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Análisis Real
Algunas definiciones:
Dados a ∈ R y A ⊂ R se dice que:
a) a es un punto interior de A si ∃r > 0: (a − r, a + r) ⊂ A
b) a es un punto frontera de A si ∀r > 0 (a−r, a+r) ∩ A ≠ ∅ y (a−r, a+r) ∩ A
c ≠ ∅
c) a es un punto adherente a A si ∀r > 0 (a − r, a + r) ∩ A ≠ ∅
d) a es un punto de acumulación de A si ∀r > 0 [(a − r, a + r) - {a}] ∩ A ≠ ∅
e) a es un punto aislado de A si ∃r > 0: (a − r, a + r) ∩ A = {a}.
Completar la tabla con los valores correspondientes
A Conjunto
de puntos
interiores
Conjunto
de puntos
frontera
Conjunto
de puntos
adherentes
Conjunto de
puntos de
acumulación
Conjunto
de puntos
aislados
{2,3,4}
N
Q
(0,1] U {2}
n
, con n
Natural}
Definiciones:
Se dice que el conjunto A es abierto si y sólo si todo punto de A es interior.
Se dice que el conjunto A es cerrado si y sólo si todo punto adherente a A
pertenece a A.
❖ Para tener en cuenta: Hay conjuntos que son abiertos, otros que son
cerrados, pero también hay conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados.
Por ejemplo, los conjuntos ∅ y R son los únicos que son abiertos y cerrados
simultáneamente.
El conjunto de los números Naturales es cerrado, mientras que el conjunto de los
números racionales no es ni abierto ni cerrado.
El intervalo (3, 7) es abierto, [−2, 4] es cerrado y [0, 6) no es ni abierto ni cerrado.
El conjunto {x =
n
1 + / n ∈ N} no es abierto ni cerrado, pero {x = n
1 + / n ∈ N} ∪ {1}
es cerrado.
Observación: en algunos casos, para clasificar a un conjunto como conjunto
abierto se usa el criterio que asegura que si un conjunto es abierto, entonces su
complemento es cerrado.
Teorema (Bolzano). Todo conjunto infinito y acotado de números reales tiene
algún punto de acumulación.
Este resultado no es cierto en el conjunto de números racionales. Por ejemplo, si
A = {1; 1,41;1,414; 1,4142;.. .} tiene infinitos elementos, está acotado, y no tiene
puntos de acumulación: ese posible punto de acumulación no pertenece al
conjunto de números racionales.
Para demostrar el teorema se podría partir de considerar que: A ⊂ R infinito y
acotado. En particular A está contenido en un intervalo A ⊂ [a, b].
Se considera el conjunto C = {x ∈ [a, b]/ a la derecha de x hay infinitos elementos
de A}. C está acotado superiormente (por ejemplo b es cota superior) y es no
vacío, ya que a ∈ C. Sea entonces d = sup(C). La demostración termina probando
que d es punto de acumulación de A. Para ello se verá que dado r > 0 se tiene
(d−r, d+r) ∩ A es infinito, con lo que resultará que d es punto de acumulación de A.
Se tiene:
a) a la derecha de d − r hay infinitos puntos de A, ya que en caso contrario d − r
sería una cota superior de C menor que d, y b) a la derecha de d + r hay, como
mucho, un número finito de puntos de A, ya que en caso contrario d no sería cota
superior de C.
De a) y b) se sigue que (d−r, d+r) ∩ A es infinito. Y entonces en particular d es
punto de acumulación de A.
Hallar el conjunto de puntos de acumulación de los siguientes conjuntos:
A = (-2,4)
B = [0,10]
C= {x/ │x – 2│< 6 y x es entero}
D= {x/ │x – 2│< 6 y x es racional}
E = {x/ │x – 2│< 6 y x es real}
F = {x/ 0 <│x – 2│< 6 y x es real}
G = {x/
4n 1
3n 5 x −
= y n es natural}
H = {x/
2n 1
4n 2 x
2
= y n es natural}
I = {x/
10n 1
3n x
= y n es natural}
J = {x/ │x – 2│< 1 o x = 0 y x es racional}
Definición:
Se dice que un subconjunto S de un campo ordenado F es denso si: ∀ a, b ∈ F,
∃ x ∈ S tal que a < x < b. O de manera equivalente, el conjunto S es denso si y
sólo si todos sus puntos son de acumulación.
Función
Definición:
f: A → B es una función si y sólo si todos los elementos de A se relacionan con
uno sólo un elemento de B.
Hallar el dominio de cada una de las siguientes funciones, representarlas
gráficamente y analizar sus características más destacables.
1 ) f(x) = 3
(-x+1) 2 ) f(x) = - 2
x²
- f(x) =
x 1
x
4 ) f(x) = x 1
2 −
5 ) f(x) = │x
2
3
- f(x) = sen( x)
2
π − 8) f(x) =
x 1 six 2 x -
x 1 six 2
- f(x) =
cos(x) si 0 x π
sen(x)sixπ x 2 π
- f(x) = 2
x −x
- f(x) =
2
x −x −
Definir el límite de una función f(x).
Calcular por definición los siguientes límites
(x 2)
lím
x 1
→
(x 5)
2
x 0
lím +
→
(2x 1)
lím
x
→
Demostrar que la función f(x) = x
2
- 5x – 1 tiene límite - 7 para x → 3, siendo que x
pertenece al intervalo [2,4]
Probar que la función
6 six 2
5x 3 six 2 f(x) tiene límite 13 para x = 2.
Calcular los siguientes límites
→ x
x
2
x -
x
lím
2
→ x
x
2
x -
x
lím
2
→ x x
x
2
x -- 1
x
lím
→ x
x
lím
x -3^2
2 − −
→ x x
x
2
x -
2x
lím
2 −
→ x
3
x 1
x
lím
→ x
x
2
x -
x
lím
2
2
→ x x
x 2
lím x -
3 2
→ x x
x- 4 x
lím
x -
x
cos(1- x)
lím
x→ -
límsen(x )
x 0
→ x
tan(2x)
lím
x→ 0
2
→ x x
sen(2 x)
lím
x -2 cos(x)
sen(x)
lím
x → sen(2πen
x cos( x)
lím
x 0,
→
x
x
→
lím
x
x
x
x
→ ^2
lím
x
3 1
→
x
x
x
lím
x
( x) x
5
0
→
lím
x
Definir continuidad de una función en un punto. Definir continuidad de una función
en un conjunto.
Analizar la continuidad de las siguientes funciones en los puntos indicados
f(x) =
1
x
x en x = 2 y x = 1 f(x) = 2
2
x
x en x = 2 y x = - 2
f(x) = ex
1
2 en x = 0 f(x) =
x si x
x si x en x = 1 y x = 0
f(x) =
cos(x)si x
sen(x) six en x = π f(x) =
− 2 0
3
2
e si x
e si x
x
x
