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ÁNGULOS
Imagina que quieres calcular la dirección que debes darle a una pelota de golf para meterla en el hoyo, o la pendiente adecuada para la instalación de una canal de recolección de agua de lluvia, o simplemente quieres construir una rampa para correr unos carritos de juguete. Debes conocer las características y formas de medir y calcular ángulos.
Ángulos y pares de ángulos
Objetivos de aprendizaje
Entender e identificar ángulos complementarios. Entender e identificar ángulos suplementarios. Entender y utilizar el postulado de ángulos adyacentes. Entender e identificar ángulos opuestos por el vértice.
En esta lección aprenderás sobre pares de ángulos especiales y probarás uno de los teoremas más útiles en geometría, el teorema de ángulos opuestos por el vértice.
Angulo.
Considera en un plano dos semirrectas y de origen común P. Un ángulo es el giro que hace coincidir la semirrecta con la semirrecta manteniendo fijo el punto P. En este caso la semirrecta se ha girado en el sentido contrario de las agujas del reloj (sentido anti horario), el cual se considera como positivo, haciéndola coincidir con la semirrecta.
Se representan como PAB o con letras griegas ( , , )
P
B
A
Medida de ángulos
Medir un ángulo es determinar la amplitud del giro. Para esto se utiliza un instrumento llamado transportador. Se denota m ( ) y se lee la medida del ángulo OPQ.
O
O O
P
Q P Q P Q
Tres ángulos con diferentes amplitudes de giro.
Ángulos especiales
Un ángulo cuya medida es igual a 90° se denomina ángulo recto. Dos rectas que se intersectan formando un ángulo recto son rectas perpendiculares entre si y se representan con un cuadrado pequeño en el punto de intersección de las rectas.
Un ángulo cuya medida es igual a 180° se denomina ángulo llano.
Un ángulo menor que 90° y mayor que 0° se denomina ángulo agudo.
Un ángulo mayor que 90° y menor que 180° se denomina ángulo obtuso.
Ángulos complementarios
Un par de ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90°. Los ángulos complementarios no tienen que ser congruentes entre sí. Lejos de eso, la única cualidad que los define es que la suma de sus medidas es igual a la medida del ángulo recto: 90°. Si los rayos externos de dos ángulos adyacentes forman un ángulo recto, entonces los ángulos son complementarios.
EJERCICIOS RESUELTOS
- Los ángulos de abajo son complementarios si m ( ) = X,
determina el valor de X.
Como sabes la suma de los dos ángulos debe ser 90°, se plantea la ecuación:
Respuesta: X= 56°
- Los ángulos a continuación son complementarios. ¿Cuánto mide cada uno?
Este problema es un poco más complicado que el primero. De todas formas, los conceptos siguen siendo los mismos. Si tú sumas ambos ángulos, su resultado será. De esta manera, puedes plantear una ecuación algebraica con los valores
presentados.
r= 5 El valor de r= 5 se sustituye en las expresiones (7r + 6)= (7.5+6)= (8r + 9)= (8.5+9)= Luego la m( ) =41° y la m( )=49° La suma de los dos ángulos debe ser igual a 90° porque son complementarios 41+49=90°
Respuesta: 41° y 49°
- Los ángulos ( ) y ( ) son suplementarios, si m ( )=78° ¿cuánto vale m ( )?
Este procedimiento es muy directo. Ya que sabes que la suma de los dos ángulos debe dar 180°, ya puedes plantear una ecuación. Usa una variable para representar el ángulo desconocido y luego despéjala. En este caso, sustituyamos Y por m ( ).
Luego m ( )= 102°
Respuesta: 102°
4. ¿Cuánto miden dos ángulos congruentes
que sean también suplementarios?
No tenemos un diagrama que nos ayude a visualizar este escenario, así que tendrás que imaginar los ángulos (o aún mejor, ¡trata de dibujar por ti mismo traduciendo estas palabras en una imagen!). Dos ángulos suplementarios deben sumar 180°. Los ángulos congruentes deben medir lo mismo. Ahora, lo que tú tienes que hacer es encontrar dos ángulos congruentes que sean suplementarios. Puedes dividir 180 entre dos para encontrar el valor de cada ángulo. 180 2=
Respuesta: Cada ángulo congruente y suplementario medirá 90°. En otras palabras, serán ángulos rectos.
- ¿Determina cuánto mide cada ángulo en la siguiente figura?
Si sumas ambos ángulos, el resultado será
180°. Entonces, puedes plantear una ecuación
algebraica con los valores presentados.
La mejor manera de resolver este problema es
despejar q de la ecuación de arriba. Luego,
debes sustituir el valor de q de nuevo en las
expresiones originales para encontrar el valor
de cada ángulo.
q=
Sustituyendo el valor q=9 en
3q=3(9) (15q+18)=15.9+ 3q=27 =135+ =
Respuesta: Los dos ángulos miden 27° y 153° respectivamente, son adyacentes y suplementarios, se verifica sumándolos
27+153=180°
- Hallar la medida de un ángulo, sabiendo que su complemento y suplemento suman 208◦
Sea x la medida del ángulo pedido. Entonces, según el enunciado (90◦ − x) + (180◦ − x) = 208◦. Entonces 270◦ − 2x = 208◦ ) de donde 2x = 62◦ y de allí x = 31◦
Respuesta: X=31°
- (^) Dada la recta y un punto O sobre ella, a un mismo lado se trazan las semirrectas y , tal que sea interior al ∠P OB y m (∠AOP) = 54◦. Hallar la medida de ∠AOB si ∠QOB es el suplemento del triple de ∠BOA.
B.
A.
P. O. Q.
Según el enunciado:
∠P OA + ∠AOB + ∠BOQ = 180◦ Entonces 54◦ + x + (180◦ − 3x) = 180◦ de donde se obtiene que x = 27◦
Respuesta: X= 27°
Profesor Danesa Padilla Versión 2015 - 05 - 13
Glosario
Angulo Es la medida del arco entre dos semirrectas al girar una con respecto a la otra desde un punto fijo.
Cuando miden menos de 90° son ángulos agudos.
Cuando miden 90° son ángulos rectos.
Cuando miden más de 90° y menos de 180° son ángulos obtusos.
Cuando miden 180° son ángulos llanos.
Según su posición dos ángulos que tienen un lado común y los otros lados están en la misma recta son ángulos adyacentes.
Cuando dos ángulos suman 90° son complementarios.
Cuando suman 180° son suplementarios.
Cuando los lados de uno son las prolongaciones del otro son opuestos por el vértice.
Cuando tienen el vértice y un lado común y no se superponen son consecutivos
Otras Referencias
http://www.profesorenlinea.cl/geometria/angulos_ejercicios.html
http://www.mateslibres.com/geometria/geometria_identificar_angulos_todos_ 001.html
