Angulo en posicion normal, Diapositivas de Matemáticas

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Trigonometría

Moderna

ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL

Y SUS

RAZONES TRIGONOMETRICAS

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

Es aquel ángulo trigonométrico cuyo lado inicial coincide con el

semieje positivo de las abscisas , su vértice se ubica en el origen

de coordenadas rectangulares y su lado final puede ubicarse en

cualquier cuadrante del plano cartesiano.

x

Y

Lado inicial del ángulo

en posición normal

Lado final del ángulo

en posición normal

Medida del ángulo

en posición normal

Ángulo en el 2do

Cuadrante

o

Origen de

Coordenadas

También son

llamados ∢s

en posición

canónica o

estándar.



RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

Sea “ ” un ángulo trigonométrico en posición

normal, P(x;y) un punto de su lado final y “r” (r > 0)

el radio vector de dicho punto, entonces las Razones

Trigonométricas de “ ” , se definen como sigue:

X

Y

y

x

r



r

y

Senθ  

radiovector

ordenada

r

x

Cosθ  

radiovector

abscisa

x

y

Tanθ  

abscisa

ordenada

y

x

Ctgθ 

x

r

Sec θ 

y

r

Csc θ 

P  x ; y 

1. Del gráfico:

x

y

x

y

Como:

Entonces:

Calcula todas las R.T. de

Luego:

  5 ; 12 



2 2 2

r x  y

   

r   5  12

 r  13



13

12

 

r

y

Sen 

13

 5

 

r

x

Cos 

5

12



 

x

y

Tan 

12

 5

 

y

x

Ctg 

5

13



 

x

r

Sec 

12

13

 

y

r

Csc 

3. En el gráfico:

( 4 ; 5)

Calcula:

( -4 ; -5)

Resolución.-

Trasladamos el punto (4;5) por simetría, haciendo rotaciones de

90°.

Luego:

= = =

Sen   Sec 

Senφ  Secφ

4

41

41

5







4 41

21





4 41

21



θ

( x ; y )

• ; -

TABLA DE RESUMEN DE LOS SIGNOS DE

LAS R.T. POR CUADRANTES

PRIMER

CUADRANTE

Todas las Razones

Trigonométricas

son Positivas

SEGUNDO

CUADRANTE

El SENO y la

CO-SECANTE son

Positivas, las demás

Negativas.

TERCER

CUADRANTE

La TANGENTE y la

COTANGENTE son

Positivas, las demás

Negativas.

CUARTO

CUADRANTE

El COSENO y La

SECANTE son

Positivas, las demás

Negativas.

El siguiente gráfico muestra algunos Ángulos

Cuadrantales y su medida.

x

y

90º

180º

270º

R.T. 0º, 360º 90º 180º 270º

sen 0 1 0 -

cos 1 0 -1 0

tg 0 N 0 N

cot N 0 N 0

sec 1 N -1 N

csc N 1 N -

360º

r=

90 º    1

r r

y

sen

r

90 º   /

0

r

r

y

cos 90 º    (^0) tg

r r

x 0

EJEMPLOS DE APLICACIÓN I

Ejemplo 1 :

En el gráfico mostrado, OABC es un cuadrado.

Calcula el valor de tg α.

y

x

α

A

B

M

O

C

EJEMPLOS DE APLICACIÓN I

Ejemplo 3 :

En el siguiente gráfico, determina el valor

de “5tg α”

y

x

α

(-5;3)

EJEMPLOS DE APLICACIÓN I

Ejemplo 4 :

En el gráfico mostrado, calcular el valor de

E = 25sen α + tg θ.

y

x

α

θ

(24;7)

(-4;-8)

EJEMPLOS DE APLICACIÓN I

Ejemplo 6 :

Si se sabe que , ¿a qué

Cuadrante pertenece.

EJEMPLOS DE APLICACIÓN II

Ejemplo 1 :

El lado final de un ángulo en posición normal α

pasa por el punto P (2;-3). Calcula el valor de la

siguiente expresión:

𝐀 = √

𝟏𝟑 𝐬𝐞𝐜 𝛂 + 𝐜𝐬𝐜

𝟐

𝛂

EJEMPLOS DE APLICACIÓN II

Ejemplo 3 :

Si y α es un ángulo en

posición normal, calcula el valor de la

siguiente expresión:

𝑷 = 𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝜶 +

𝟏

𝟒

𝒄𝒐𝒔 𝜶

EJEMPLOS DE APLICACIÓN II

Ejemplo 4 :

Si se sabe

Calcula el valor de