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AN ALISIS DE VARIABLE REAL´

Facultad de Ciencias Matem´aticas. UCM

Jos´e Mar´ıa Mart´ınez Ansemil

([email protected])

9 de octubre de 2015

Todo lo que es afirmado sin prueba puede ser negado sin prueba.

Euclides

Este Manual se ha preparado para su utilizaci´on por los alumnos de la asignatura An´alisis de Variable Real del Doble Grado de Econ´omicas y Matem´aticas-Estad´ıstica de la Facultad de Matem´aticas de la Universidad Complutense de Madrid. En ´el se desarrollan los temas del programa de esa asignatura siguiendo fundamentalmente el libro de R. G. Bartle y D. R. Sherbert “Introducci´on al An´alisis Matem´atico de una Variable”. Ed. Limusa.

Se trata de una versi´on provisional del Manual que seguramente tendr´a bastantes errores y erratas. Se agradece cualquier comentario que ayude a mejorarlo.

Madrid, Octubre de 2015.

El autor

2 0.1. Operaciones con conjuntos

2. Propiedad conmutativa:

A ∩ B = B ∩ A y A ∪ B = B ∪ A.

3. Propiedad asociativa:

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) y (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

4. Propiedad distributiva:

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) y A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Cuando se trata de una cantidad finita de conjuntos A 1 , ..., Ak su intersecci´on se denota por ∩kj=1Aj y su uni´on por ∪kj=1Aj y son, respectivamente,

∩kj=1Aj = {x : x ∈ Aj para todo j = 1, ..., k}

y ∪kj=1Aj = {x : x ∈ Aj para alg´un j = 1, ..., k}.

Tambi´en puede hablarse de intersecci´on o uni´on infinita de conjuntos: Dado un con- junto J y por cada j ∈ J un conjunto Aj , se denota por ∩j∈J Aj al conjunto formado por los elementos que pertenecen a todos los Aj , y se denota por ∪j∈J Aj al conjunto formado por los elementos que est´an en alguno (varios o todos) los Aj.

Otra operaci´on que consideraremos entre conjuntos es la de hallar el complementario de un conjunto respecto a otro. Se define as´ı: Si A y B son dos conjuntos se define el complementario de B con respecto a A, y se denota por A\B, como el conjunto formado por elementos de A que no pertenecen a B. N´otese que puede que A\B sea vac´ıo, lo que ocurre si y s´olo si A ⊂ B. Las siguientes igualdades, conocidas como Leyes de De Morgan (Augustus De Morgan, Inglaterra, 1806–1871), relacionan las tres operaciones que hemos definido entre conjuntos:

1. A(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C)
2. A(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\C).

Finalmente definimos el producto cartesiano A × B de dos conjuntos A y B como el conjunto de los pares (x, y) donde x ∈ A e y ∈ B. Esto es,

A × B = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}.

Si A = { 1 , 2 } y B = { 4 , 6 } entonces A × B = {(1, 4), (2, 4), (1, 6), (2, 6)}.

1. Preliminares 3

0.2. Funciones

Un concepto clave en este curso ser´a el concepto de funci´on (o aplicaci´on). El significa- do de este concepto ha ido variando a lo largo del tiempo. En el s. XIX el t´ermino funci´on se usaba como sin´onimo de f´ormula. Por ejemplo, f (x) = x^2 + 3x − 5 era una funci´on, pero hoy en d´ıa el concepto de funci´on abarca m´as casos que ese. Tambi´en se llama funci´on a la correspondencia que asigna a cada n´umero real x su valor absoluto; que es el propio x, si x es mayor o igual que 0 y su opuesto si x es menor que 0 y tambi´en es una funci´on la correspondencia que asigna a cada n´umero natural su cuadrado si el n´umero es par y su cubo si es impar. De hecho ahora se entiende como funci´on (o aplicaci´on) cualquier correspondencia que aplique los elementos de un conjunto A en otro conjunto B (claro que algunas correspondencias se pueden definir por una f´ormula, pero acabamos de ver que eso no ocurre siempre). Damos ahora un par de ejemplos de funciones: Si A = { 1 , 2 } y B = { 4 , 6 } la correspondencia 1 7 → 4 y 2 7 → 4 es una funci´on definida en el conjunto A y con valores en B. N´otese que no hace falta que todos los valores de B sean alcanzados por la correspondencia, pero lo que s´ı debe ocurrir es que a todo elemento de A se le asigne uno y s´olo uno de B. Por supuesto que la correspondencia 1 7 → 4 y 2 7 → 6 tambi´en es una funci´on de A en B. Para indicar que f es una funci´on entre A y B se usar´a la notaci´on f : A → B.

Dada una funci´on f : A → B, diremos que A es el dominio de f y que {f (x) : x ∈ A} es la imagen (o el rango) de f, y lo denotaremos por f (A). Ya hemos comentado que puede ocurrir que la imagen de f sea un subconjunto propio de B, es decir, un subconjunto de B que no contenga todos los elementos de B.

Si tenemos una funci´on f : A → B y consideramos un subconjunto E de A, definiremos su imagen f (E) como el subconjunto de B formado por los elementos de la forma f (x) con x ∈ E. Esto es, f (E) = {f (x) : x ∈ E}.

Dado un subconjunto H de B definimos f −^1 (H) como el subconjunto de A formado por aquellos x ∈ A tales que f (x) ∈ H. Esto es,

f −^1 (H) = {x ∈ A : f (x) ∈ H}.

Este conjunto se llama la preimagen de H por f. N´otese que no hemos definido f −^1 (lo que ser´ıa la “funci´on inversa” de f ), lo que hemos definido es el conjunto f −^1 (H). Veamos algunos ejemplos para facilitar la comprensi´on de esta definici´on: Si usamos el ejemplo anterior de la funci´on f definida entre A = { 1 , 2 } y B = { 4 , 6 } por la correspondencia 1 7 → 4 y 2 7 → 4 y tomamos H = { 4 }, entonces f −^1 (H) = { 1 , 2 }, si tomamos H = { 6 }, entonces f −^1 (H) = ∅ y si tomamos H = { 4 , 6 }, entonces f −^1 (H) = { 1 , 2 }. Si la funci´on f viene dada por la correspondencia 1 7 → 4 y 2 7 → 6 entonces f −^1 ({ 4 }) = { 1 }, f −^1 ({ 6 }) = { 2 } y f −^1 ({ 4 , 6 }) = { 1 , 2 }. Siempre ocurre que f −^1 (B) = A pero no siempre f −^1 (f (E)) coincide con E. Por ejemplo, si f viene dada por la correspondencia 1 7 → 4 y 2 7 → 4 y E = { 1 }, entonces f (E) = { 4 } y f −^1 (f (E)) = { 1 , 2 } 6 = E. Tampoco ocurre siempre que

1. Preliminares 5

Obs´ervese que lo que se hace es aplicar la funci´on g a lo que result´o al aplicar f a x. Cuando uno considera un subconjunto H de D resulta que

(g ◦ f )−^1 (H) = f −^1 (g−^1 (H)).

En efecto, si x ∈ (g ◦ f )−^1 (H) entonces g ◦ f (x) ∈ H, lo que implica que f (x) ∈ g−^1 (H) pues g(f (x)) = g ◦ f (x) ∈ H y esto nos dice que x ∈ f −^1 (g−^1 (H)). Por otra parte, si x ∈ f −^1 (g−^1 (H)) entonces f (x) ∈ g−^1 (H) y esto quiere decir que g ◦ f (x) = g(f (x)) ∈ H, es decir, x ∈ (g ◦ f )−^1 (H).

Si en particular f y g son biyectivas, entonces f ◦ g es biyectiva y (g ◦ f )−^1 = f −^1 ◦ g−^1.

Normalmente trabajaremos en el curso con funciones definidas en un conjunto de n´umeros reales y tambi´en con funciones definidas en el conjunto N de los n´umeros natu- rales, ´este ´ultimo tipo de funciones se llaman sucesiones, las estudiaremos en profundidad m´as adelante.

0.3. Inducci´on matem´atica

Aunque ya se os ha explicado lo que es la inducci´on matem´atica en la asignatura de Matem´aticas B´asicas no vendr´a mal darle un repaso aqu´ı, pues ser´a utilizada con frecuencia en el curso.

Supondremos conocido el conjunto N de los n´umeros naturales: 1, 2 , 3 ... y admitiremos, como axioma, que ese conjunto tiene el llamado Principio de buena ordenaci´on: todo subconjunto no vac´ıo de N tiene un elemento menor que todos los dem´as. De esta propiedad obtendremos el siguiente principio de inducci´on matem´atica:

Teorema 0.1 (PI) Si S es un subconjunto de N que tiene las propiedades:

(a) 1 ∈ S.

(b) Si k ∈ S tambi´en k + 1 ∈ S (esta condici´on se llama hip´otesis de inducci´on).

Entonces S = N.

Demostraci´on. Procedemos por reducci´on al absurdo. Supongamos que S 6 = N. Entonces el conjunto N\S no es vac´ıo y por lo tanto, por el Principio de buena ordenaci´on, tiene un elemento menor que todos los dem´as, llam´emosle m. Dado que 1 ∈ S necesariamente m 6 = 1 y entonces m > 1 , luego m−1 es un n´umero natural menor que m y necesariamente debe pertenecer a S pues m es el menor de los que no pertenecen. Ahora bien, por la segunda de las hip´otesis resulta que para k = m − 1, k + 1 = m − 1 + 1 = m debe pertenecer a S lo que es absurdo, luego N\S = ∅, esto es, S = N. 

El principio de inducci´on matem´atica suele usarse mucho de la siguiente manera: Si para cada n ∈ N se tiene una proposici´on P (n) relativa a n y sucede que:

6 0.3. Inducci´on matem´atica

1. P (1) es verdadera,
2. Si P (k) es verdadera tambi´en lo es P (k + 1).

Entonces P (n) es verdadera para todo n ∈ N.

Esto se obtiene del principio de inducci´on matem´atica considerando

S = {n ∈ N : P (n) es verdadera}.

Un ejemplo podr´ıa ser la propiedad P (n):

1 + 2 + · · · + n =

n(n + 1) 2

Nota 0.2 Puede ocurrir que una cierta proposici´on no se verifique para n = 1 o incluso para varios n ≥ 1 , pero si existe n 0 tal que P (n 0 ) es verdadera y P (k + 1) es verdadera cuando lo es P (k), y esto ocurre para todo k ≥ n 0 , entonces P (n) es verdadera para todo n ≥ n 0. Por ejemplo, esto ocurre con la desigualdad 2 n−^1 < n! que es v´alida para todo n ≥ 3 pero no para n = 1 y n = 2.

Ya hab´eis usado alguna vez este principio en la asignatura de Matem´aticas B´asicas. Se usar´a tambi´en en las clases de problemas y en la demostraci´on de alg´un resultado te´orico m´as adelante.

Algunas veces se necesita un principio de inducci´on que, aparentemente es m´as fuerte que el que estamos considerando y, de hecho se llama principio de inducci´on fuerte, lo enunciamos a continuaci´on y vemos como realmente es equivalente a nuestro principio de inducci´on.

Principio de inducci´on fuerte (PIF). Sea S un subconjunto de N tal que:

(a) 1 ∈ S

(b) Si { 1 , 2 , ..., k} ⊂ S tambi´en k + 1 ∈ S.

Entonces S = N.

Veamos la equivalencia entre ambos principios: PI =⇒ PIF. Si { 1 , 2 , ..., k} ⊂ S en particular k ∈ S lo que (por la PI) implica que k + 1 ∈ S. PIF =⇒ PI. Supongamos que k ∈ S, tenemos que ver que k + 1 ∈ S. Ahora bien, si k = 1 entonces k + 1 = 2 pertenece a S por la PIF, pues { 1 } ⊂ S; si k = 2 entonces k + 1 = 3 ∈ S por la PIF, pues { 1 , 2 } ⊂ S, despu´es de un n´umero finito de pasos llegamos a que { 1 , 2 , ..., k} ⊂ S. Vemos entonces que la PIF implica que para todo k se tiene que { 1 , 2 , ..., k} ⊂ S y entonces (por la PIF) k + 1 ∈ S.

8 0.4. Conjuntos infinitos

con lo que podemos definir una aplicaci´on inyectiva:

B 1 ∪ B 2 → { 1 , ..., n 1 , n 1 + 1, ..., n 1 + n 2 }.

Reiterando el proceso tendremos al final una aplicaci´on inyectiva entre B 1 ∪ B 2 ∪ · · · ∪ Bm y { 1 , ..., n 1 , ..., n 1 + n 2 , ..., n 1 + · · · + nm} y por lo tanto una aplicaci´on biyectiva entre B 1 ∪ B 2 ∪ · · · ∪ Bm y un subconjunto de { 1 , ..., n 1 , ..., n 1 + n 2 , ..., n 1 + · · · + nm} de la forma { 1 , ..., n} para un cierto n ∈ N.

Si ahora tenemos una colecci´on {B 1 , B 2 , ..., Bk, ...} de conjuntos numerables, que supon- dremos disjuntos, entonces

B 1 = {b(1) 1 , b(1) 2 , ...} B 2 = {b(2) 1 , b(2) 2 , ...} · · · = · · · Bk = {b( 1 k ), b( 2 k ), ...} · · · = · · ·

donde b( jk )es el elemento de Bk que se corresponde con j mediante una biyecci´on prefijada entre Bk y N. Pues bien, la correspondencia

b (1) 1 7 →^1 b (1) 2 7 →^2 b (2) 1 7 →^3 b (1) 3 7 →^4 b (2) 2 7 →^5 b (3) 1 7 →^6 b (1) 4 7 →^7 · · · 7 → · · ·

establece una aplicaci´on inyectiva entre ∪∞ j=1Bj y N. En el siguiente diagrama puede verse f´acilmente como se construye la correspondencia anterior:

1. Preliminares 9

b(1) 1 //b(1) 2

  ~~ ~~ ~~ ~

b(1) 3

  ~~ ~~ ~~ ~

b(1) 4

  ~~ ~~ ~~ ~

b(2) 1

oo^ o^77 ooo oooo ooo ooo

oo^ o^77 ooo oooo ooo ooo b(2) 2

  ~~ ~~ ~~ ~

b(2) 3

  ~~ ~~ ~~ ~

b(2) 4 · · ·

b(3) 1

t^ t^99 ttt ttt ttt ttt ttt ttt ttt ttt tt b(3) 2

  ~~ ~~ ~~ ~

b(3) 3 b(3) 4 · · ·

b(4) 1

w^ w^ ;^ ; www www www www www www www www www www www www www w b(4) 2 b(4) 3 b(4) 4 · · ·

De esta propiedad se deduce que el conjunto de los n´umeros racionales es tambi´en numerable, basta considerar que ese conjunto es la uni´on numerable de los conjuntos numerables disjuntos dos a dos:

B 1 =

B 2 =

B 3 =

El conjunto de los n´umeros reales no es numerable, pero eso lo veremos m´as adelante.

Pasamos ahora a hacer un estudio de ese conjunto de n´umeros y de sus propiedades.

Cap´ıtulo 1

Los n´umeros reales

Todos conocemos bien el conjunto N de los n´umeros naturales: 1, 2 , 3..., el conjunto Z de los enteros 0, − 1 , 1 , − 2 , 2 ... y el conjunto Q de los racionales, que son los pares de n´umeros enteros, en los que la segunda componente no es 0, identificando dos de tales pares (m, n) y (m′, n′) cuando nm′^ = m′n. Es habitual representar el par (m, n) en la forma mn.

Si s´olo consideramos este tipo de n´umeros la ecuaci´on x^2 = 2 no tiene soluci´on. En efecto, supongamos que existe un n´umero racional mn tal que

(m n

= 2. Podemos suponer que m y n son ambos mayores que 0, de no ser as´ı cambiamos el o los que sean menores que 0 por sus opuestos, su cuadrado va a ser el mismo, y que m y n son primos entre s´ı, es decir, mcd(m, n) = 1, de no ser as´ı cambiamos m y n por (^) mcdm(m,n) y (^) mcdn(m,n) respectivamente, y estos nuevos n´umeros enteros ya tienen esa propiedad y definen el mismo n´umero racional que mn.

Si

(m n

= 2 entonces m^2 = 2n^2 lo que nos dice que m^2 es un n´umero par y por lo tanto tambi´en lo es m, pues si suponemos que m = 2p − 1 para un cierto p ∈ N entonces

m^2 = (2p − 1)^2 = 4p^2 − 4 p + 1

y resulta que m^2 es impar y hemos visto que es par. Ahora bien, por ser m par es de la forma m = 2q y entonces (2q)^2 = 2n^2 lo que implica que n^2 = 2q^2 y por lo tanto que n^2 es par. Acabamos de ver que si el cuadrado de un n´umero es par, tambi´en es par el n´umero, luego n es par lo que es imposible al ser mcd(m, n) = 1. Llegamos entonces a un absurdo

y por lo tanto no pueden existir m y n enteros, tales que

(m n

Lo anterior muestra la necesidad de ampliar el conjunto de los n´umeros racionales y surgen as´ı los llamados n´umeros reales. Con ellos se podr´an resolver ecuaciones como la anterior.

Pero, ni siquiera con estos n´umeros se podr´an resolver todas las ecuaciones polin´omicas, incluso sencillas, como la x^2 + 1 = 0. Ello motiv´o la introducci´on de los llamados n´umeros complejos de los que hablaremos un poco m´as adelante.

12 1.1. Construcci´on axiom´atica de los n´umeros reales

Nosotros no vamos a desarrollar aqu´ı un m´etodo para construir los n´umeros reales, los construiremos de forma axiom´atica.

El conjunto de los n´umeros reales, al que denotaremos por R, es un conjunto en el que hay dos operaciones entre sus elementos, denotadas por + y ·, y llamadas adici´on y multiplicaci´on respectivamente, que verifican tres bloques de axiomas. El primero de ellos contiene nueve axiomas que lo dotan de estructura de cuerpo, el segundo consta de tres axiomas que definen en ´el una estructura de orden total y el tercero contiene un ´unico axioma que supone la existencia de supremo de cualquier conjunto acotado superiormente^1 de n´umeros reales.

1.1. Construcci´on axiom´atica de los n´umeros reales

1.1.1. Axiomas de cuerpo:

C1: Conmutatividad de la adici´on: a + b = b + a para todo a, b ∈ R.

C2: Asociatividad de la adici´on: a + (b + c) = (a + b) + c para todo a, b, c ∈ R.

C3: Existencia de elemento neutro para la adici´on: Existe un elemento en R, que denotaremos por 0, tal que a + 0 = a para todo a ∈ R. N´otese que por (C1) tambi´en 0 + a = a.

C4: Existencia de elemento opuesto para cada elemento: Para cada a ∈ R existe un elemento en R, que denotaremos por −a, tal que a + (−a) = 0. N´otese que por (C1) tambi´en −a + a = 0.

C5: Conmutatividad de la multiplicaci´on: a · b = b · a para todo a, b ∈ R.

C6: Asociatividad de la multiplicaci´on: a · (b · c) = (a · b) · c para todo a, b, c ∈ R.

C7: Existencia de elemento neutro para la multiplicaci´on: Existe un elemento en R, que denotaremos por 1, que es diferente del 0 (neutro para la adici´on), tal que a · 1 = a para todo a ∈ R. N´otese que por (C5) tambi´en 1 · a = a.

C8: Existencia de elemento inverso para la multiplicaci´on: Para cada a ∈ R, a 6 = 0, existe un elemento en R, que denotaremos por (^1) a , tal que a · (^1) a = 1. N´otese que por (C5) tambi´en (^1) a · a = 1. A veces se denotar´a por a−^1 al inverso de a.

C9: Distributividad de la multiplicaci´on respecto a la adici´on: a · (b + c) = a · b + a · c para todo a, b, c ∈ R. (^1) Los conceptos de supremo y conjunto acotado superiormente se introducir´an m´as adelante.

14 1.1. Construcci´on axiom´atica de los n´umeros reales

(ii) (−1)a = −a.

(iii) −(−a) = a.

(iv) (−1)(−1) = 1.

Demostraci´on. Sea a ∈ R. Entonces,

(i) a C =^7 a · 1 C =^3 a(1 + 0) C =^9 a · 1 + a · 0 C =^7 a + a · 0 y se sigue de (i) de la proposici´on 1. que a · 0 = 0.

(ii) 0

(i) = a · 0 C 4 = a(1 − 1) C 9 = a · 1 + a(−1) C 7 = a + a(−1) C 5 = a + (−1)a y entonces, por (i) de la proposici´on 1.1 se tiene que (−1)a = −a.

(iii) Como −a + a = 0 tenemos que a es el elemento opuesto de −a, pero ´este es −(−a), luego por la unicidad del opuesto ((i) de la proposici´on 1.1) se tiene que −(−a) = a.

(iv) (−1)(−1)

(ii) = −(−1)

(iii) = 1.



Proposici´on 1.4 Sean a, b, c ∈ R. Se verifican las siguientes afirmaciones:

(i) Si a 6 = 0 entonces (^1) a 6 = 0 y ( (^1) a )−^1 = a.

(ii) Si a + b = a + c entonces b = c.

(iii) Si ab = ac y a 6 = 0 entonces b = c.

(iv) Si ab = 0 entonces a = 0 o b = 0 (pueden ser los dos 0 ).

Demostraci´on.

(i) Si a 6 = 0 sabemos (C8) que existe (^1) a ∈ R tal que a (^1) a = 1. Si (^1) a fuese 0 entonces a (^1) a ser´ıa 0 por (i) de la proposici´on 1.3, lo que lleva al absurdo de que 1 = 0. Por otra parte, al ser (^1) a 6 = 0 existe (C8) ( (^1) a )−^1 verific´andose que (^1) a ( (^1) a )−^1 = 1. Como (^1) a a = 1 y el inverso de (^1) a es ´unico (proposici´on 1.1), necesariamente a = ( (^1) a )−^1.

(ii) b = b + 0 = b + (a − a) = (b + a) − a = (a + b) − a = (a + c) − a = (c + a) − a = c + (a − a) = c.

(iii) b = 1 · b = ( (^1) a a)b = (^1) a (ab) = (^1) a (ac) = ( (^) a^1 a)c = 1 · c = c.

(iv) Si ab = 0 y suponemos, por ejemplo, que a 6 = 0, entonces

b = 1b = (

a

a)b =

a

(ab) =

a

Por supuesto que si suponemos que b 6 = 0 el mismo razonamiento demuestra que a = 0.

1. Los n´umeros reales 15

Nota 1.5 Debe comprobarse que todas las igualdades que se han utilizado para probar (ii), (iii) y (iv) est´an justificadas, algunas por tratarse de axiomas y las otras por haberse obtenido en las proposiciones anteriores.

Nota 1.6 Dados a ∈ R y un n´umero natural n denotaremos por an^ al elemento de R definido por: an^ = a si n = 1 y an^ = aan−^1. Suele adoptarse el convenio a^0 = 1. En lugar de ( (^1) a )n^ escribiremos con frecuencia a−n.

Proposici´on 1.7 Para cualesquiera a, b, c ∈ R, siendo a 6 = 0, la ecuaci´on ax + b = c tiene como soluci´on ´unica al n´umero real x = c−a b.

Demostraci´on. Si sustituimos este valor de x en la ecuaci´on ax + b = c obtenemos que,

a(c − b)

a

• b = (ac − ab)

a

• b

= (ac

a

− ab

a

) + b

= (a

a

c − a

a

b) + b = (c − b) + b = c.

Veamos la unicidad de la soluci´on. Supongamos que y ∈ R verifica que ay + b = c, entonces,

y = 1 y = (

a

a)y =

a

(ay)

=

a

(ay + 0) =

a

(ay + b − b)

=

a

(c − b) = x.

Podemos considerar al conjunto de los n´umeros naturales N como un subconjunto de R identificando el n´umero natural n con la suma 1+ n · · ·+1, siendo 1 el elemento neutro para la multiplicaci´on de n´umeros reales. Tambi´en podemos considerar a Z como subconjunto de R identificando el 0 de Z con el elemento neutro de la adici´on de n´umeros reales y los enteros de la forma −n con el opuesto del natural n. El conjunto Q de los n´umeros racionales puede identificarse con el subconjunto de R formado por aquellos elementos de R que se puedan escribir de la forma a^1 b para alg´un a y b ∈ Z, b 6 = 0.