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1. VECTORES
1 .1 INTRODUCCIÓN
Existen magnitudes cuyas cantidades se determinan dando un solo dato numérico
algebraico, como por ejemplo, la temperatura de un punto del espacio o la masa
de un cuerpo; se suele llamar escalar a tal dato. Pero a menudo, un solo dato
numérico no basta para especificar una sola cantidad, fundamentalmente debido a
que dicha magnitud tiene una cualidad de direccionalidad; así, para determinar el
efecto de una fuerza sobre un cuerpo no basta con dar la intensidad de dicha
fuerza, sino que es necesario especificar en qué dirección y sentido se aplica, ya
que éstos determinarán el resultado final. Es necesario, pues, dar información
adicional sobre la entidad fuerza. Para especificar entes asociados a una idea de
dirección se utilizan entes llamados vectores.
Analíticamente, las magnitudes vectoriales vienen representadas tradicionalmente
por letras mayúsculas o minúsculas, en negrita: A , a. El módulo de un vector
viene dado por el vector encerrado entre barras, | A |, |a|, o bien como una letra sin
negrita: A, a.
1. 2 MAGNITUDES VECTORIALES
Son magnitudes cuya completa determinación exige el conocimiento de su
dirección y sentido, además del módulo. La dirección y el sentido del vector se
determinan por la recta orientada que contiene al vector. Ejemplos de rectas
orientadas son los ejes X e Y del plano cartesiano: así en la figura 1 .1, los
vectores A y B tienen la misma dirección (del eje X) pero sus sentidos son
opuestos. Ejemplos de vectores son: desplazamiento, velocidad, aceleración,
fuerza, etc.
φ
Y
X
F
y
F
x
F
uy = j
u x
= i
Fig. 1. 3 Componentes cartesianas de un vector y vectores unitarios cartesianos.
1. 3 VECTOR UNITARIO
En general, un vector unitario, de módulo unidad, en la misma dirección y sentido
de un vector cualquiera, tal como C , ver fig. 1 .2, se define por la relación:
u c
= C /C,
Así, cualquier vector, puede expresarse como el producto de su módulo por un
vector unitario que tenga su misma dirección y sentido,
C = C u c
1. 4 VECTORES EN EL PLANO CARTESIANO
Todo vector en un plano puede descomponerse en dos vectores mutuamente
perpendiculares llamados componentes del vector. En el plano XY, las
componentes F x
y F y
del vector F se representan tal como se muestra en la fig.
u
C
C
Fig. 1.
A
B
0 X
Y
Fig. 1.
En general, si las componentes, F 1
y F 2
, del vector F no son mutuamente
perpendiculares, ver fig. 1 .5, el ángulo entre las componentes, θ puede tomar
cualquier valor entre 0
o
y 180
o
El modulo del vector F lo hallamos así:
En el triángulo rectángulo ACD:
F
2
= (F
1
+ F
2
Cos θ)
2
+ (F
2
Sen θ )
2
F
2
= (F
1
2
+ 2F
1
F
2
Cosθ + F 2
2
Cos
2
θ) + (F 2
2
Sen
2
θ)
F
2
= (F
1
2
+ 2F
1
F
2
Cosθ + F 2
2
(Cos
2
θ + Sen
2
θ)
Luego,
F = F F 2FFCosθ
12
2
2
2
1
La dirección y sentido de F , respecto al primer vector, se determina así:
= cos
[(F
1
+ F
2
Cosθ)/F] ( 1. 8 )
1. 6 VECTORES EN EL ESPACIO
Todo vector en el espacio, haciendo uso de un sistema cartesiano XYZ, puede
descomponerse en tres componentes mutuamente perpendiculares (ver fig. 1 .6),
así:
F = F
x
i
F
y
j
F
z
k
Y
X
FX
FY
FZ
F
Z
γ
α
β
Fig. 1.
El módulo del vector F , viene dado por:
2
z
2
y
2
x
F F F F ( 1 .9)
Los ángulos, , , y , que forma el vector F con los semiejes, +X, +Y, +Z,
respectivamente, se determinan así:
α = Cos
(F
x
/ F) ( 1 .10)
= Cos
(F
y
/ F) ( 1 .11)
= Cos
(F
z
/ F) ( 1 .12)
1. 7 ADICION DE VECTORES
Consideremos los vectores A , B y C. La adición de estos vectores, si se conocen
sus componentes, se efectúan así:
R = A + B + C ( 1 .13)
R = R
x
i + R y
j + R z
k
Dónde: R x
= A
x
+ B
x
+ C
x
R
y
= A
y
+ B
y
+ C
y
R
z
= A
z
+ B
z
+ C
z
Son las componentes del vector resultante, R.
En las ecuaciones ( 1. 14 ), ( 1 .15) y ( 1 .16) la suma es algebraica, es decir,
considerando los signos de las componentes de A , B y C.
Análogamente, para obtener el módulo, la dirección y sentido del vector R ,
hacemos uso de las ecuaciones ( 1 .9), ( 1 .10), ( 1 .11) y ( 1 .12).
Ejemplo 1 .3 La resultante de dos vectores tiene 40 unidades y hace ángulos de
37° y 16° con ellos. Hallar los módulos de los vectores componentes.
(Sen 16° = 7/25).
Solución:
Sean los vectores componentes A y B, ver figura.
Para el obtener A, Aplicamos la ley de Senos:
A/ Sen 16° = R/ Sen (180° - 53°).
Resolviendo para A:
A = R Sen 16° / Sen 53° = 14 u.
Igualmente, para obtener B:
B/Sen 37° = R/Sen (180° - 53°).
Resolviendo para B:
B = R Sen 37° / Sen 53° = 30 u.
Ejemplo 1 .4 Si A y C son puntos medios de los lados del cuadrado de lado L,
hallar el módulo de a + b + c.
16°
B
R
A
16°
37°
180°-53°
a b
c
A
C
Solución:
De la figura:
a = (L/2) i + L j ; b = L i + L j ; c = L i + (L/2) j
R = a + b + c
R = (5/2) L i + (5/2) L j
R =
(5/2) L (5/2) L
2 2 2 2
/ 2)L = (
/ 2)L
Ejemplo 1 .5 Hallar el ángulo que forma el vector que indica la posición del
Punto P ( 3 , 2, 3) con cada uno de los ejes cartesianos.
Solución:
El módulo del vector r es:
r = ( 3 ) (2) (3)
2 2 2
El ángulo que forma con Z (observe el triángulo rectángulo PCO) es,
Cos γ = 3 / 4, luego, γ = Cos
El ángulo que forma con Y (observe el triángulo rectángulo PBO) es,
Cos β = 2 / 4, luego, β = Cos
L
Y
a b
c
X
β
α
r
O
X
A
B
Y
Z
C
P
El producto escalar de los vectores, A****. B , se define como el producto de sus
módulos por el coseno del ángulo que forman, esto es,
A. B = A B Cos ( 1 .17)
Note que A. B da como resultado un escalar (un número).
Las propiedades del producto escalar son:
1.- A. B = B. A ; Propiedad conmutativa.
2.- A. ( B + C ) = A. B + A. C ; Propiedad distributiva.
3.- m ( A. B ) = (m A ). B = A. (m B ) = ( A. B ) m; siendo m un escalar.
4.- i. i = j. j = k. k = 1 ; i. j = j. k = k. i = 0
5.- Dados A = A X
i + A Y
j + A Z
k
y B = B X
i + B Y
j + B Z
k,
S e verifica: A. B = A X
B
X
+ A
Y
B
Y
+ A
Z
B
Z
A. A = A
2
= A
X
2
+ A
Y
2
+ A
Z
2
6.- Si A. B = 0 y ninguno de los vectores es nulo, ambos son perpendiculares.
1 .10 PRODUCTO VECTORIAL
Dados los vectores A y B , su producto vectorial es otro vector C = A x B.
El módulo de C es C = A B Sen ( 1 .19)
La dirección de C es la recta perpendicular al plano que definen los vectores A , B
y el sentido de C es tal que A , B y C forman un triedro a derechas (ver fig. 1 .8).
Por lo tanto
C = A x B = A B Sen u C
C = A x B
B
A
u
c
φ
Fig. 1.
C
B B
A
Fig. 1 .9 Regla de la mano derecha o del tornillo
a)
b)
C
A
Siendo uC un vector que indica la dirección y sentido de C = A x B.
Las propiedades del producto vectorial son:
1.- A x B = - B x A , no goza de la propiedad conmutativa.
2.- A x. ( B + C ) = A x B + A x C , Propiedad distributiva.
3.- m ( A x B ) =( A x B ) m = m A x B = A x m B , siendo m un escalar.
4.- i x i = j x j = k x k = 0 ;
i x j = k ; j x k = i ; k x i = j.
5.- Dados: A = A X
i + A Y
j + A Z
k y B = B X
i + B Y
j + B Z
k,
Se verifica:
AxB C
B B B
A A A
i j k
x y z
x y z
Desarrollando: C = (A Y
B
Z
- A
Z
B
Y
) i - (A X
B
Z
- A
Z
B
X
) j + (A X
B
Y
- A
Y
B
X
) k
1 .11 REGLA DE LA MANO DERECHA O DEL TORNILLO
Esta regla proporciona un método para indicar la dirección del vector resultante
en el producto vectorial. En la figura 1 .9, se indica el principio del método.
Área = A B Senφ
Ejemplo 1 .6 Hallar el ángulo formado por los vectores A = 2 i + 2 j – k y B = 6 i –
3 j + 2 k
Solución:
A = (2) (2) (-1) 3
2 2 2
B = (6) (-3) (2) 7
2 2 2
A. B = (2) (6) + (2)(-3) + (-1)(2) = 12 – 6 – 2 = 4
A. B = A B Cos
Cos = ( A. B ) / AB = 4 / 21
= cos
Ejemplo 1 .7 Dados A = 2 i – 3 j - k y B = i + 4 j - 2 k, hallar: a) A x B y b) B
x A
Solución:
= -3)(-2) - (-1)(4) i - 2)(-2) - (-1)(1) j + 2)(4) - (-3)(1) k
= (6 + 4) i – (- 4 + 1) j + (8 + 3) k
= 10 i + 3 j + 11 k
a) AxB
i j k
C
B
A
φ
B Senφ
Fig. 1 .12 Interpretación geométrica del módulo del producto vectorial
= 4)(-1) - (-2)(-3) i - 1)(-1) - (-2)(2) j + 1)(-3) - (4)(2) k
= (- 4 - 6) i – (- 1 + 4 ) j + (- 3 - 8) k
= - 10 i - 3 j - 11 k
Note qué: A x B = - ( B x A)
Ejemplo 1 .8 Dado el vector F = ( 3 i + 5 j + 6 k ) Newtons, y el vector
desplazamiento r = ( 4 i + 2 j – 3 k ) metros. Calcular el trabajo expresado en
Joules.
Solución:
F = (3 i + 5 j +6 k ) ; r = (4 i + 2 j - 3 k )
W = F. r = (3) (4) + (5) (2) + (6) (3) = 4 Joules
Ejemplo 1 .9 Con los datos del problema anterior, calcular el momento de la
fuerza F. Considere que el vector r , es el vector de posición del punto de
aplicación de F. El momento de una fuerza se define por la relación: M = r x F
Solución:
= 2) (6) – (-3) (5) i – 4) (6) – (-3) (3) j + 4) (5) – (2) (3) k
M = ( 27 i - 33 j + 14 k) N. m.
b) Bx A
i j k
M rxF
i j k
4. El vector resultante de la suma de dos vectores tiene 30 unidades y hace ángulos
de 30° con cada uno de ellos. Hallar el módulo del menor.
5. El módulo de cada uno de los vectores que se muestra en la figura es 10 unidades,
luego, el módulo de la resultante es:
6. El módulo del vector M, que se muestra en la figura , es:
7. En el problema anterior, un vector unitario en la misma dirección y sentido que el
vector M , es:
8. Dados los vectores C = 3 i + 4 j + 5 k y D = i – 4 j – 2 k , el producto escalar C.D , es:
9. Hallar el ángulo formado por los vectores A = 3 i + 2 j – 6 k y B = 4 i – 3 j + k
10. Hallar el módulo del vector, cuyas componentes cartesianas son: x = 4, y = - 12,
sabiendo que es perpendicular al vector 2 i – 2 k.
11. Hallar el área del paralelogramo cuyos lados lo definen los vectores A y B
A = (2 i + 2 j + k ) m; B = (6 i + 3 j + 2 k ) m
M
Y
Z
X
14°
120°
12. Hallar el producto vectorial de los vectores A y B :
A = 2 i + j + 3 k, B = 3 i + 2 j + k
13. Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son:
A = ( 3 i + j - 2 k) cm ; B = (i - 3 j + 4 k) cm
14. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos P (1, 3, 2), Q (2, - 1, 1), y
R (-1, 2, 3)
A) 107
B) 2 103 C) 97
D) 3 93 E) 89
15. Determinar el vector perpendicular al plano formado por los vectores:
A = 2 i – 6 j – 3 k y B = 4 i + 3 j – k.
