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Σ ángulos internos = 180° * (n-2)
LEVANTAMIENTO POR ANGULOS INTERNOS
Se utiliza en medición de terrenos de poca extensión. El polígono se recorre en sentido contrario a las agujas del reloj. El motivo es que el ángulo formado por dos líneas es aquel que partiendo de la línea de atrás se mide en el sentido del reloj hacia la alineación de adelante. EJEMPLOS ANGULOS INTERNOS EST PO Distancia Angulo Interno 0 1 241 97°08’ 194°16’ 1 2 231 116°42’ 233°25’ 2 3 245.90 110°50’ 221°40’ 3 4 248.40 100°35’ 201°10’ 4 0 258. 30 114°47’ 229°33’ Azimut 0-1 = 347°22’ El levantamiento hecho para este ejemplo, puede ser tal y como se ve en la practica de campo de topografía 1, Facultad de Ingeniería. Determinemos el error Angular El levantamiento se hizo con tránsito de 1’ de aproximación, y cinta de acero de 50 m, por el método de medida directa de ángulos (ángulos internos). Cuando se trata de ángulos Internos debe de cumplir con la siguiente condición geométrica: Donde: n = Número de lados del polígono Sin embargo, es casi imposible que al medir un polígono obtengamos esta condición, por lo tanto entramos a considerar los errores angulares y la tolerancia de la medición, que también la conocemos como ep o error permisible.
Ea =Σ ángulos observados - 180° * (n-2)
Ta = ± a √n
De acuerdo a lo anterior se tiene: Ea = Σ ángulos observados - Σ ángulos internos Ea = Σ ángulos observados - 180° * (n-2) Donde: Ea = Error angular Ángulos observados = son los ángulos medidos en el campo. La tolerancia angular se calcula aplicando la siguiente formula: Donde: Ta = tolerancia angular a = aproximación del aparato Analizando los datos del problema tenemos lo siguiente: Condición geométrica: Σ ángulos internos = 180° * (n-2) = 180° * ( 5 - 2) Σ ángulos internos = 180° * (5-2) Σ ángulos internos = 540° Error angular: Ea = Σ ángulos observados - Σ ángulos internos Σ ángulos observados = 97°08’ + 116°42’ + 110°50’ + 100°35’ + 114°47’ Σ ángulos observados = 540°02’ Ea = 540°02’ – 540° Ea = 02’ El resultado fueron 02’ (dos minutos) de error. Tenemos que comparar con la tolerancia angular, o lo que es lo mismo con el Error permisible. Ta = ± a √n Ta = ± 1’ * √ 5 Ta = 2.236’ Por lo tanto, al comparar tenemos: Ea < Ta Continuar con la corrección angular.
EST PO Distancia Angulo Interno 0 1 241 97°7’3 6 ” 1 2 231 116°41’3 6 ” 2 3 245.90 110°49’3 6 ” 3 4 248.40 100°34’3 6 ” 4 0 258.30 114°46’3 6 ” Azimut 0-1 = 347°22’ Encontrando el azimut de cada línea: El azimut de salida de la línea 0-1 es de 347°22’ El azimut de 1-0 = azimut inverso de 0- 1 Azimut 1-0 = 347°22’ – 180° = 167°22’ Azimut 1-0 = 167°22’
Para calcular el azimut de 1-2, tenemos: En la figura se aprecia que el azimut 1-2 se puede encontrar sumando el azimut 1-0 + el ángulo interno de 1, por lo tanto: Azimut 1-2 = 167°22’ + 116°41’36” Azimut 1-2 = 284°03’36” Azimut 1-2 = 284°03’36” Para calcular el azimut de 2-3, tenemos: En la figura se aprecia que el azimut 2 - 3 se puede encontrar sumando el azimut 2 - 1 + el ángulo interno de 2 , por lo tanto: Azimut 2-1= 284°03’36” – 180° = 104°03’36” Azimut 2 - 3 = 104°°03’36” + 110° 49 ’36” Azimut 2 - 3 = 214°53’12” Azimut 2 - 3 = 2 1 4° 5 3’ 12 ” Para calcular el azimut de 3-4, tenemos:
CASO 2
APLICANDO CORRECCION ANGULAR A CADA CIERTO NUMERO n’ DE ESTACIONES Para Este caso tendríamos: EST PO Distancia Angulo Interno 0 1 241 97°08’ 1 2 231 116°42’ 2 3 245.90 110°50’ 3 4 248.40 100°35’ 4 0 258.30 114°47’ Azimut 0-1 = 347°22’ Como el error angular es de 2 minutos, dividimos el número de estaciones dentro del error angular: n’ = 5/2’ n’ = 2. Significa que tenemos que corregir cada 2 estaciones, porque tomamos el valor entero anterior, es decir dos. Si hubiera resultado 2.6 por ejemplo, tomaríamos 3. EST PO Distancia Angulo Interno 0 1 241 97°08’ 1 2 231 116°42’ 2 3 245.90 110°50’ 3 4 248.40 100°35’ 4 0 258.30 114°47’ En este caso tendríamos que corregir el ángulo interno de 2 y el ángulo interno de 4, sin embargo, como vimos en clase, sabemos que la estación 0 tiene un error angular, y sin ningún problema podemos corregir ese ángulo. Tenemos que repartir 1 minuto a cada ángulo para sumar los 3 minutos de error, por lo tanto la tabla corregida será la siguiente: EST PO Distancia Angulo Interno 0 1 241 97°08’ 1 2 231 116°41’ 2 3 245.90 110°50’ 3 4 248.40 100°35’ 4 0 258.30 114°46’ La figura siguiente nos muestra los ángulos interiores corregidos:
Encontrando el azimut de cada línea: El azimut de salida de la línea 0-1 es de 347°22’ El azimut de 1-0 = azimut inverso de 0- 1 Azimut 1-0 = 347°22’ – 180° = 167°22’ Azimut 1-0 = 167°22’ Para calcular el azimut de 1-2, tenemos: En la figura se aprecia que el azimut 1-2 se puede encontrar sumando el azimut 1-0 + el ángulo interno de 1, por lo tanto: Azimut 1-2 = 167°22’ + 116°41’ Azimut 1-2 = 284°03’ Azimut 1-2 = 284°03’
Para calcular el azimut de 4-0, tenemos: En la figura se aprecia que el azimut 4-0 se puede encontrar restando del ángulo interno 4 el rumbo 4 - 3 (sale de la resta de 360° - 315°28’), por lo tanto: Azimut 4 - 3 = 135°28’ + 180° Azimut 4-3 = 315°28’ Azimut 4 - 0 = 114°46’ – (360°-315°28’) Azimut 4-0 = 114°46’ – 44°32’ Azimut 4 - 0 = 70°14’ Azimut 4-0 = 70°14’ Ahora nos queda dejar la libreta final con ángulos corregidos EST PO Distancia Azimut 0 1 241 347°22’ 1 2 231 284°03’ 2 3 245.90 214°53’ 3 4 248.40 135°28’ 4 0 258.30 70°14’ SI COMPARAMOS LOS RESULTADOS VEREMOS QUE NO HAY MUCHA DIFERENCIA, LA CUAL NO AFECTARÁ LOS CÁLCULOS POSTERIORES. COMPARACION DE LIBRETAS: CASO 1 CASO 2 EST PO Distancia Azimut EST PO Distancia Azimut 0 1 241 347°22’00” 0 1 241 347°22’ 1 2 231 284°03’36” 1 2 231 284°03’ 2 3 245.90 214°53’12” 2 3 245.90 214°53’ 3 4 248.40 135°27’48” 3 4 248.40 135°28’ 4 0 258.30 70°14’24” 4 0 258.30 70°14’
COMPAREMOS LOS DIBUJOS O CROQUIS DE CADA LIBRETA
AHORA NOS QUEDA CORREGIR ESE ERROR LINEAL Y CALCULAR EL AREA POR MEDIO
DEL METODO DE PENNSYLVANIA.
PARA EL CASO 1
Coordenadas Parciales Latitudes Longitudes Norte (+) Sur (-) Este (+) Oeste (-) 235.1653144 - 52. 56.11864429 - 224.
- 201.7081 - 140.
- 175.278 172. 83.9793152 233. suma 375.263274 - 376.986 406.239262 - 417. 375.2632739 376.98603 406.2392618 417. diferencias 1.722758321 11.19 348472 potencias 2.967896233 125. E. cierre = 11. E. unitario= 0.009248147 (^) menor o igual 0. Se puede observar que el error unitario es mayor que la tolerancia, por lo tanto, no se debe continuar y se tendrá que realizar de nuevo la medición lineal. Sin embargo a manera de ejemplo se continuará. Entramos a corregir cada una de las proyecciones en las latitudes y las longitudes, se puede ver que la sumatoria de sures es mayor a la de nortes, y que la sumatoria de oestes es mayor que los estes, por lo tanto sumar la corrección a los nortes y estes, y restarla de los sures y oestes.
valor de corrección Coord compensadasenadas^ parciales Coordenadas Totales dif lat dif long latitudes longitudes Y X 0.5385621 0.716306039 235.70388 - 51.99304 235.70388 - 51. 0.1285197 3.04518342 56.247164 - 221.0345 291.95104 - 273. 0.4619403 1.911311149 - 201.2461 - 138.7324 90.7049 - 411. 0.4014115 2.34 - 174.8765 174.81 - 84.17164 - 236. 0.192 3246 3.176919601 84.17164 236.95039 0 0 compensar proporcionalmente a (^) área total coordenadas parciales por coordenadas totales latitudes dif lat 1.7227583 SUM(YX) - 206060 suma aritm 752.24931 SUM(XY) - 5285. factor 0.00229014 2*A = - 200774. área total - 100387. longitudes dif long 11.193485 área total 100387.1 m Suma Arit. 823. factor *0. lat. Compen long. Comp Dobles Distancias * DDM DDE Ecuador Meridiana (+) (-) (+) (-) 235.70388 - 51.99304 - 12254.96 - 12254. 527.65492 - 325.0206 - 18281.48 - 116629. 382.65594 - 684.7875 137810.84 - 53086. 6.53326 - 648.7103 113444.22 1,142.
- 84.17164 - 236.9504 - 19944.5 - 19944. Sumatoria 251255.1 - 50480.9 1142.076 - 201916 2A = 200774.11 2A= - 200774. A= 100387.1 M2 A= 100387.1 M Como se puede observar el área final es igual al calcularla por coordenadas totales, es decir con el método matricial, con respecto a las dobles distancias, tanto al meridiano como al ecuador. Por lo tanto el resultado esta bien.
VOLVER A REALIZAR EL EJEMPLO Y VERIFICAR LOS ERRORES EN DISTANCIA, SI
ENCUENTRA ALGUN ERROR DE CALCULO, ARREGLE EL DATO-
EJERCICIO
EST PO DISTANCIA ANGULO INTERNO
AZIMUT 0-1 = 255°57’
CALCULO CON DEFLEXIONES
DEFLEXIONES
EST PO Distancia Deflexión 0 1 169.90 74°43’ I 1 2 129.00 82°51’ I 2 3 117.40 66°46’ I 3 4 135.40 60°10’ I 4 0 124.60 75°32’ I Azimut 0-1 = 89°09’ La forma de calcular es exactamente igual al método anterior, solo cambia la forma de encontrar el azimut de cada línea, y eso depende de las deflexiones y el azimut de la línea anterior.
