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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN
POSICIÓN NORMAL
UN POCO DE HISTORIA.
Fue Renato Descartes (1 596 – 1 650) quien, al publicar en 1 637 su obra La Géometrie , puso los cimientos de la Geometría Analítica. Es por ello que a veces, en memoria de su fundador, la denominan Geometría Cartesiana que en resumidos cuentos vendría a ser el estudio de la geometría mediante un sistema de coordenadas que lleva asociada un álgebra. La Trigonometría , en su origen, se desarrollo en conexión con el estudio de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. El presente capítulo esta dedicado a aquellas partes de la trigonometría que tratan con la geometría del plano cartesiano. No obstante cometeríamos un grave error limitando el estudio de la trigonometría a su aplicación a triángulos. Sus aplicaciones son más extensas en muchos campos teóricos y prácticos como por ejemplo en el estudio de ondas; vibraciones; corrientes alternas; los sonidos; etc.
NOCIONES PREVIAS.
SISTEMAS DE COORDENADAS RECTANGULARES
Donde: x : Eje de Abscisas y : Eje de Ordenadas IC : Primer Cuadrante IIC : Segundo Cuadrante IIIC : Tercer Cuadrante IVC : Cuarto Cuadrante O : Origen del Sistema
Ubicación de un punto
Donde: P : Punto del Sistema Bidimensional a : Abscisa del Punto P b : Ordenada del Punto P (a; b): Coordenadas del Punto P
y
a x
b
P(a; b)
IIIC^ –^ IVC
IIC y IC
x O
IEP Nuestra Señora de Lourdes
Piura - Perú
Radio vector.
Es el segmento de recta dirigido (flecha) que parte del origen hacia un punto cualquier del sistema; su longitud o módulo esta representado por “r”.
Donde: r: Longitud del Radio Vector
r
Ángulo en posición normal.
Es aquel Ángulo Trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema bidimensional y su lado inicial descansa en el semieje positivo de las abscisas, mientras que su lado final puede encontrarse en cualquiera de los cuadrantes o coincidir con algún semieje en cuyo caso es llamado ángulo cuadrantal.
Donde: , son las medidas de los ángulos en posición normal mostrados.
L.I.: Lado Inicial L.F.: Lado Final
Del siguiente gráfico definiremos las Razones Trigonométricas para un ángulo en posición normal los cuales son independientes del sentido de giro o el número de vueltas que pudiera realizar.
r^2 = a^2 + b^2
|a|^2 = a^2
También son llamados ∢ s en posición canónica o estándar.
y
x
(x; y)
r (^)
r
y M.R.V.
sen Ordenada y
r Ordenada csc M.T.V.
r
x M.R.V. cos Abscisa x
r Abscisa sec M.R.V.
x
y Abscisa
tg Ordenada y
x Ordenada
cot Abscisa
y
x
| b |
| a |
(a; b)
r
x
y
1. Del gráfico calcular:E 11 cos 6 2 tg
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2. Del gráfico calcular:E 5 sec 4 cot
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
3. Del gráfico calcular: E = cot - cot Si: ABCD es un cuadrado
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
4. Del gráfico calcular “tg” Si: ABCD es un cuadrado
a) -0, b) -0, c) -0, d) -0, e) -0,
5. Por el punto P ( 2 ; 5 )pasa el lado final de un
ángulo en posición normal cuya medida es “”. Calcular: “sec”
a) -1/2 b) -2/3 c) -3/ d) -4/3 e) -3/
6. Por el punto Q( 2 ; 7 ) pasa el lado final de un ángulo en posición canónica cuya medida es “”. Calcular: “ 7 csc”.
a) 1 b) 2 c) 3 d) -3 e) -
7. Si:sen 32 IIIC
Calcular:E^ ^5 (tgsec)
a) -1 b) -2 c) - d) 2 e) 3
8. Si: IVC 2 cot ^3
Calcular:E 21 sec 7 sen
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
9. Indicar el signo de cada expresión: I. sen100º cos200º II. tg190º cot320º III. sec200º csc350º
a) +, +, + b) -, -, - c) +, +, - d) -, -, + e) +, -, -
10. Indicar el signo de cada expresión: I. sen200º tg200º II. cos100º cot100º III. sen100º cos300º
a) +, +, + b) -, -, - c) -, +, + d) +, -, - e) +, -, +
11. A que cuadrante pertenece “” si: tg < 0 cos > 0
a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC e) IC IIC
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
x
y
x
y B C
D
A
x
y
B(-1; 2) C(2; 2)
A
D
x
y
( 3 ; 2 )
12. A que cuadrante pertenece si: sen < 0 sec < 0
a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC e) IIC IIIC
13. Del gráfico calcular: E = tg. tg (AB = BC)
a) 1 b) 2 c) 3 d) - e) -
14. Del gráfico calcular “cot”
a) 3/ b) 4/ c) 5/ d) -3/ e) -4/
15. Del gráfico calcular: E = 3sec^2 - tg
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
TAREA DOMICILIARIA Nº 1
1. Del gráfico calcular E = 25sen + tg
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
2. Del gráfico calcular “tg”
a) - b) - c) - d) - e) -
3. Del gráfico calcular: M = sen - 2cos + 3tg
a) - b) - c) - d) - e) -
4. Del gráfico calcular:M 5 (sencos)
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
5. Del gráfico calcular “tg” Si: AOB Equilátero 2AN = BN
a) 2 / 2 b) 3 / 3 c) 2 / 3 d) 3 / 2
e) 2
^3
6. Del gráfico calcular: “tg + sec^2 ” MN = 2NP
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
x
y
A
B
C
x
y
x
y
x
y
x
y (1-x; 2x)
x
y 4
x
y
x
y
O^
A
N
B
x
y
M
P
N
