otro número (mantisa) que contiene las cifras significativas, la primera de las cuales ocupa la columna de las unidades, por una potencia de diez.
1.3 1.3. Ejercicios y problemas
1.3. Ejercicios y problemas
Errores
Cuestión 1.1 Verdadero o falso. Los errores aleatorios de una medida son impredecibles. Sin embargo, la media de estos errores es cero.
Cuestión 1.2 Verdadero o falso. Los errores sistemáticos de una medida pueden permanecer constantes o variar de una manera predecible (aunque no conozcamos la forma de esa variación).
Cuestión 1.3 Verdadero o falso. Los errores sistemáticos no pueden eliminarse calculando la media de un conjunto de medidas.
Cuestión 1.4 Eliga la respuesta adecuada Cuando se resta el blanco a una serie de medidas se intenta eliminar una fuente de error aleato- rio|sistemático|escala.
Ejercicio 1.1 Una muestra patrón de suero sanguíneo humano contiene 42.0 g de albúmina por litro. Cinco laboratorios (A-E) realizan cada uno seis determinaciones (en el mismo día) de la concentra- ción de albúmina, con los siguientes resultados (en gl −^1 ):
laboratorio concentración de albumina, gl −^1 A 42.5 41.6 42.1 41.9 41.1 42. B 39.8 43.6 42.1 40.1 43.9 41. C 43.5 42.8 43.8 43.1 42.7 43. D 35.0 43.0 37.1 40.5 36.8 42. E 42.2 41.6 42.0 41.8 42.6 39.
Comentar el sesgo, precisión y exactitud de cada uno de estos conjuntos de resultados.
[3, Ejercicio 1]
Ejercicio 1.2 Utilizando la misma muestra y el método del ejercicio anterior, el laboratorio A rea- liza otras seis determinaciones posteriores de la concentración de albúmina, esta vez en seis días sucesivos. Los valores obtenidos son 41.5, 40.8, 43.3, 41.9, y 41.7 g.l −^1_. Comentar estos resultados._
[3, Ejercicio 2]
Ejercicio 1.3 Se ha determinado cuatro veces el número de lugares de unión por molécula en una muestra de anticuerpos monoclonados, con resultados de 1.95, 1.95, 1.92 y 1.97. Comentar el sesgo, precisión y exactidud de estos resultados
[3, Ejercicio 3]
1 1.Errores, incertidumbres, precision y exactidud.
Cifras significativas
Cuestión 1.5 Explique la diferencia entre redondeo y trncamiento
Ejercicio 1.4 Indique el número de cifras significativas y exprese en notación cientifica las siguientes magnitudes: (a) 12.08 m. (b) 5.43 10^12 s −^1 (c) 0.12 10 −^3 cal (d) 0.0250 g (e) 2500.2 Å (f) 10.5 10^2 eV
Ejercicio 1.5 A partir de los resultados de un experimento se calculo que el valor de la energía de ionización del rubidio es de 403.028 kJ mol −^1_. Por otra parte se estimo que la incertidumbre de dicho calculo en 0.2 kJmol_ −^1_. Indique el resultado con el número correcto de cifras significativas._
Errores
Ejercicio 1.1 Los resultados de la media g.l −^1 para los laboratorios A-E son: 41.9, 41.9, 43.2, 39.1, 41.5. De aquí:
A - preciso, poco sesgo, media exacta
B - precisión pobre, poco sesgo, media exacta pero no muy fiable
C - preciso pero sesgado a valores altos, exactitud pobre
D - precisión pobre, sesgado a valores bajos, pobre exactitud
E -similar a A, pero el último resultado podría ser un valor anómalo
Ejercicio 1.2 El laboratorio A aún muestra poco sesgo, pero la precisión es más pobre, reflejando reproducibilidad (es decir, precisión entre días) pero no repetibilidad (precisión dentro de días).
Ejercicio 1.3 El número de posiciones de enlace debe ser un número entero, 2 en este caso, de manera que los resultados son precisos, pero sesgados a valores bajos. El sesgo no es importante, ya que pueden de ducirse dos posiciones de enlace.
Cifras significativas
Ejercicio 1.4 (a) Cuatro cifras significativas. → 1.208 10^1 m. (b) Tres cifras significativas. → 5.43 10^12 s −^1_. (c) Dos cifras significativas._ → 1.2 10 −^4 cal. (d) Tres cifras significativas. → 2.50 10 −^2 g. (e) Cinco cifras significativas. → 2.5002 10^3 Å. (f) Tres cifras significativas. → 1.05 10^3 eV.
Ejercicio 1.5 4 , 03 ± 0 ,20 kJ.mol−^1
Comprender la relación entre el error aleatorio y la probabilidad
Conocer la definición axiomática de probabilidad y las consecuencias que se derivan de ésta
Comprender la relación entre frecuencia de un suceso y probabilidad de que este se produzca
3 Funciones de distribución de probabilidad
Realizar cálculos básicos de probabilidad para variables aleatorias dis- cretas
Realizar cálculos básicos de probabilidad para variables aleatorias con- tinuas
2.1 2.1. Definición de probabilidad
Como vimos en el tema 1, los errores accidentales son debidos a las fluctuaciones de las distintas variables que influyen sobre el experimento. Esto se manifiesta en que medidas repetidas en condi- ciones aparentemente idénticas difieren. Por este carácter aleatorio, los errores accidentales pueden tratarse estadísticamente. El objetivo de la teoría estadística de los errores es múltiple: obtener una apreciación óptima del valor de la magnitud medida, estimar el error accidental en su determinación, verificar si el resultado es compatible con determinadas hipótesis que puedan establecerse sobre la magnitud que se mide, etc. Toda teoría estadística de los errores se basa en dos postulados generales: (a) la medida experimental de una magnitud es una variable aleatoria que cumple la ley de estabi- lidad estadística o de los grandes números según la cual las medidas se concentran en torno a un valor medio, que cuando el número de observaciones es grande (en el límite de infinito) se convierte en un valor constante, independiente del número de observaciones. (b) la probabilidad de que observemos un valor distinto del valor medio puede caracterizarse mediante una función (función de distribución de probabilidad). La forma concreta de la función de distribución de probabilidad puede ser establecida a partir de medidas experimentales o, postulada y posteriormente contrastada con los experimentos. Al postular distintas distribuciones de probabilidad se tendrá una determinada teoría estadística y la interpola- ción de los resultados experimentales será diferente. Generalmente consideraremos que la función de distribución que caracteriza nuestras medidas es una función de distribución normal o Gaussiana^1.
2.1. Definición de probabilidad
En teoría estadística al conjunto de todos los posibles resultados de una medida se le denomina espacio muestral, S. Por ejemplo, (i) En un experimento se miden el número de partículas emitidas por una fuente radiactiva. El espacio muestral está formado por los números 0, 1, 2, ... Puesto que la magnitud determinada en el experimento es una magnitud aleatoria discreta , el espacio muestral es un conjunto contable. (ii) En un experimento se determina el volumen necesario de ácido que hay que utilizar para alcanzar el punto de equivalencia en una valoración ácido-base. El volumen puede tomar cualquier valor, tal que V > 0. La magnitud estudiada es una magnitud aleatoria continua y el espacio muestral puede ser cualquier número real positivo (V > 0) y el espacio muestral es un conjunto no contable. Cada posible subconjunto del espacio muestral se le denomina suceso, A. Un suceso que corres- ponde al resultado de una medida constituye un suceso elemental o simple.
Intuitivamente identificamos la probabilidad de un suceso con la frecuencia con la que esperamos que este ocurra. Podeamos definir la probabilidad de suceso A , P(A), como la frecuencia con que este
(^1) Estudiaremos esta función de distribución de probabilidad en el tema 5 Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias continuas
2.1 2.1. Definición de probabilidad
Número de caras 0 1 2 3 4 16 lanzamientos Esperado 1 4 6 4 1 Experimento 1 2 7 2 4 1 Experimento 2 3 4 4 5 0 160 lanzamientos Esperado 10 40 60 40 10 Experimento 3 9 40 61 38 12 1600 lanzamientos Esperado 100 400 600 400 100 Experimento 3 125 403 567 409 96 16000 lanzamientos Esperado 1000 4000 6000 4000 1000 Experimento 3 1009 3946 5992 4047 1006
En el ejemplo anterior se observa que el acuerdo entre la predicción teórica (número de obser- vaciones esperadas) y el resultado experimental mejora con el número de ensayos. Esto indica que conforme el número de experimentos aumenta la frecuencia muestral o experimental se aproxima a la frecuencia teórica. Este observación ilustra la ley de los grandes números : para valores suficiente- mente grandes del número de medidas, N, las frecuencias muestrales se aproximan a la probabilidad conforme aumenta de N.
Supongamos que tenemos un espacio muestral S. Para cada suceso A de este espacio muestral, asociamos un número real P(A). Entonces P es una función real que se denomina función de proba- bilidad y P(A) la probabilidad del suceso A , si se cumplen los axiomas siguientes:
Axioma 1. Para cada suceso A , P (A) ≥ 0.
Axioma 2. Para el suceso cierto o seguro: P (S) = 1.
Axioma 3. Para dos sucesos cualesquiera, A y B, la probabilidad del suceso que se obtenga A o se obtenga B , P (A ∪ B), viene dada por
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) (2.2)
que se simplifica cuando los sucesos son mutuamente excluyentes ( P (A ∩ B) = 0)
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) (2.3)
como se ilustra en el diagramas de Venn de la figura 2.1. Esta propiedad puede generalizarse a cualquier número de sucesos.
2 2.Teoría estadística de los errores(I). Probabilidad
Figura 2.1: Diagrama de Venn que ilustra el significado de P (A ∩ B).
Algunas consecuencias de estos axiomas son: +Para cada suceso P(A): 0 ≤ P (A) ≤ 1 (2.4)
es decir la probabilidad de un suceso está entre cero y uno. +El suceso imposible tiene probabilidad nula, P (∅) = 0. +Si A’ es el suceso complemento de A entonces:
La probabilidad de que dos sucesos A y B ocurran simultáneamente, P (A ∩ B), viene dada por
donde P (B|A) es la probabilidad condicional de que suceda B si ha ocurrido A. Si A y B son sucesos independientes, P (B|A) = P (B),
