¡Descarga Cálculo de magnitudes, direcciones y ángulos de vectores en un espacio vectorial y más Resúmenes en PDF de Biomedicina solo en Docsity!
Álgebralineal
Introducción
E
n unidades anteriores manejamos diferentes clases de espacios vectoriales, entre ellos definimos los vectores columna y vectores renglón como conjuntos ordenados de n números reales pertenecientes al espacio vectorial R n. En esta unidad usaremos como ejemplos el espacio vectorial R^2 con el fin de introducir dos conceptos nuevos: la norma de un vector y el producto interno de dos vectores. Posteriormente, generalizaremos estos conceptos a espacios vectoriales diferentes.
Iniciaremos con el manejo geométrico del espacio vectorial R^2 también llamado espacio euclideano.
5.1. El espacio vectorial R^2 : longitud, dirección
y distancia
Como se definió anteriormente, los vectores del espacio vectorial R^2 son parejas ordenadas ( x , y ) de números reales, las cuales podemos representar en el plano cartesiano; sin embargo, para muchas aplicaciones que incluyen fuerza, velocidad, aceleración, momento, etc., es importante pensar en un vector no como un punto sino como una entidad que tiene longitud y dirección. Esto nos lleva a la siguiente definición:
Definición 5.1 Sean P y Q dos puntos en el plano cartesiano. Entonces el segmento de recta dirigido de P a Q , que se denota por PQ
, es el segmento de recta que va de P a Q.
Nota que el segmento PQ
y el QP
son diferentes pues tienen sentidos opuestos (figuras 5.1. a y 5.1. b).
Figura 1.a. Figura 1.b.
Unidad 5
Al punto P del segmento dirigido PQ
se le llama punto inicial y a Q punto terminal.
Si desplazamos el segmento (^) PQ
en forma paralela de modo que P se encuentre exactamente en el origen, obtendremos un segmento dirigido equivalente al original, ya que tienen la misma longitud, dirección y el mismo sentido (figura 5.2).
Figura 5.2.
Esta equivalencia será muy útil ya que podremos identificar a cada punto P del plano cartesiano como un vector dirigido que tiene como punto inicial al origen y a P como punto terminal; a sus coordenadas ( x , y ) se les llama componentes del vector.
Ejemplo 1
a) Consideremos al punto O cuyas coordenadas son (0,0); este vector es el vector cero y su representación gráfica es el origen de los ejes coordenados.
b) Consideremos el punto P (3,4) y cuya gráfica se observa en la figura 5.3.
Figura 5.3.
Unidad 5
Por conveniencia se escoge de tal manera que 0 2 .
De la figura 5.4 podemos deducir que tan^ ^
b a
; sin embargo, debemos
tener cuidado, ya que la función tangente es periódica con periodo y por tanto
existen 2 valores de que satisfacen tan
b a
en el intervalo de 0 2 , de
tal modo que para tener un valor único debemos determinar el cuadrante donde se encuentra el vector.
Ejemplo 3
Encontrar la dirección de los siguientes vectores:
a) v = (2, 2) ya que tan
= 1 y como v se encuentra en el primer
cuadrante entonces tan –1(1) =
b) v = (–2,–2)de tan^
= 1, y como v se encuentra en el tercer
cuadrante por lo que al ángulo tan –1^ (1)= se le debe sumar
para obtener
Álgebralineal
c) v = (–2,2) de tan^
= –1 y como v se encuentra en el segundo
cuadrante entonces a tan –1(–1) = – se le suma para obtener
d) v = (2, –2) ya que tan
= –1 y como v se encuentra en el
cuarto cuadrante, entonces a tan –1^ (–1) = – se le suma 2 para obtener el ángulo
Resumiendo, si el vector se encuentra en el segundo o tercer cuadrante, el
ángulo se obtiene sumando al ángulo
tan ^1 b a
; si el vector se encuentra
en el cuarto cuadrante al ángulo
tan ^1 b a
se le suma 2.
¿Cuál será el significado de multiplicar un vector por un escalar positivo o por uno negativo?
Consideremos el vector v = (1,1), su magnitud v^ ^1 2 ^12 ^2
tan
1 y su dirección es
Tomemos ahora el producto del vector por un escalar dados por u = 3 v y
Álgebralineal
Esta definición nos permite tener una caracterización de los vectores unitarios.
Ejemplo 4
Consideremos los vectores canónicos i = (1,0) y j (0,1)
Vamos a encontrar su magnitud
i 12 0 2 1 j 0 2 1 2 1
por lo que podemos decir que i y j son vectores unitarios.
De aquí nos surge la siguiente pregunta: ¿dado un vector cualquiera, podremos encontrar un vector que tenga la misma dirección pero que sea unitario? La respuesta es sí, y para ello retomaremos el hecho de lo que significa multiplicar un vector por un escalar.
Teorema 5.1. Sea v un vector, entonces el vector u =
v v
es un vector unitario.
Vamos a encontrar vectores unitarios a partir de vectores que no lo son usando el teorema anterior.
Ejemplo 5
Consideremos el vector v = (3, 2), calculemos su magnitud
v 3 2 2 2 9 4 13 entonces definamos al vector
u =
v v
3 13 2 13 calculemos la magnitud de u
u ( / 3 13 ) 2 ( 2 / 13 ) 2 9 13/ 4 13/ 13 13/ 1 por tanto^ u^ sí es
unitario.
Unidad 5
Por último, introduciremos el concepto de distancia entre dos puntos. Para ello usaremos el concepto de geometría analítica y la relacionaremos con el concepto de longitud.
Consideremos los siguientes vectores v = (2, 3) y u = (1,–2); vamos a encontrar la distancia entre ellos como puntos en el plano cartesiano.
Sabemos por geometría analítica que la distancia entre los puntos (2,3) y (1,–2) la podemos obtener sustituyendo en la siguiente fórmula:
( x (^) 2 x 1 ) 2 ( y (^) 2 y 1 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 3 2 ) 2 1 25 26
Si consideramos los puntos como vectores, observamos que esta distancia se conforma sacando la magnitud del vector formado por la diferencia entre los vectores u y v.
v u ( 2 1 3, 2 ) ( , )1 5 12 5 2 26
de lo anterior obtenemos la siguiente definición:
Definición 5.5. Sean u y v dos vectores, entonces la distancia entre u y v es la longitud del vector v–u , es decir: d ( v,u ) = v u
La distancia, definida de esta manera, posee las siguientes propiedades y nos va a permitir generalizarla a espacios vectoriales distintos de R n.
Unidad 5
si u = ( u 1 , u 2 , ..., u (^) n ) y v = ( v 1 , v 2 , ..., v (^) n ) son dos vectores en R n , entonces u • v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + ... + u (^) n v (^) n. Si trasladamos este resultado a R^2 tenemos la siguiente definición:
Definición 5.6. Sean u = ( a 1 , b 1 ) y v = ( a 2 , b 2 ), entonces el producto interno de u y v es
u • v = a 1 a 2 + b 1 b 2.
Al producto interno también se le llama producto punto.
Recordemos que el producto interno es un número real al igual que la magnitud de un vector. ¿Habrá alguna relación entre ellos?
El siguiente teorema nos indica cuál es esa relación y nos brinda otra manera (que vamos a poder generalizar), de encontrar la magnitud de un vector.
Teorema 5.3. Sea v un vector de R^2 , entonces v v v
2
Vamos a probar que éste es otro método para encontrar la magnitud de un vector:
Ejemplo 6
Consideremos el vector v = (3,–5), entonces
v 3 2 ( 5 )^2 9 25 34 usando el teorema anterior tenemos que
v • v = (3)(3) + (–5)(–5) = 9 + 25 = 34 = v^2
y como podemos observar, ambos métodos dan el mismo resultado.
¿Qué significado geométrico tendrá el producto interno de dos vectores en R^2?
La siguiente definición nos ayudará a aclararlo.
Álgebralineal
Definición 5.7. Sean u y v dos vectores diferentes de cero. El ángulo entre u y v es el ángulo no negativo más pequeño ( 0 ) que hay entre ellos.
Si v = u , entonces = 0 si y = si < 0 (Figura. 5.14).
En la figura 5.14. se observa gráficamente cómo es que se toma el ángulo , el más pequeño de los dos ángulos que se forma entre dos vectores.
El siguiente resultado nos da una manera de encontrar el ángulo entre dos vectores.
Teorema 5.4. Si u y v son dos vectores diferentes de cero y es el ángulo
entre ellos, entonces cos
u v u v
Este teorema nos permite tener una expresión para el producto interno u v u v cos en términos del ángulo entre dos vectores y sus magnitudes.
En el siguiente ejemplo usaremos este teorema para encontrar el ángulo entre dos vectores.
Álgebralineal
Ejemplo 8
a) Consideremos los vectores u = (2,1) y v = (4, 2), determina si son paralelos u ortogonales.
Vamos a encontrar el producto interno u • v = (2)(4) + (1)(2) = 8 + 2 = 10;
sus magnitudes u 2 2 1 2 4 1 5 y
v ( ) 4 2 ( ) 2 2 16 4 20
y el ángulo que hay entre ellos.
cos
u v u v
1 y = cos –1(1)
de donde podemos concluir que u y v son paralelos.
b) Consideremos los vectores u = (2,1) y v = (–4, –2), determina si son paralelos u ortogonales.
El producto interno u • v = (2)(–4) + (1)(–2) = –8 + (–2) = –10;
sus magnitudes u 2 2 1 2 4 1 5
y v ( 4 ) 2 ( 2 ) 2 16 4 20
y el ángulo que hay entre ellos
cos
u v u v
1 y cos –1(–1) 18
Unidad 5
de donde podemos concluir que u y v son paralelos.
c) Sean u = (2,1) y v = (–1, 2), determina si son paralelos u ortogonales.
El producto interno u • v = (2)(–1) + (1)(2) = –2 + 2 = 0;
sus magnitudes u 2 2 1 2 4 1 5 y
v ( 1 ) 2 ( ) 2 2 1 4 5
y el ángulo que hay entre ellos
cos
u v u v
0 y cos –1(0) 9
de donde podemos concluir que u y v son ortogonales.
En el ejemplo anterior observamos que si los vectores son ortogonales, el coseno de su ángulo es cero, pero como el coseno es un cociente, el numerador debe ser cero, de donde se desprende el siguiente resultado:
Unidad 5
5.3. Espacios vectoriales no euclideanos con producto interno
En esta sección generalizaremos los conceptos que vimos en las secciones anteriores a espacios vectoriales no euclideanos, es decir, espacios vectoriales que no tengan ninguna relación con R n. Comenzaremos con el concepto de producto interno.
Definición 5.9. Sea V un espacio vectorial. Decimos que V tiene producto interno , si para cada pareja de vectores u y v en V existe un escalar único ( u , v ), llamado producto interno de u y v que satisface las siguientes propiedades:
Si u, v y w están en V y es un escalar;
i ) ( v , v ) 0 ii ) ( v , v ) = 0 si y sólo si v = 0 iii ) ( u, v + w ) = ( u, v ) + ( u, w ) iv ) ( u + v , w ) = ( u, w ) + ( v , w ) v ) ( u, v ) = ( v, u ) vi ) ( u, v ) = ( u, v ) vii ) ( u, v ) = ( u, v )
Nota: En otros textos el producto interno se representa por < v , v >
Daremos varios ejemplos de espacios vectoriales con producto interno.
Ejemplo 10
a) Consideremos el espacio vectorial D (^) n de las matrices diagonales de orden n n. Sean A , B en D (^) n , definimos ( A , B ) = a 11 b 11 + a 22 b 22 + ... + a (^) nn b (^) nn vamos a probar que es un producto interno. Sean A , B , C en D (^) n
i ) ( A , A ) = a 11 a 11 + a 22 a 22 + ... + a (^) nn a (^) nn = a 112 + a 222 + ... + a (^) nn^2 0 ya que todos son cuadrados. ii ) ( A , A ) = 0, entonces a 11 a 11 + a 22 a 22 + ... + a (^) nn a (^) nn = a 112 + a 222 + ... + a (^) nn^2 = 0 lo cual sucede sólo si todas las a (^) ii = 0, entonces A es la matriz cero. iii ) ( A , B + C ) = a 11 ( b 11 + c 11 ) + a 22 ( b 22 + c 22 ) + ... + a (^) nn ( b (^) nn + c (^) nn ) = [ a 11 b 11 + a 11 c 11 ] + [ a 22 b 22 + a 22 c 22 ]+ ... + [ a (^) nn b (^) nn + a (^) nn c (^) nn ] = [ a 11 b 11 + a 22 b 22 + ... + a (^) nn b (^) nn ] + [ a 11 c 11 + a 22 c 22 + ... + a (^) nn c (^) nn ]
Álgebralineal
= ( A , B ) + ( A , C )
iv ) ( A + B , C ) = ( a 11 + b 11 ) c 11 + ( a 22 + b 22 ) c 22 + ... + ( a (^) nn + b (^) nn ) c (^) nn = [ a 11 c 11 + b 11 c 11 ] + [ a 22 c 22 + b 22 c 22 ]+ ... + [ a (^) nn c (^) nn + b (^) nn c (^) nn ] = [ a 11 c 11 + a 22 c 22 + ... + ann cnn ] + [ b 11 c 11 + b 22 c 22 + ... + bnn cnn ] = ( A , C ) + ( B , C ) v ) ( A , B ) = a 11 b 11 + a 22 b 22 + ... + a (^) nn b (^) nn como el producto de números es conmutativo, se tiene que: ( A , B ) = b 11 a 11 + b 22 a 22 + ... + b (^) nn a (^) nn = ( B , A ) vi ) ( A , B ) = a 11 b 11 + a 22 b 22 + ... + a (^) nn b (^) nn ; factorizando tenemos que: ( A , B ) = ( a 11 b 11 + a 22 b 22 + ... + a (^) nn b (^) nn ) = ( A , B ) vii ) ( A , B ) = a 11 ( b 11 ) + a 22 ( b 22 ) + ... + a (^) nn ( b (^) nn ); factorizando tenemos que ( A , B ) = ( a 11 b 11 + a 22 b 22 + ... + a (^) nn b (^) nn ) = ( A , B )
Por lo tanto ( A, B ) = a 11 b 11 + a 22 b 22 + ... + a (^) nn b (^) nn satisface las características de producto interno.
b) Consideremos C[ a , b ] el espacio vectorial de las funciones continuas en el intervalo [ a , b ].
Definimos en C[ a , b ] a ( f , g ) = (^) f t g t dt a
b , vamos a probar que es un producto interno.
Sean f , g , h en C[ a , b ], entonces:
i ) ( f , f ) = f t f t dt (^) af t dt
b a
b ( )^ ( )^ ^ ^2 ( ) 0, ya que^ f^^2 no es negativa.
ii ) ( f , f ) = (^) af t dt
b (^) 2 ( ) = 0 únicamente si^ f (t) = 0
iii ) ( f , g+h ) = (^) af t g t h t dt f t g t f t h t dt
b a
b ( )^ ^ ^ ^ ^ ^ ;
propiedad de la integral
(^) (^) af t g t dt f t h t dt
b a
b ( ) ( ) ( ) ( ) = ( f , g ) + ( f , h )
iv ) ( f + g , h ) = (^) a f t g t h t dt f t h t g t h t dt
b a
b ^ ^ ^ ^ ^ ;
propiedad de la integral (^) (^) af (^) t h t dt (^) g t h t dt
b a
b = ( f , h ) + ( g , h )
Álgebralineal
Sea f ( t ) = t^2 –3 t en P 2 [0,1],
( f, f ) = 0 f^2 t dt t t dt t t t dt
(^1 2 2 4 3 ) 0
1 0
1 ( ) ^ ^3 ^ ^6 ^9
t^5 t^4 t^3 0
1 5
la norma de f es f^ ^ (^ f^ ,^ f )^ 17 10/
por lo tanto podemos decir que: f^ ^ (^ f^ ,^ f^ )^ ^ 0 f^^2 ( ) t^ dt
1
En el siguiente teorema se enuncian las propiedades que satisfacen cualquier norma independientemente del producto interno del que provenga.
Teorema 5.6. Sea V un espacio vectorial con producto interno, y una norma definida, entonces:
i ) u 0
ii ) u^ = 0 si y sólo si u = 0
iii ) u u
iv ) (^) u v u v
Nota que las primeras tres propiedades se deducen de las propiedades que cumple el producto interno. Vamos a probar que se cumple la cuarta propiedad en un ejemplo.
Ejemplo 12
Consideremos el espacio vectorial D 3 con la norma definida en el ejemplo 11a.
Sean A =
y B =
en D 3 , entonces:
A + B ( A B A , B )
Unidad 5
A + B =
; ( A + B, A + B ) = 9 + 4 + 4 = 17 de donde:
A + B 17
A ( A A , ) 1 1 9 11 y B ( B B , ) 4 9 1 14
y por lo tanto 17 11 14 que implica A B A B
En R^2 vimos que los vectores unitarios tenían características especiales y eran fáciles de manejar, ¿sucederá lo mismo en otros espacios vectoriales? Consideremos la siguiente definición, que es una generalización de la definición de vector unitario en R^2.
Definición 5.11. Sea V un espacio vectorial con producto interno y sea u un vector de V.
Decimos que u es vector unitario si u^ = 1
Veamos los vectores unitarios de los ejemplos 11a y 11b.
Ejemplo 13
Consideremos el espacio D 3 con la norma definida A ( A A , ).
Sea A =
a b c
Si A es unitario, entonces: A ( A A , ) a^2 b^2 c^2 1 eso señala que a^2 b^2 c^2 = 1. Lo que nos indica que las matrices diagonales de 3 3 unitarias son aquellas cuya suma de los cuadrados de la diagonal es 1.
¿Podremos construir vectores unitarios? La respuesta nos la da el siguiente resultado, que utilizaremos más adelante para construir bases llamadas ortonormales.
