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ASIGNATURA:
APRENDIZAJE DE LA ARITMÉTICA
Grado de Maestro de Educación Infantil
Segundo curso
Aprendizaje de la aritmética
6 créditos
Curso 2017 - 18 (primer cuatrimestre) Departamento de Innovación y Formación Didáctica
Tema 4.
La construcción del número natural
- Introducción
- Objetivos
- Perspectiva histórica, corrientes y resultados
- El problema de la conservación de la cantidad
- Los modelos matemáticos de construcción del número natural
- El papel del conteo en la construcción del número
- Estructuración de la cadena numérica verbal
- Niveles numéricos y contextos de utilización del número
- La numeración
- Sistemas de numeración
- El número como objeto de aprendizaje: Conceptos y representaciones
- Desarrollo de la comprensión del sistema de numeración decimal: Fases de Resnick Departamento de Innovación y Formación Didáctica
La numeración
Niveles de aprendizaje
- No numérico : Las cifras árabes representan objetos de la vida real.
- Correspondencia entre las cifras y alguna propiedad de los objetos.
- Los números de dos cifras son un todo que no puede ser separado en cifras.
- Los números de dos cifras representan un todo pero cada una de las cifras tiene entidad propia.
- El valor de cada cifra depende de su posición
- El aprendizaje de la serie escrita se produce después de la serie oral.
- El paso de una decena a otra es el paso más difícil.
- Escribir o leer un número es una cosa pero comprender el significado preciso de la numeración de posición es otra. Departamento de Innovación y Formación Didáctica Desarrollo de la comprensión del sistema de numeración decimal Departamento de Innovación y Formación Didáctica Fases de desarrollo de la comprensión del SND
Fase 1: Descomposición canónica
Reconocimiento de las descomposiciones
canónicas de los números.
Fase 2: Múltiples descomposiciones
Reconocimiento de múltiples descomposiciones de
una cantidad.
Fase 3: Aritmética formal
Uso de la comprensión de la numeración para dotar
de significado los algoritmos de las operaciones de
los números naturales.
Departamento de Innovación y Formación Didáctica Las características de esta fase se pueden identificar en la manera en que los alumnos utilizan estos procedimientos en diferentes contextos intentando resolver diferentes tipos de tareas: Contexto oral Recitar oralmente la serie numérica Lectura y escritura de números Contexto cardinal Realizar recuentos, p.e. decir qué número está representado con diferentes materiales concretos (bloques multibase, ábacos, regletas…) y utilizar dicha representación para realizar operaciones Aritmética informal. Inventar algoritmos para resolver problemas numéricos Fases de desarrollo de la comprensión del SND
Fase 1. Descomposición canónica
Departamento de Innovación y Formación Didáctica Contexto cardinal: el caso de Pepe Pepe es un alumno de 2° ciclo de Primaria. Su profesora intenta averiguar aspectos de su comprensión de la numeración y el sentido numérico. Para ello decide presentarle una tarea de sumar dos números (58+37) pero en la que un sumando está representado con los bloques multibase y el otro sumando se le proporciona oralmente. Tiene delante el número 58 representado con bloques multibase (5 decenas y 8 unidades) y debajo de una cartulina la profesora le dice que hay 3 decenas y 7 unidades. Profesora: Yo tengo aquí tapadas (señalando la cartulina) 3 decenas y 7 unidades, ¿cuanto hay en total? (Pepe empieza a ordenar los bloques multibase colocando las 8 unidades en fila al lado de una de las decenas) ¿Hay 7 unidades, no? (Refiriéndose a las tapadas) Profesora. Sí (Una vez ordenadas las piezas de los bloques multibase Pepe las cuenta otra vez, y levanta dos dedos señalando el hueco entre las 8 unidades y la longitud de una decena) Profesora: Oye, por qué no me cuentas, así mientras lo estas haciendo, lo que estas pensando. Por qué separas dos dedos Pepe: Porque esto es cincuenta y aquí dos más, sesenta (señalando el hueco de las dos unidades que fallan para tener 6 decenas), y con tres barras que hay allí, hay... (pausa, contando con los dedos y señalando las barras)... noventa (en estos momentos empieza a contar otra vez las 8 unidades y luego utilizando 5 dedos levantados sigue contando)... noventa y cinco!. Profesora: Muy bien. ¿cómo lo has trecho? Pepe: (señalando las 8 unidades) Esto con dos más es una barra. Sesenta. (Levantando tres dedos). Setenta, ochenta y noventa. Y como he quitado dos hay cinco. Pues noventa y cinco. Fases de desarrollo de la comprensión del SND
Fase 1. Descomposición canónica
Departamento de Innovación y Formación Didáctica
Analizar la situación descrita desde diferentes perspectivas:
Características de la tarea propuesta
- Contextos y usos de los números naturales.
- Sistemas de representación (datos y respuesta).
- Magnitud de las cantidades.
- Conocimientos necesarios.
- Dificultades.
- Posibles modificaciones.
Su potencialidad para permitir al profesor realizar inferencias
sobre la comprensión de Pepe
- Unidad iterativa que usa.
- Uso de la secuencia numérica.
- Fase de la comprensión del sistema de numeración decimal.
- Contexto en que resuelve la tarea. Fases de desarrollo de la comprensión del SND
Fase 1. Descomposición canónica
Departamento de Innovación y Formación Didáctica Aritmética informal 72
Tomás:
De 38 a 40 van 2. Cuarenta y diez, cincuenta; y diez, sesenta;
y diez setenta; y dos mas más setenta y dos.
Al mismo tiempo que va realizando el proceso de contar de
10 en 10 va levantando un dedo para llevar una pista de lo ya
contado. Al llegar al final mira los tres dedos levantados y da
como respuesta treinta y cuatro (recordando las cuatro
unidades).
Fase 1. Descomposición canónica
Fases de desarrollo de la comprensión del SND
Departamento de Innovación y Formación Didáctica Los niños empiezan a reconocer múltiples descomposiciones de una cantidad. Por ejemplo el 72 se puede ver como:
- 60+12 (6 decenas y 12 unidades),
- la suma de los 8 primeros números pares (2+4+6+8+10+12+14+16)
- producto de factores primos (2x2x2x3x3 ). Estas descomposiciones tienen diferentes exigencias cognitivas. En esta fase se reconocen dos subfases. Por ejemplo, 2 53 es visto como
- 25 decenas y 3 unidades, (Fase 2a)
- 1 centena + 1 1 decenas y 43 unidades, (Fase 2b)
Fase 2. Múltiples descomposiciones
Fases de desarrollo de la comprensión del SND Departamento de Innovación y Formación Didáctica
Fase 2a:
Las equivalencias entre las diferentes composiciones
del número se establece empíricamente desde los
referentes concretos (bloques multibase, regletas
Cuisenaire, etc)
Fase 2b:
Las equivalencias se establecen por:
- la aplicación de los cambios que mantienen la equivalencia (1 decena son 10 unidades)
- la identificación de patrones (p.e. reglas generales para la suma de números pares consecutivos)
- a través de productos de factores primos
Fase 2. Múltiples descomposiciones
Fases de desarrollo de la comprensión del SND
Departamento de Innovación y Formación Didáctica Inés tiene 8 años, está en 3º de Primaria y ha hecho muchos ejercicios de descomponer de manera canónica números grandes. Por ejemplo, ella no tiene dificultades en resolver la siguiente tarea: 7.428 = _M + _ C + _ D + _ U Lo único que tiene que hacer es colocar los dígitos en los lugares señalados: 7M + 4C + 2D + 8U Es capaz también de resolver otros ejercicios similares como 7.428 = M + _ D + U simplemente colocando juntos algunos de los dígitos ya presentes en el número. Así responde escribiendo 7M + 42D + 8U. Sin embargo un día la profesora decide ponerle el siguiente ejercicio como una tarea de evaluación de su comprensión de las descomposiciones múltiples de los números ("Encuentra una descomposición del 7.428 que tenga 17 centenas ") 7.428 = _ M + 17 C + D + _ U Inés después de pensar un rato le dice a la profesor a que no entiende el ejercicio. Que no es como los realizados antes y que no sabe hacerlo.
Fase 2. Múltiples descomposiciones
Fases de desarrollo de la comprensión del SND Departamento de Innovación y Formación Didáctica Por otra parte, el desarrollo de la comprensión de múltiples descomposiciones para el número relaciona el trabajo sobre la numeración con:
- la divisibilidad , cuando los números se pueden ver como productos de otros números. Por ejemplo el número 35 se puede representar como 7x5 como una alternativa a la descomposición canónica, y
- el uso de patrones (configuraciones puntuales). El número 35 anterior se puede descomponer como 1+3+6+10+15 (la suma de los 5 primeros números triangulares)
Fase 2. Múltiples descomposiciones
Fases de desarrollo de la comprensión del SND
Adición
Bloques multibase
Departamento de Innovación y Formación Didáctica
Materiales y recursos
Juntar unidades del mismo orden Reagrupar unidades del mismo orden
Sustracción
Representar 56 Transformar una decena Quitar 9U y 2U La solución es 2D y 7U que es 27 No se puede quitar 29 en 10 unidades
Bloques multibase
Departamento de Innovación y Formación Didáctica
Materiales y recursos
483 : 21
¿Cuántos grupos de 21?
Bloques multibase Departamento de Innovación y Formación Didáctica Materiales y recursos 23 23 x 12 Bloques multibase Departamento de Innovación y Formación Didáctica Materiales y recursos 276
