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Didáctica de la Matemática
Aprendizaje de la Aritmética (17213). Tema 1. Resolución de problemas
Tema 1. Resolución de problemas
Objetivo
- Resolver problemas numéricos relacionados con los siguientes contenidos:
- Combinatoria
- Paridad
- Divisibilidad
- Proporcionalidad
- Identificación de patrones
Contenidos
1 Fases y estrategias en la resolución de problemas Qué es un problema Cuáles son las fases en la resolución de un problema Algunas estrategias para resolver problemas 2 Resolución de problemas numéricos Combinatoria Paridad Divisibilidad Razón y proporción Identificación de patrones
Bibliografía
Círculos matemáticos. D. FOMIN, S. GENKIN y I. ITENBERG. Real Sociedad Matemática Española-SM. Madrid, 2012 (Or. En inglés 1996). Cómo plantear y resolver problemas. G. POLYA. Trillas, Méjico, 2002 (1ª edición en español, 1965). Investigando las matemáticas. R. FISHER y A. VINCE. Akal, Madrid, 1991 (4 volúmenes). Mathematics for Elementary Teachers. A Contemporary Approach. G.L. MUSSER, W.F. BURGER y B.E. PERERSON. John Wiley & Sons, Nueva York, 2003 Pensar matemáticamente. J. MASON L. BURTON y K. STACEY. Labor-MEC, Barcelona,
Problemas con pautas y números. SHELL CENTRE FOR MATHEMATICS EDUCATION. Universidad del País Vasco, Bilbao, 1993 (Or. 1984). Para pensar mejor. M. de GUZMAN. Col. Ciencia hoy, Pirámide, Madrid, 1994. Resolver problemas: Estrategias. Unidades para desarrollar el razonamiento matemático. K. STACEY y S. GROVES. Narcea, Madrid, 2001.
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1. Fases y estrategias en la resolución de problemas
1.1. Qué es un problema La palabra "problema" se utiliza frecuentemente de manera general en el ámbito de la educación matemática para designar distintos tipos de tarea, cuya resolución exige aplicar diferentes conocimientos, habilidades y capacidades que normalmente forman parte de la programación de matemáticas. Este término se suele reservar a veces para designar actividades en el curso de las cuales el alumno debe buscar, hacer frente a situaciones nuevas y establecer relaciones, y en las que el profesor trata de suscitar la curiosidad del estudiante y de motivarle para que persevere en la investigación. Es importante notar que el tiempo que se dedica a la resolución de un problema no puede preverse de antemano y que la inversión de energía y de afectividad es importante en esta actividad. Puede resultar clarificador hacer la distinción entre ejercicio (problema rutinario) y problema (problema no rutinario) atendiendo a distintos aspectos:
- El comportamiento que debe seguir el alumno para llegar a la solución : Cuando se trata de un ejercicio basta que aplique mecánicamente conocimientos ya adquiridos; en cambio, si se trata de un problema es necesario que se familiarice con la situación, busque, relacione, etc. hasta elaborar una estrategia que le conduzca a la solución.
- El objetivo que persigue el profesor cuando propone un ejercicio es que el alumno aplique conocimientos de forma rutinaria, mientras que cuando propone un problema es que piense, razone, investigue...
- El tiempo a emplear es previsible en la resolución de un ejercicio y más difícil de estimar en la resolución de un problema que puede durar un rato, días, semanas o incluso meses.
- La dimensión afectiva : la resolución de ejercicios no suele suscitar emociones importantes mientras que la resolución de problemas supone una carga afectiva importante. En consecuencia la diferencia entre un ejercicio y un "verdadero problema" es relativa: lo que para una persona constituye un problema no rutinario puede muy bien ser un simple ejercicio para otra; todo depende de los conocimientos y experiencias anteriores del alumno y también del contexto en que se proponga, pues a veces lo que se pide es que se aplique algo que se acaba de trabajar en clase o de estudiar. Además a veces puede suceder que una tarea es un problema porque se contempla de una determinada manera. Vista de forma diferente, el camino a seguir puede aparecer con tal evidencia que la dificultad o el obstáculo para resolverlo deja de existir. Por tanto, el concepto de "problema" es relativo pues atiende a aspectos subjetivos y de contexto.
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Aprendizaje de la Aritmética (17213). Tema 1. Resolución de problemas Se deben buscar situaciones problemáticas potencialmente significativas para los alumnos que sirvan como contextos de aprendizaje de las matemáticas. Se debe enseñar a los alumnos la forma de proceder más adecuada para resolver problemas con éxito. En cada uno de los tres puntos antes señalados el énfasis se ha puesto en un aspecto diferente de la resolución de problemas: Resolución de problemas como aplicación. Resolución de problemas como contexto de aprendizaje. Resolución de problemas como destreza básica. 1.2. Cuáles son las fases en la resolución de un problema La descripción más clásica y conocida del proceso de resolución de problemas es la de George Polya que contempla cuatro fases:
- Comprender el problema
- Concebir un plan.
- Ejecutar el plan.
- Examinar la solución obtenida. La primera etapa es de familiarización con el problema y su objetivo es provocar la inspiración mediante la concepción de un plan, el cual, una vez desarrollado, se verá o no confirmado mediante el examen de la solución obtenida. Estas fases no siguen necesariamente este orden, lo que se puede constatar analizando procesos reales de resolución y, es más, algunas secuencias del proceso son difíciles de encuadrar en algunas de ellas. Fase 1: Comprender el problema El enunciado de un problema puede venir dado de diferentes formas: mediante una situación, un dibujo, oralmente o por escrito. El primer paso para comprender el problema es comprender el enunciado y distinguir lo que se sabe y lo que se pregunta. Representar el enunciado mediante materiales manipulativos, un dibujo o cualquier otra representación gráfica puede ayudar a la comprensión. También decir el enunciado con las propias palabras. Comprender el enunciado Identificar lo que se sabe (los datos del problema) y lo que se pide (la pregunta) Usar alguna representación que ayude a comprender mejor el problema: materiales, diagrama, papel cuadriculado... Expresar el enunciado con las propias palabras.
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Aprendizaje de la Aritmética (17213). Tema 1. Resolución de problemas Ejemplo: El taxista mentiroso Un día un señor muy hablador tomó un taxi. El taxista le dijo:
- Lo lamento señor, pero no puedo oír una palabra de lo que dice, estoy sordo como una tapia y se me han acabado las pilas del audífono. El señor se calló. Pero cuando se bajó del taxi se percató de que el taxista le había mentido, ¿cómo lo supo? En este problema la comprensión de la situación ofrece la clave para saber por qué el taxista había mentido. Fase 2: Concebir un plan Algunas ideas para inspirarse son las siguientes: Hacer un esquema, una figura, un diagrama, una tabla... Experimentar para tratar de identificar o conjeturar alguna propiedad, observar patrones o regularidades Estudiar casos particulares Hacer ensayo y error Eliminar una condición Suponer el problema resuelto: pensar desde el final Buscar un problema semejante más sencillo o ya resuelto Ejemplo: Triciclos y coches En una fábrica de juguetes han montado triciclos y coches. En total se han montado 6 vehículos con 22 ruedas. ¿Cuántos vehículos de cada clase se han construido? Este problema se puede resolver usando distintas estrategias:
- Estrategia 1. Modelizar la situación representando las ruedas de los triciclos y de los coches con regletas de colores.
- Estrategia 2. Ensayo y error.
- Estrategia 3. Buscar sistemáticamente todas las posibilidades y eliminar los casos imposibles.
- Estrategia 4. Traducir los datos del problema a ecuaciones y resolverlas. Usar una u otra estrategia dependerá en parte de los conocimientos del resolutor. Por ejemplo, la estrategia 1 la pueden usar niños de Educación Infantil o primeros cursos de Primaria mientras que la 4 exige el dominio del lenguaje algebraico y las ecuaciones, que se trabaja en Secundaria. Por otra parte no todas las estrategias son igualmente
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Aprendizaje de la Aritmética (17213). Tema 1. Resolución de problemas hecho?, ¿puedo hacer una conjetura?... Asimismo, en todo el proceso de resolución de un problema es importante: Anotar lo que se hace. Trabajar sistemáticamente. 1.3. Algunas estrategias para resolver problemas En este apartado estudiaremos y pondremos en práctica algunas estrategias de pensamiento matemático - diferentes heurísticas- que pueden ayudar para resolver problemas. Estas estrategias de pensamiento son: normas que se desprenden del sentido común, que conviene hacerlas explícitas y tenerlas siempre presentes en la resolución de problemas. formas de proceder, más o menos concretas, que reflejan el modo de actuar de aquellos que ordinariamente tienen éxito en el tratamiento de problemas semejantes. La familiarización con ciertas estrategias de pensamiento nos hará más capaces de enfrentarnos con éxito a problemas matemáticos y, a su vez, comportará una reestructuración del pensamiento muy eficaz para la resolución de problemas en general. Es importante recordar que: en la resolución de un problema se suele utilizar más de una estrategia y un problema se puede resolver de distintas formas y por tanto utilizando distintas estrategias.
- Hacer un esquema, una figura, un diagrama, una tabla... Un dibujo, un esquema, una figura, pueden ayudar a traducir el enunciado al lenguaje gráfico, a resumir información (tablas, diagramas,...), a organizar la información sistemáticamente o a dar una interpretación visual a la situación. Las representaciones pueden ser de distintos tipos: geométricas lineales tablas diagramas de árbol diagramas de Venn Para utilizaras hay que plantearse: ¿Qué tipo de representación gráfica elijo?
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Aprendizaje de la Aritmética (17213). Tema 1. Resolución de problemas ¿Cómo represento con ella la información del enunciado? ¿Se ajusta a la situación? ¿Me ayuda a comprender mejor el problema? ¿Me ayuda a encontrar procedimientos de solución? Ejemplo: Competición de tenis Varios clubes de tenis están participando en una competición. Cada club ha inscrito a dos equipos y cada equipo tiene que jugar con todos los demás, excepto con los de su propio club, una sola vez ¿Cuántos partidos habrá en total si se inscriben 8 clubes en la competición? Este problema se puede resolver de distintas maneras, una de ellas es hacer una representación gráfica:
- Estrategia 1: Representar por puntos los equipos y por segmentos los partidos. Contar sistemáticamente las líneas ‘nuevas’ desde cada punto.
- Estrategia 2: Multiplicar el número de clubs por el número de partidos que tienen que jugar, hallar la mitad porque se ha contado cada partido dos veces, y restar los partidos entre equipos del mismo club.
- Estrategia 3: Intentar casos sencillos y conjeturar un modelo o patrón.
- Intentar algunos casos sencillos Un problema puede resultar difícil porque aparecen cantidades grandes o por tener demasiados elementos que lo hacen enrevesado y oscuro. Para empezar, se puede resolver un problema semejante lo más sencillo posible, por ejemplo utilizando cantidades más pequeñas o prescindiendo de alguna variable. Luego se puede complicar hasta llegar al propuesto inicialmente. Procediendo así, se puede lograr: a) Animarse con el probable éxito. b) Vislumbrar principios de solución que estaban confusos y opacos en medio de la complejidad del problema inicial, pues en el problema sencillo suelen aparecer, más transparentes c) Experimentar de manera más fácil, pues la manipulación efectiva en un problema con menos elementos es más fácil que en uno de muchos. La simplificación de un problema se puede lograr no sólo reduciendo su tamaño, sino también imponiendo alguna condición adicional que no está en el problema propuesto. Incluso, aunque parezca al principio que la simplificación es demasiado drástica, se comprueba con frecuencia cómo la ayuda del problema simplificado es muy efectiva. Ejemplo: El club de Beni Beni quiere hacer un Club de video-juegos. Por ahora él es el único socio, pero sus planes son que cada socio encuentre dos nuevos socios cada mes. Si su plan funciona, ¿cuántos socios tendrá su Club al cabo de 12 meses? Una de las posibles estrategias de resolución es resolver el problema para 1, 2, 3 … meses y calcular el número de socios en cada caso. Esta información se organiza en una tabla:
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Aprendizaje de la Aritmética (17213). Tema 1. Resolución de problemas En este caso, y quizá sorprendentemente, hemos llegado al mismo resultado. Nos preguntamos, ¿se debe al caso particular que hemos elegido o a que siempre será así? Si se aplica a otra cantidad se ve que el resultado es siempre el mismo. ¿Por qué? Lo que hemos hecho ha sido: a) 100 - 100×0.20 + (100 - 100×0.20) × 0.15 = 100 × 0.80 × 1. b) 100 + 100 × 0.15 – (100 + 100 × 0.15) × 0.20 = 100 × 1.15 × 0. Como la multiplicación tiene la propiedad conmutativa, los resultados son los mismos y el 100 no juega ningún papel especial. El ejemplo nos muestra que:
- Aplicar un 20% de descuento a una cantidad es lo mismo que multiplicarla por
- Aplicar un 15% de impuestos a una cantidad es lo mismo que multiplicarla por
Multiplicar primero por 0.80 y luego por 1.15 (aplicar primero el descuento y luego el impuesto) es lo mismo que multiplicar primero por 1.15 y luego por 0.80 (aplicar primero el impuesto y luego el descuento) poque el producto de decimales tiene la propiedad conmutativa, es decir, el orden de los factores no altera el valor del producto.
- Ensayo y error El ensayo y error se pueden utilizar como técnica útil de resolución de problemas, particularmente cuando se está frente a un problema no familiar que no se sabe cómo abordar. Para que sea eficaz es necesario hacerlo de manera sistemática e inteligente, anotar los ensayos, sus resultados y los intentos fallidos, examinándolos para elegir el siguiente ensayo. Ejemplo: Del 1 al 9 Coloca en un cuadrado 3x3 los números del 1 al 9 de forma que todas las líneas (horizontales, verticales y diagonales) sumen 15. El ensayo y error se puede hacer:
- Aleatoriamente. Por ejemplo colocando los números en las casillas hasta que todas las sumas den 15.
- Sistemáticamente. Por ejemplo colocando los números más pequeños, del 1 al 4, en las casillas de las esquinas y viendo las posibles combinaciones. Si no funciona probar con otros mayores. Este problema también se puede resolver de otra manera, haciendo descomposiciones del número 15:
- Descomponemos 15 de todas las formas posibles como suma de tres sumandos distintos con valores comprendidos entre 1 y 9. Como el número que más veces se repite en los sumandos es el 5 (se repite cuatro veces), debe estar en el centro del cuadrado que se suma en horizontal, en vertical y dos veces en diagonal. Los que aparecen en los sumandos tres veces estarán
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Aprendizaje de la Aritmética (17213). Tema 1. Resolución de problemas en las esquinas y los que aparecen dos veces se ubicarán en medio de los lados del cuadrado.
- Eliminar una condición Una manera de convertir un problema en otro más sencillo consiste en eliminar una condición del enunciado, resolver este nuevo problema, y luego imponerle a la solución obtenida la condición que se había eliminado. Ejemplo: Número de dos cifras La suma de las dos cifras de un número es igual a 8. Halla ese número sabiendo que la diferencia entre él y el número resultante de cambiar de orden sus cifras es
- Razona tu respuesta. Primero se consideran los números de dos cifras que sumen 8 y luego de ellos se eligen aquel o aquellos que cumplan la segunda condición que indica el enunciado.
- Suponer el problema resuelto: pensar desde el final Una técnica muy común y productiva del pensamiento matemático consiste en suponer el problema resuelto. Al suponer el problema resuelto los datos aparecen más cercanos y, por tanto, es más fácil encontrar el camino que nos ha de llevar desde donde estamos a donde queremos llegar. Esta estrategia se puede aplicar en el siguiente problema: Ejemplo: Arreglos en la casa Se ha construido una casa utilizando cerillas como se indica en el dibujo de abajo. Cambia en ella la posición de dos cerillas de forma que aparezca la casa del otro costado. En este caso se puede dibujar la casa del otro costado y comparar los dibujos para identificar las cerillas que hay que cambiar de posición. El método de suponer el problema resuelto se usa mucho en los problemas numéricos de álgebra elemental. En éstos se pide calcular un número que cumple una serie de condiciones en forma de operaciones. Se aplica el método suponiendo conocido el número buscado y llamándolo x. Al imponerle las condiciones iniciales resulta una ecuación que se resuelve por métodos conocidos. Un caso particular de la técnica de suponer resuelto el problema es la de pensar desde el final. Esta técnica consiste proceder desde atrás hacia delante. Se puede aplicar en la resolución del siguiente problema: Ejemplo: Jaimito
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Aprendizaje de la Aritmética (17213). Tema 1. Resolución de problemas B El país de las comunicaciones En el país de las comunicaciones las ciudades A, B, C y D están conectacas como muestra la figura de abajo. ¿Cuántas formas distintas hay de llegar de A a C, pasando por B o por D? Pista: Considerar dos casos (caminos que pasen por B y caminos que pasen por D) es una idea útil. Juguetes En una juguetería hay 5 modelos de coches, 3 modelos de motos y 4 tipos de balones. ¿Cuántas formas hay de comprar dos objetos diferentes? Pista: Distinguir los tres casos posibles: comprar coche y moto, moto y pelota, pelota y coche. Luego considerar las posibles combinaciones. Los dos problemas que siguen difieren en que los sucesos son en un caso independientes y en otro caso dependientes. Así el que salga cara o cruz lanzando al aire una moneda es independiente de lo que haya salido en la anterior, mientras que la elección del capitán suplente de un equipo depende del jugador que haya sigo elegido capitán, que no puede ser elegido capitán suplente. Monedas Cada vez que lanzamos una moneda al aire nos sale cara o cruz. Si lanzamos tres veces una moneda y anotamos los resultados, ¿cuántas secuencias diferentes de cara y/o cruz podemos obtener? Elegir suplente Un equipo de baloncesto debe elegir al capitan titular y a un capitán suplente entre 5 jugadores. ¿Cuántas maneras tiene de hacerlo?
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Aprendizaje de la Aritmética (17213). Tema 1. Resolución de problemas Pistas: Elegir primero al capitán y luego de entre los jugadores que quedan al capitán suplente. También se puede hacer una representación gráfica con una tabla de doble entrada. Una estrategia que puede hacer más fácil la resolución de problemas es, en lugar de contar el número de objetos que nos interesan, contar algunos objetos más y luego descontarlos. Se puede aplicar a los dos problemas siguientes: Líneas de ferrocarril En un cierto país hay 20 ciudades, y cada par de ciudades está conectada por ferrocarril. ¿Cuántas líneas de ferrocarril hay? Pista: Contar las conexiones de cada ciudad con las restantes. Cifra par ¿Cuántos números de seis cifras tienen al menos una cifra par? Pista: Contar primero los números que no cumplen la condición pedida o “conjunto complementario”, es decir, los números que no tienen ninguna cifra par. Luego restar al total de números de seis cifras los que no tienen ninguna cifra par. 2.2. Problemas de paridad El concepto de paridad (par o impar), a pesar de su gran simplicidad, aparece en la solución de diferentes tipos de problemas como los siguientes: Engranajes Once engranajes están colocados en el plano formando una cadena como la que se muestra en la figura. ¿Pueden girar todos ellos a la vez?
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Aprendizaje de la Aritmética (17213). Tema 1. Resolución de problemas un múltiplo de 3. Pero 100 no es múltiplo de 3, por tanto no hay ninguna combinación ganadora. Por tanto el supermercado está cometiendo un fraude. Algunos de los conceptos y propiedades importantes sobre la divisibilidad son los siguientes: Números primos y compuestos Un número que sólo es divisible por si mismo y la unidad se llama primo. Un número que sea divisible por otro número distinto de él mismo y la unidad se llama compuesto. Aplicar este concepto al siguiente problema: Rectángulos En una hoja de papel cuadriculado: Encuentra todos los posibles rectángulos que estén formados por 12 cuadrados exactamente. Responde indicando sus dimensiones. Haz lo mismo para 13 cuadrados. ¿Por qué hay más rectángulos formados por 12 cuadrados que por 13 cuadrados? Teorema fundamental de la aritmética Cada número compuesto se puede expresar como producto de números primos de forma única (exceptuando el orden de los factores). Ejemplo: 84 = 2^2 x 3 x 7 La aplicación de este teorema permite resolver fácilmente el siguiente problema: Igualdad ¿Puedes encontrar dos números naturales a y b tales que 3ª=5b? ¿Por qué? Divisor y múltiplo Sean a y b números naturales con a distinto de 0. Decimos que a divide b o que a es divisor de b y escribimos a / b si y solo si hay un número natural x tal que ax=b. Si a es divisor de b, b es múltiplo de a. Teorema Sean a , m , n y k números naturales con a distinto de 0.
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Aprendizaje de la Aritmética (17213). Tema 1. Resolución de problemas a. Si a/m y a/n entonces a/(m+n) b. Si a/m y a/n entonces a/(m-n) c. Si a/m entonces a/km Aplicando la primera propiedad hemos resuelto el problema “Premio en el supermercado” Usando estas propiedades se pueden demostrar las siguientes reglas de divisibilidad: Reglas de divisibilidad Un número es divisible por 2 si termina en 0 o cifra par. Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5. Un número es divisible por 4 si el número formado por las dos últimas cifras es divisible por 4. Un número es divisible por 8 si el número formado por las dos últimas cifras es divisible por 8. Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3. Un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es divisible por 9. Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar par y las que ocupan lugar impar es 0, 11 o múltiplo de 11. El siguiente problema se puede resolver aplicando la regla de divisibilidad por 11 o por otros métodos: Capicúas Algunos números capicúas de cuatro cifras son divisibles por 11, por ejemplo 1221 o
- ¿Esta propiedad la tienen todos los números capicúas de cuatro cifras? También se puede resolver escribiendo el numero como abba=1000a+100b+10b+a y luego como múltiplo de 11, o escribiendo la sucesión ordenada que números capicúas de cuatro cifras y viendo el crecimiento de la sucesión. Teorema Un número es divisible por el producto ab , si es divisible por a y por b y a y b son primos entre sí o coprimos. Aplicando este teorema se obtienen las siguientes reglas de divisibilidad: Más reglas de divisibilidad Un número es divisible por 10 si termina en 0. Un número es divisible por 6 si lo es por 2 y por 3. Un número es divisible por 36 si lo es por 4 y por 9.
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Aprendizaje de la Aritmética (17213). Tema 1. Resolución de problemas Una proporción es la igualdad de dos razones. En los siguientes problemas aparecen dos magnitudes que guardan distinto tipo de relación: María y Pablo están cogiendo manzanas. Empezaron al mismo tiempo pero María es más rápida. Cuando Pablo ha cogido 40 manzanas María ha cogido 60. Si María ha cogido 90 manzanas, ¿cuántas ha cogido Pablo? Un grupo de 5 músicos interpretan una pieza musical en 10 minutos. Otro grupo de 35 músicos interpretarán mañana la misma pieza musical, ¿cuánto tiempo tardarán en interpretarla? Una locomotora de tren mide 12 metros de longitud. Si se enganchan 4 vagones el tren mide 52 metros. Si se conectan 8 vagones, ¿cuánto medirá el tren? En el primer problema las magnitudes son directamente proporcionales y la razón es 40/60 que es igual a 2/3. Para calcular cuántas manzanas ha cogido Pablo escribimos la siguiente proporción: La relación: “Pablo coge 2/3 de manzanas de las que coge María” se modeliza con una función lineal : f(x)= 2x / 3 Las magnitudes directamente proporcionales cumplen las siguientes relaciones: f(a+b) = f(a) + f(b) f(ka) = k f(a) En el segundo problema la relación es constante y la respuesta es 10 minutos. Se modeliza con la función contante: f(x)= En el tercer problema hay que calcular lo que mide cada vagón, pero la relación de la longitud del tren y el número de vagones no es de proporcionalidad sino afín, que se modeliza con la función afín : f(x) = 10 x + 12
2.5. Problemas de identificación de patrones
Los patrones gráficos se presentan como una sucesión de figuras en la que se pueden identificar patrones, pautas o regularidades para: Extender la sucesión.
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Aprendizaje de la Aritmética (17213). Tema 1. Resolución de problemas Reproducir la figura de un término cualquiera de la sucesión. Calcular un término ‘cercano’. Calcular un término ‘lejano’. Expresar verbalmente la regla que permite calcular los diferentes términos. Expresar simbólicamente la regla que permite encontrar el término enésimo de la sucesión. Para ello se puede utilizar un método recursivo , a partir de los términos anteriores de una sucesión o un método directo analizando la estructura de una configuración. Aplicamos estos métodos a la resolución del siguiente problema: Configuraciones puntuales Figura 1 Figura 2 Figura 3 a) Continúa dibujando hasta la figura 5. b) ¿Cuántos círculos forman la figura 7? Justifica la respuesta. c) ¿Cuántos círculos forman la figura 25? Responde a esta cuestión utilizando dos procedimientos diferentes. d) Busca una regla general para calcular el número de círculos necesarios para construir la figura n. Justifica la respuesta. Solución con un método recursivo: Se continúan los dibujos, se cuentan los círculos y se escribe la sucesión numérica: 5, 9, 13, 17, 21, … Se puede ver que el número de puntos aumenta en 4. La figura 7 es el número de círculos de la primera más 6 veces cuatro círculos: 5 + 6 x 4 = 31 círculos. La figura 25 tiene 5 + 24 x 4 = 101 círculos. La regla general es: “5 más 4 veces el número de la figura menos 1” o “ 5 + (n-1) x 4” Solución con un método directo: Se puede ver que cada configuración está formada por 4 configuraciones iguales de 2, 3 o 4 puntos respectivamente en las figuras 1, 2 y 3 (ver Figura 2). Como tres círculos se han contado dos ves, hay que restar 3: Figura 1 Figura 2 Figura 3 En la Figura 2 el recuento sería 4 x 3 círculos de cada configuración menos 3 que se contaron dos veces: 4 x 3 – 3 = 9. En general: 4 x n – 3.
