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C D A B C D AC AC D BC AC D + BC A + C B + 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
Álgebra
booleana
5.1 Introducción
5.2 Expresiones booleanas
5.3 Propiedades de las expresiones booleanas
5.4 Optimización de expresiones booleanas
5.5 Compuertas lógicas
5.6 Aplicaciones del álgebra booleana
5.7 Resumen
5.8 Problemas
CAPÍTULO
V
C C + D F
1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1
A B C D A B C D AC AC D BC A 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1
Objetivos
- Aprender a simplificar expresiones booleanas usando teoremas del álgebra booleana.
- Aprender a simplificar expresiones booleanas por medio de mapas de Karnaugh.
- Representar expresiones booleanas por medio de bloques lógicos.
Boole interpretó su sistema a la manera aristotélica, como un álgebra de clases y de sus propiedades, y al hacerlo amplió la antigua lógica de clases y la liberó de los límites del silogismo.
Martin Gardner
177
5.2 E XPRESIONES BOOLEANAS 179
Los sensores pueden ser “ópticos”, como los que se usan en tiendas de- partamentales (de proximidad); “magnéticos”, como los que permiten detectar armas en aeropuertos; de “temperatura”, como los que utiliza un sistema de calefacción, los refrigeradores o bien el mismo termostato que controla el sistema de enfriamiento del motor de un vehículo; de “nivel”, ya que un flotador como el que tiene un tinaco o una cisterna para contro- lar la cantidad de agua, es un sensor que puede mandar información a un circuito de control.
En cada uno de estos grupos de sensores existen tipos, tamaños y mode- los, de acuerdo con el uso y funcionamiento, de forma que existen infra- rrojos, láser, fotoeléctricos y de ultrasonido, entre otros.
Para resolver un problema práctico en el cual se desea automatizar un proceso, es necesario realizar un análisis detallado de lo que se quiere lograr así como de los tipos de sensores necesarios para obtener las seña- les. Una vez que se conoce esto se plantea el funcionamiento del circuito lógico en una expresión matemática, la cual recibe el nombre de función booleana, y cada una de las variables de que está integrada esta fun- ción representa un sensor que provee al circuito de una señal de entrada.
Claude Elwood Shannon (1916-2001) Ingeniero eléctrico y matemático esta- dounidense, es considerado como el fun- dador de la teoría de la información. En 1936 obtuvo los títulos de ingenie- ro electricista y matemático, y ese mismo año comenzó a desempeñarse como asis- tente de investigación en el departamen- to de ingeniería eléctrica en el Instituto de Tecnología de Massachusetts (MIT), en donde trabajó en el computador analó- gico más avanzado de ese tiempo (Van- nevar Bush’s Differential Analyzer). En esta época surgió su interés por los circuitos de relevadores complejos e intentando simplificar sistemas telefóni- cos de relés se dio cuenta de que éstos podían usarse para hacer cálculos. Com- binando esto con su gusto por la lógica y el álgebra booleana pudo desarrollar esta idea durante el verano de 1937, que pasó en los laboratorios Bell en la ciudad de Nueva York. En su tesis de maestría demostró que el álgebra booleana se podía utilizar en el análisis y la síntesis de la conmutación de los circuitos digitales. La tesis despertó mucho interés cuando apareció en 1938 en las publicaciones especializadas, y un cuarto de siglo más tarde H. H. Goldstine la citó en su libro “Las computadoras desde Pascal hasta Von Neumann” y la calificó como una de las aportaciones teó- ricas fundamentales que ayudó a cambiar el diseño de los circuitos digitales. Shannon pasó quince años en los labo- ratorios Bell y durante este período traba- jó en muchas áreas, siendo lo más notable todo lo referente a la teoría de la informa- ción, un desarrollo que fue publicado en 1948 bajo el nombre de “Una Teoría Matemática de la Comunicación”. En este trabajo demostró que todas las fuen- tes de información (telégrafo eléctrico, teléfono, radio, la gente que habla, las cámaras de televisión, etc.) se pueden medir y que los canales de comunicación tienen una unidad de medida similar. Mostró también que la información se puede transmitir sobre un canal si, y sola- mente si, la magnitud de la fuente no excede la capacidad de transmisión del canal que la conduce, y sentó las bases para la corrección de errores, supresión de ruidos y redundancia. En el área de las computadoras y de la inteligencia artificial, en 1950 publicó un trabajo que describía la programación de una computadora para jugar al ajedrez, convirtiéndose en la base de posteriores desarrollos. Claude Elwood Shannon falleció el 24 de febrero del año 2001, a la edad de 84 años, después de una larga lucha en con- tra de la enfermedad de Alzheimer.
Ejemplo 5.1. Supóngase que en una industria refresquera se desea que un sistema automático saque de la banda de transpor- tación un refresco que no cumple con los requisitos mínimos de calidad, y que para esto se cuenta con cuatro sensores en dife- rentes puntos del sistema de transportación para revisar aspectos importantes de calidad. Supóngase además que los sensores son A, B, C y D y que el sistema F sacará al refresco si los sensores emiten el siguiente grupo de señales:
A B C D F
180 V. Á LGEBRA BOOLEANA
La función booleana que equivale a la tabla de verdad anterior es:
F = A′B′C′D + A′B′CD + AB′C′D + AB′CD + AB′CD′
Esto implica que el refresco será extraído de la banda de transpor- tación en cualquiera de los siguientes casos, ya que para cualquie- ra de ellos se tiene que F = 1:
A = 0, B = 0, C = 0, D = 1 A = 0, B = 0, C = 1, D = 1 A = 1, B = 0, C = 0, D = 1 A = 1, B = 0, C = 1, D = 1 A = 1, B = 0, C = 1, D = 0
La función booleana indica solamente los casos en donde el refres- co será extraído, pero existen varios casos más en donde se deja- rá pasar porque cumple con los requisitos mínimos de calidad.
Se puede decir que en general una expresión booleana es un sistema de símbolos que incluyen 0, 1, algunas variables y las operaciones lógicas.
5.3 Propiedades de las expresiones booleanas
Las expresiones booleanas poseen las siguientes propiedades:
a) Están compuestas de literales (A, B, C, ...) y cada una de ellas representa la señal de un sensor. Un ejemplo es F = A′BD + AB′CD. b) El valor de las señales o de la función sólo puede ser 0 o 1, falso o verdadero. c) Además de literales, en la expresión booleana se puede tener el valor de 0 o 1. Por ejemplo: F = A′BD1 + AB′CD + 0.
El álgebra booleana es un sistema al- gebraico que consiste en un conjunto B que contiene dos o más elementos y en el que están definidas dos opera- ciones, denominadas respectivamen- te “suma u operación OR” (+) y “producto u operación AND” (), las cuales satisfacen las siguientes pro- piedades:
1) Existencia de neutros. En B exis- ten el elemento neutro de la suma (0) y el elemento neutro del pro- ducto (1), tales que para cualquier elemento x de B: x + 0 = x x 1 = x
2) Conmutatividad. Para cada x, y en B: x + y = y + x x y = y x
3) Asociatividad. Para cada x, y, z en B: x + (y + z) = (x + y) + z x (y z) = (x y)z
4) Distributividad. Para cada x, y, z en B: x + (y z) = (x + y) (x + z) x (y + z) = (x y) + (x z)
5) Existencia de complementos. Para cada x en B existe un elemen- to x′, llamado complemento de x, tal que: x + x′ = 1 x x′ = 0
Álgebra booleana
182 V. Á LGEBRA BOOLEANA
5.4 Optimización de expresiones booleanas
Cuando se plantea un problema, en general la expresión booleana obteni- da no necesariamente es la óptima, esto es, la más fácil, clara y sencilla de implementar utilizando compuertas lógicas. La expresión que resulta del planteamiento del problema puede ser simplificada empleando para ello teoremas y postulados del álgebra booleana o bien mapas de Karnaugh.
5.4.1 Simplificación de expresiones booleanas mediante
teoremas del álgebra de Boole
Los teoremas que se van a utilizar se derivan de los postulados del álgebra booleana, y permiten simplificar las expresiones lógicas o transformarlas en otras que son equivalentes. Una expresión simplificada se puede imple- mentar con menos equipo y su circuito es más claro que el que correspon- de a la expresión no simplificada.
A continuación se presenta una lista de teoremas, cada uno con su “dual”.
En esta tabla A representa no sólo una variable, sino también un término o factor, o bien una expresión.
Para obtener el “dual” de un teorema se convierte cada 0 (cero) en 1 (uno) y cada 1 (uno) en 0 (cero), los signos más (+) se convierten en paréntesis,
Tabla 5.1 Teoremas del álgebra de Boole
Número Teorema Dual 1a. 0A = 0 1 + A = 1 2a. 1A = A 0 + A = A 3a. AA = A A + A = A 4a. AA′ = 0 A + A′ = 1 5a. AB = BA A + B = B + A 6a. ABC = A(BC) A + B + C = A + (B + C) 7a. (AB...Z)′ = A′ + B′ +...+ Z′ (A + B +...+ Z)′ = A′B′...Z′ 8a. AB + AC = A(B + C) (A + B)(A + C) = A + BC 9a. AB + AB′ = A (A + B)(A + B′) = A 10a. A + AB = A A(A + B) = A 11a. A + A′B = A + B A(A′ + B) = AB 12a. CA + CA′B = CA + CB (C + A)(C + A′ + B) = (C + A)(C + B) 13a. AB + A′C + BC = AB + A′C (A + B)(A′ + C)(B + C) = (A + B)(A′ + C)
puntos o simplemente no se ponen, y los puntos en signos más (+). Además de esto, las variables no se complementan ya que al hacerlo se obtendría el complemento en lugar del dual.
Por otro lado, los teoremas 1 a 4 se aplican en cualquier caso y los teore- mas 5 a 9 son propiedades que tiene el álgebra booleana, semejantes a las reglas de conjuntos correspondientes a las propiedades conmutativa, asociativa y de De Morgan. Por lo general los teoremas 11 a 13 se aplican en combinación, dependiendo de la expresión booleana.
La aplicación de los teoremas es muy sencilla: simplemente se comparan partes de la expresión con los teoremas que permitan hacer más simple la expresión, y esto se realiza hasta que ya no sea posible simplificar.
Ejemplo 5.2. Para simplificar la expresión booleana
F = A′B + (ABC)′ + C(B′ + A)
los teoremas de la tabla 5.1 se aplican de la siguiente manera:
F = A′B + (ABC)′ + C(B′ + A) F = A′B + A′ + B′ + C′ + C(B′ + A) Después de aplicar 7a. F = A′B + A′ + B′ + C′ + CB′ + CA Por 8a a la inversa F = A′B + A′ + B′ + CB′ + C′ + CA Por 5a. F = A′(B + 1) + B′(1 + C) + C′ + CA Por 8a. F = A′ 1 + B′ 1 + C′ + CA Por 1b. F = A′ + B′ + C′ + CA Por 2a. F = A′ + B′ + C′ + A Por 11a. F = (A + A′) + B′ + C′ Por 5a. F = (1 + B′) + C′ Por 4b. F = 1 + C′ Por 1b. F = 1 Por 1b.
La expresión booleana en su forma más simple es F = 1, y este resultado indica que si se sustituyen las diferentes combinaciones con los valores binarios 0 o 1 de las variables A, B y C en la expresión inicial, entonces el resultado será siempre igual a 1 (lo que se conoce en lógica matemática como tautología).
5.4 O PTIMIZACIÓN DE EXPRESIONES BOOLEANAS 183
F = B′(D + D′AC)
F = B′(D + AC)
F = B′D + AB′C
Es conveniente mencionar que con las funciones booleanas se pueden elaborar circuitos equivalentes tanto con la función booleana simplificada como con la que se obtuvo inicialmente, sin embargo el circuito lógico de la función booleana sin simplificar será más grande, complejo y usará más equipo electrónico en su implementación.
5.4.2 Simplificación de expresiones booleanas usando mapas
de Karnaugh
El método del mapa de Karnaugh es un procedimiento simple y directo para minimizar las expresiones booleanas, y fue propuesto por Edward W. Veitch y modificado ligeramente por Maurice Karnaugh.
El mapa representa un diagrama visual de todas las formas posibles en que se puede plantear una expresión booleana en forma normalizada. Al reconocer varios patrones se pueden obtener expresiones algebraicas alternas para la misma expresión, y de éstas se puede escoger la más simple, la cual en general es la que tiene el menor número de variables además de que esta expresión posiblemente no sea única.
Las tablas o mapas se dividen en cierto número de casillas, dependiendo de la cantidad de variables que intervengan en la expresión. El núme- ro de casillas se puede calcular con la fórmula
número de casillas = 2 n
en donde n es el número de variables. Así a una expresión de 2 variables le corresponderá un mapa de 4 casillas, a una de 3 variables un mapa de 8 casillas y así sucesivamente.
Un minitérmino es aquel que forma parte de la expresión y que se puede escribir de la manera más simple formando lo que se conoce en álgebra elemental como un monomio.
Por ejemplo, la expresión
F = X′Y + XY
consta de dos minitérminos, X′Y y XY, y como se muestra a continuación en las casillas respectivas de la tabla correspondiente se pone un 1 si el minitérmino se encuentra en la expresión o un 0 si no está:
5.4 O PTIMIZACIÓN DE EXPRESIONES BOOLEANAS 185
Maurice Karnaugh
F ue Ingeniero de telecomunicaciones estadounidense graduado en la universi- dad de Yale en 1952 y director emérito del ICCC (International Council for Com- puter Communication). Trabajó como investigador en los Laboratorios Bell des- de 1952 a 1966 y en el centro de investi- gación de IBM de 1966 a 1993, desde 1975 es miembro del IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) por sus aportaciones sobre la utilización de métodos numéricos en las telecomunica- ciones y es el creador del método tabular o mapa de Karnaugh. Un mapa de Karnaugh (también cono- cido como tabla de Karnaugh o diagrama de Veitch, abreviado como K-Mapa o KV- Mapa) es un diagrama utilizado para la minimización de funciones algebraicas booleanas y consiste en una serie de cua- drados cada uno de los cuales representa una línea de la tabla de verdad. Puesto que la tabla de verdad de una función de N variables posee 2N filas, el mapa K correspondiente debe poseer también 2N cuadrados. Cada cuadrado contiene un 0 o un 1, dependiendo del valor que toma la función en cada fila. Las tablas de Kar- naugh se pueden utilizar para funciones de hasta 6 variables.
186 V. Á LGEBRA BOOLEANA
Y X 0 1
0 0 1
1 0 1
Para simplifi car la expresión, en la tabla se agrupan los 1 de casillas adya- centes en bloques cuadrados o rectangulares de 2, 4, 8, 16,..., 2 n^ y se des- cartan las variables cuyo valor, 1 o 0, cambia de una casilla a otra. La regla es agrupar la información con el menor número posible de bloques ya que de cada uno de éstos se obtiene cuando menos una literal, y los bloques deben estar conformados por el mayor número de casillas porque entre más grande sea el número de casillas agrupadas por bloque, más simple será la expresión booleana resultante.
En el mapa anterior la variable X no conserva su valor ya que en la prime- ra línea vale 0 y en la segunda 1, por lo tanto se elimina. Sin embargo, Y mantiene el valor de 1 en ambas casillas, ya que en este caso el bloque que agrupa la información se encuentra solamente en la columna de la derecha. De esta forma se obtiene que la expresión simplificada del mapa de Kar- naugh es F = Y.
Como se ve, la simplificación anterior consiste en la aplicación de los pos- tulados del álgebra booleana, pero de manera gráfica.
Para simplificar una expresión que incluye tres variables se tiene que el mapa consta de 8 casillas. Hay que observar que la secuencia en que se coloca la expresión en la tabla no es la binaria ascendente, sino una de forma que solamente exista un cambio de 0 a 1 o de 1 a 0 a la vez, esto es, una en la que no debe cambiar más que un bit en cada paso. A esta forma de arreglar los bits se le llama código reflejado.
Ejemplo 5.4. Representar en un mapa de Karnaugh y determinar la expresión booleana simplificada de:
F = XY′Z′ + XY′Z + XYZ′ + X′YZ′
188 V. Á LGEBRA BOOLEANA
En el ejemplo anterior se formaron dos bloques, y en el mayor se eliminaron las variables X, Y debido a que de una casilla a otra cambian de valor. Además se observa que entre más grande sea el bloque, la expresión re- sultante es menor.
Si en un mapa de Karnaugh se unen los dos extremos, ya sea horizontal o verticalmente, entonces las celdas de las esquinas del mismo quedarán juntas y por lo tanto se considerarán como celdas adyacentes. Esto permi- te realizar una mejor simplificación.
Ejemplo 5.6. Simplificar la siguiente expresión booleana:
F = W′X′ + W′XY′Z + W′XYZ + WXY′Z′ + WX′Y′Z′ + WX′YZ′
Como se ve, no siempre la expresión original tiene todas las variables en cada uno de sus minitérminos. En donde es así, el minitérmino equivale a las variables que se dan inicialmente, en este caso W′X′ juntamente con todas las posibles combinaciones de las variables faltantes:
W′X′ = W′X′YZ + W′X′Y′Z + W′X′Y′Z′ + W′X′YZ′
Después se colocan los unos en las celdas correspondientes y se procede a realizar la agrupación y simplificación de los bloques.
YZ WX 00 01 11 10
00 1 1 1 1
01 1 1
11 1
10 1 1
Hay que observar cómo cada uno de los bloques tiene cuando menos un 1 que es exclusivo de él. Además se tienen dos bloques de 4 celdas adyacen- tes, uno de ellos enmarcado en un cuadrado mientras que al otro lo conforman las esquinas del mapa, y en cada uno de ellos se eliminan 2 variables. Apar- te de esto, se tiene un pequeño bloque de dos celdas.
La función simplificada queda como sigue:
F = X′Z′ + W′Z + WY′Z′
Del bloque de las esquinas Del bloque de 2 celdas Del cuadrado de 4 celdas
Ejemplo 5.7. Usando mapas de Karnaugh es posible simplificar la ex- presión booleana
F = A′B′C′D + A′B′CD + AB′C′D + AB′CD + AB′CD′
que resultó del problema de la embotelladora planteado al principio del capítulo.
En este caso se tiene la siguiente tabla:
CD AB 00 01 11 10
00 1 1
01
11
10 1 1 1
La expresión simplificada es:
F = B′D + AB′C
5.4 O PTIMIZACIÓN DE EXPRESIONES BOOLEANAS 189
En el caso del “producto de sumas” se utiliza el mismo mapa de Karnaugh, pero en las celdas vacías se colocan ceros y se agrupa la información de manera semejante a cuando se tienen unos, como se muestra en el siguien- te mapa:
CD AB 00 01 11 10
00 0
01 0 0 0
11 0 0 0
10 0 0
c
b
d
a
La información se agrupó en este caso en cuatro bloques de 4 celdas cada uno de ellos, y para evitar confusiones en su lectura se le asignó una letra a cada bloque de tal forma que se obtiene la siguiente expresión comple- mento debido a que se usaron las celdas de ceros y no las de unos:
F′ = C′D′ + BD′ + BC′ + AC′
El asignarle una letra o número a un bloque permite ordenar mejor el re- sultado de tal forma que el primer término C′D′ es la lectura del bloque “a”, BD′ lo es del bloque “b” y así sucesivamente. El orden en que se asigne la letra no es importante, ya que puede variar de persona a persona.
Complementando ambos miembros de la expresión booleana resulta que:
(F′)′ = (C′D′ + BD′ + BC′ + AC′)′
Aplicando ahora la ley de De Morgan:
F = (C + D) (B′ + D) (B′ + C) (A′ + C)
Ésta es la expresión booleana simplificada en productos de sumas.
Hay que observar que no es igual la expresión booleana simplificada en sumas de productos que la que se obtuvo en productos de sumas, sin embargo se puede decir que son lógicamente equivalentes. Esto se puede demostrar usando teoremas del álgebra booleana o bien elaborando las tablas de verdad correspondientes.
5.4 O PTIMIZACIÓN DE EXPRESIONES BOOLEANAS 191
192 V. Á LGEBRA BOOLEANA
A medida que crece el número de variables de la expresión booleana, se hace más complicado el mapa de Karnaugh ya que el número de celdas está dado por 2n. Un mapa de 5 variables es equivalente a dos mapas de 4, como se muestra a continuación.
CDE AB 000 001 011 010 110 111 101 100
00 4
01
11 1
10 X 2 3 5
Cuanto crece el mapa, también se ve incrementada la cantidad de celdas adyacentes para agrupar la información. Por ejemplo, en un mapa de 4 variables una celda es adyacente a 4 celdas, mientras que en un mapa de 5 variables cada celda tiene 5 celdas adyacentes y así sucesivamente. En el mapa anterior la celda con sombreado oscuro es adyacente a las 5 celdas con sombreado más claro, la celda con la letra X es adyacente a las celdas numeradas con 1, 2, 3, 4, 5, de tal manera que cada celda se puede agrupar para formar un bloque de dos casillas, con cinco celdas más.
CDE AB 000 001 011 010 110 111 10 1 100
00
01
11
10
194 V. Á LGEBRA BOOLEANA
CDE AB 000 001 011 010 110 111 101 100
00 0 0 0
01 0 0 0
11 0 0 0 0 0 0
10 0 0 0 0
a b d
e
c
f
La expresión booleana que se lee a partir de la tabla es:
F′ = ABD′ + AD′E + ADE′ + CDE′ + A′B′CE + BCD′
Complementando ambos miembros de la igualdad y aplicando la ley de De Morgan se tiene finalmente que:
F = (A′ + B′ + D)(A′ + D + E′)(A′ + D′ + E )(C′ + D′ + E)(A + B + C′ + E′) (B′ + C′ + D)
El mapa de seis variables se divide en 4 mapas de cuatro variables. Cada una de las celdas es adyacente a 6 casillas con las mismas reglas ya cono- cidas.
Ejemplo 5.10. Considérese el siguiente mapa de Karnaugh y determí- nese la expresión booleana más simple en sumas de productos y produc- tos de sumas.
Se tiene que la expresión booleana simplificada en sumas de productos es:
F = A′C′D′F′ + ACD′ + B′C′D′F′ + BC′D + CF
Para obtener la expresión de productos de sumas se tiene la tabla si- guiente:
5.4 O PTIMIZACIÓN DE EXPRESIONES BOOLEANAS 195
DEF ABC 000 001 011 010 110 111 101 100
000 1 1
001 1 1 1 1
011 1 1 1 1
010 1 1 1 1 1 1
110 1 1 1 1
111 1 1 1 1 1 1
101 1 1 1 1 1 1
100 1 1
c
a
b
e
d
