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Cálculo de Integrales (Definidas e Indefinidas)
Una introducción al tema
El cálculo de integrales representa una herramienta que resulta de utilidad, por ejemplo, para
realizar el cálculo de áreas de regiones planas, aunque se lo utiliza también para distintas
aplicaciones físicas, estadísticas o cálculos varios.
Los distintos textos que pueden consultarse sobre el tema muestran, en principio, dos enfoques
diferentes o dos introducciones al tema diferentes. Algunos textos abordan el tratamiento del
cálculo de integrales a través de las antiderivadas o primitivas de una función y, otros, a partir
de la idea de conseguir una herramienta para calcular áreas entre curvas. Nuestro enfoque, es
este último, a partir del cual desembarcaremos también en el cálculo de primitivas. La
característica que tiene esta entrada al tema, es que requiere de muchas definiciones y un pasaje
por varias propiedades, antes de poder calcular efectivamente una integral, pero no por eso
dejaremos de encararlo sino que, por el contrario, nos proponemos motivar y generar todas las
estrategias para poder enfrentar el trabajo con las integrales de manera solvente y efectiva.
Para iniciar nuestro trabajo, consideremos una función f definida sobre un intervalo cerrado
[ a; b ], que sea continua sobre el mismo, y no negativa (es decir, f ( x ) 0 para todo x [ a; b ]).
Estas condiciones que pedimos a la función para iniciar nuestro estudio, no son requeridas para
establecer la definición del concepto de integral, pero las exigimos para poder ilustrar el tema
con una situación que nos resulte cómoda y visible claramente. Cuando arribemos a la
definición propiamente dicha, prescindiremos de estas condiciones (continuidad y no
negatividad) y pediremos a la función únicamente lo que sea necesario. Una condición que
necesitamos y será exigida, y queda asegurada en esta situación que planteamos (que la función
sea continua) es que la función sea acotada en el intervalo.
Para una función como la propuesta, entonces, nos planteamos la inquietud de calcular el área A
que queda encerrada entre la curva (gráfica de la función), el eje de las abscisas (eje X) y las
rectas verticales de ecuaciones x = a , y x = b.
Supongamos, por ejemplo, que el área A que nos interesa calcular sea la que se indica en el
siguiente gráfico:
Para comenzar con nuestro propósito, necesitamos, como ya dijimos, algunas definiciones.
La primera de las definiciones es la de partición de un intervalo, que no es otra cosa que un
conjunto de puntos del intervalo, con los que se puede “partir” el intervalo general en pequeños
subintervalos incluidos en él.
y
f
a
x
b
Primera Observación: Como sabemos, no es una condición exigible para la definición de un
conjunto “por extensión”, en donde se muestran los elementos que lo componen, que éstos estén
ordenados como lo pedimos en la definición de partición. Para evitar este problema, a la
partición se la suele denotar de la forma: P = [ x 0
= a ; x 1
; x 2
; x 3
;... ; x n – 1
; x n
= b ], en donde
cambiamos las “llaves” por los “corchetes” con el propósito de hacer referencia a que los
elementos del conjunto están detallados de manera ordenada creciente (tal como se representan
los puntos extremos de un intervalo cerrado, en donde también se utilizan corchetes para
definirlos). No obstante, usaremos indistintamente llaves o corchetes, entendiendo que cuando
se trata de una partición, los elementos están ordenados del modo que se pide en la definición.
Otra observación: En toda partición de un intervalo, están los extremos del intervalo entre los
elementos que la componen.
Ejemplos:
Si I = [0; 4], particiones de I pueden ser, por ejemplo:
P
0
P
1
P
2
P
3
P 4 = {0; 2; 2,5; 3; 3,5; 4}
Con las particiones dadas en el ejemplo anterior, a partir de la definición que acabamos de dar,
podemos decir que P 2 y P 3 son más finas que P 1 , que P 3 es más fina que P 2 , pero P 4 no es más
fina que ninguna de las P 1
, P
2
y P 3
, porque todas estas tienen a x = 1 como uno de sus
elementos, pero P 4
no. Todas las particiones dadas son más finas que P 0
En general, dado un intervalo [ a; b ], una partición del mismo es el conjunto P = { a; b } y a esta
partición se la llama la partición trivial del intervalo [ a; b ].
Los subintervalos en los que queda subdividido el intervalo [ a; b ] son los intervalos [ xi – 1 ; xi ],
para todos los valores de i desde 1 a n. En total, quedan formados n subintervalos, cada uno de
longitud Li = xi – xi – 1. Si todos los subintervalos tienen la misma longitud, se dice que la
partición es regular. En ese caso, cada intervalito tiene longitud L =
b–a
, que resulta de dividir
n
por n la longitud total del intervalo [ a; b ], que es M = b – a.
Entre los ejemplos, la partición P 2
es una partición regular, dado que todos los intervalos tienen
longitud L = 1 =
4 – 0
(aquí, es n = 4).
4
Definición: Dado un intervalo [ a; b ], una partición P de dicho intervalo es un conjunto de
puntos P = { x 0 = a ; x 1 ; x 2 ; x 3 ;... ; xn – 1 ; xn = b }, donde los puntos del conjunto pueden
suponérselos ordenados, en la forma:
x 0 = a < x 1 < x 2 < x 3 <... < xi – 1 < xi <... < xn – 1 < xn = b (donde i = 1,…, n )
Definición: Dado un intervalo [ a; b ], una partición P de dicho intervalo se dice que es más fina
que otra partición P del mismo intervalo si se verifica que P P , es decir, una partición es
más fina que otra cuando tiene otros puntos además de los puntos que ya tiene ésta.
Una vez definidos estos valores, los rectángulos que habíamos mencionado son los que, para
cada uno de los intervalos [ xi – 1 ; xi ] [ a; b ], quedan definidos con base en el segmento de
extremos xi – 1 y xi y, con alturas, Mi ó mi , y cada uno adquiere la forma que se observa en los
gráficos siguientes:
y
f
M i
m i
Área: M i
.( x i
)
m i
.( x i
)
x
i- 1
x i
x
Tal como mencionamos, lo que haremos con los rectángulos definidos de este modo para una
cierta partición, es calcular la suma de todas sus áreas. Estos valores, nos darán aproximaciones
del área A cuando el número de elementos de la partición es lo suficientemente grande, y
cuando la norma de la partición es suficientemente pequeña. Estas sumas, para una determinada
partición, se llaman Sumas superiores y Sumas inferiores de acuerdo se trate de los rectángulos
formados con el supremo o el ínfimo respectivamente. Veamos entonces las definiciones
correspondientes a dichas sumas:
y
M i
m i
f
x
i- 1
x i
x
y
M i
m i
f
Área:
x
i- 1
x i
x
Definición: Dada una función acotada f definida en un intervalo [ a; b ] y una partición P de
dicho intervalo, P = { x 0 = a ; x 1 ; x 2 ;... ; xn – 1 ; xn = b }, si para cada valor i = 1; 2;... , n
consideramos
Mi = sup{ f ( x ): x [ xi – 1 ; xi ]}
se define la Suma superior de f correspondiente a la partición P como:
SP ( f ) = M 1 .( x 1 – x 0 ) + M 2 .( x 2 – x 1 ) +... + M i.( xi – xi – 1 ) +... + M n.( xn – xn – 1 )
Que escrito en forma abreviada sería:
n
S
P
(ƒ) = ΣM i
(x i
— x i– 1
i=
(Recordar: x 0 = a y x n = b )
De manera análoga, se definen las sumas inferiores:
Aclaración: En las sumas superiores usamos, para denotarlas, una S mayúscula, mientras que
para las sumas inferiores, utilizamos una s minúscula.
Una idea de lo que representa gráficamente cada uno de estos conceptos puede verse en las
siguientes figuras:
Suma superior Suma inferior
Relaciones entre las sumas superiores, inferiores y el área debajo de la curva f
Dado que, en cualquier conjunto acotado de números reales se verifica que el valor del ínfimo
siempre es menor o igual que el valor del supremo de dicho conjunto, en cada subintervalo en
que la partición P divide al intervalo [ a; b ] resulta m i
M
i
. Dada esta situación, lo que se
verifica en cualquier partición P que se considere de un intervalo, es que s P
ƒ
≤ S
P
ƒ
En relación con el área A debajo de la gráfica de la función, lo que se verifica, tal como se puede
conjeturar a partir de los ejemplos gráficos, es la desigualdad:
s P
ƒ
≤ A ≤ S
P
ƒ
y esto se verifica para toda partición P.
En relación con las particiones, las sumas (superiores e inferiores) y el área A son muchas las
propiedades que se pueden establecer. Sólo mencionaremos algunas sin demostrarlas, para
ilustrar el tipo de cuestiones que se plantean en este tema.
Definición: Dada una función acotada f definida en un intervalo [ a; b ] y una partición P de
dicho intervalo, P = { x 0
= a ; x 1
; x 2
;... ; x n – 1
; x n
= b }, si para cada valor i = 1; 2;... , n
consideramos
mi = inf{ f ( x ): x [ xi – 1 ; xi ]}
se define la Suma inferior de f correspondiente a la partición P como:
sP ( f ) = m 1 .( x 1 – x 0 ) + m 2 .( x 2 – x 1 ) +... + m i.( xi – xi – 1 ) +... + mn .( xn – xn – 1 )
Que escrito en forma abreviada sería:
n
s P
ƒ
= Σm i
(x i
— x i– 1
i=
Sumas inferiores (se agrega un punto a la partición)
Esta propiedad nos alienta, efectivamente, a creer que refinando la partición de un modo
conveniente, podamos lograr aproximaciones del área a partir del cálculo de sumas superiores e
inferiores cada vez más finas. Veamos en los siguientes gráficos, cómo se modifican las áreas
obtenidas mediante las sumas, aumentando las inferiores y disminuyendo las superiores, a partir
de una función particular para la que, a partir de un graficador, hemos obtenido los valores del
área debajo de la curva y de las sumas sucesivas:
Sumas inferiores calculadas con particiones de 6, 10, 14 y 20 intervalos respectivamente
Sumas superiores calculadas con particiones de 6, 10, 14 y 20 intervalos respectivamente
El área que se quiere calcular con esas aproximaciones es:
y
f
x
y
f
x
Valor Real del área: A = 1,
P P
P
a
Motivación para la definición de Integral definida:
A partir de lo que se plantea en las propiedades, y nuestro interés en calcular el área debajo de la
gráfica de una función, resulta lo siguiente:
Sabemos que, para cualquier partición P del intervalo [ a; b ] en el que está definida la función f
se verifica:
s P
(ƒ) ≤ A ≤ S P
(ƒ) (*)
Supongamos, también, que existen los límites de las sumas superiores e inferiores cuando “la
norma de la partición P tiende a cero” (es decir, tomamos el límite de las sumas cuando las
particiones son tales que tienden a cero las mayores longitudes de los subintervalos que
generan). Esos límites serán:
lim s P
(ƒ) y lim S P
(ƒ)
|P|→0 |P|→
A partir de la propiedad de límites de funciones que vincula desigualdades de las funciones con
desigualdades de los límites
1
, resulta que, en la relación (*) se verifica,
lim
|P|→
s (ƒ) ≤ A ≤ lim S (ƒ)
|P|→
Si se da que ambos límites son iguales, por el teorema de intercalación de funciones y límites
resultará, entonces, que:
lim
|P|→
s
ƒ
= A = lim
|P|→
S
P
(ƒ)
Y en ese caso, a ese valor común de los límites y el área A se lo llamará integral definida de la
función f entre a y b , y se lo denotará:
Con lo cual, el valor f
b
ƒ(x)dx
b
A = ƒ ƒ(x)dx
a
mide, exactamente, el área de la región encerrada entre la
gráfica de la función f , el eje X y las rectas verticales x = a y x = b.
b
A = ƒ ƒ
x
dx
a
1
Si f y g son dos funciones que tienen límite en x 0
y verifican f ( x ) ≤ g ( x ) en todo un intervalo que contiene
a x 0
, entonces vale que lim ƒ(x) ≤ lim g(x).
x→x 0
x→x 0
y
f
x
a b
n
RP
Observación: Las particiones, como ya mencionamos, pueden ser regulares. En ese caso, las
longitudes de todos los subintervalos coinciden, y toman el valor común x i
— x i– 1
b–a
si la
partición consiste de n subintervalos ( n IN). En ese caso, la suma de Riemann
correspondiente a la partición P que tiene esas características podría escribirse (sacando factor
común la longitud
b–a
de cada subintervalo) como:
n
n
S
ƒ
= Σ[ƒ
c
(b — a)
n
b — a
· Σƒ
c
n i
n
]
i=
n
i
i=
Y así, la integral definida de la función f en el intervalo [ a; b ] será:
b
ƒ ƒ
x
dx = lim
n→+∞
S
n
(ƒ)
a
cuando este límite existe y es finito.
En caso de no tratarse de particiones regulares, la integral definida sobre [ a; b ] quedará
definida, cuando el límite existe y es finito, como
b
ƒ ƒ(x)dx = lim S (ƒ)
|P|→
a
Aclaración: La notación f ( x ) dx hace referencia a la función f que se integra y a la variable con
la que esta función recorre todo el intervalo [ a; b ], y el resultado de la integral es independiente
de la variable con la que recorra este intervalo. Es decir, cualquiera sea la variable que se utilice,
el valor de la integral será el mismo, es decir:
b b b b
ƒ ƒ(x)dx = ƒ ƒ(t)dt = ƒ ƒ(y)dy = ƒ ƒ(u)du
a a a a
Observaciones:
- Cuando hablamos de una función integrable sobre [ a; b ], estamos asumiendo que la función
es acotada sobre dicho intervalo porque ésta es la condición que exige la definición anterior
Definición: Dada una función acotada f definida en un intervalo [ a; b ] y una partición P de
dicho intervalo, P = { x 0 = a ; x 1 ; x 2 ;... ; xn – 1 ; xn = b }, se define la Suma de Riemann de f
correspondiente a la partición P como:
S
RP
( f ) = f ( c 1
).( x 1
) + f ( c 2
).( x 2
) +... + f ( c i
).( x i
) +... + f ( c n
).( x n
donde ci ( i = 1; 2;... ; n ) es un valor arbitrario entre xi – 1 y xi
La Suma de Riemann queda escrita, en forma abreviada, como:
n
S
RP
(ƒ) = Σƒ
c i
. (x i
— x i– 1
i=
a
- Como ya está dicho, si f es una función integrable, la integral definida de la función f sobre
[ a; b ] mide el área entre la gráfica de la función, el eje X y las rectas x = a y x = b pero esto
ocurre sólo si la función f es no negativa en el intervalo en cuestión. Pero esa no es una
condición que le deba ser exigida a la función para poder definirse su integral. Por lo tanto, el
valor de la integral f
b
ƒ
x
dx no siempre indicará el resultado del cálculo de un área. Algunas
propiedades que regulan el funcionamiento y comportamiento de la integral, son las que
daremos a continuación.
Propiedades:
Si f y g son funciones integrables sobre [ a; b ] y k es un número real, entonces se verifican las
siguientes propiedades
b b
I · 1) ƒ k. ƒ(x)dx = k. ƒ ƒ(x)dx
a a
b
I · 2) ƒ k dx = k. (b — a)
a
b b b
I · 3) ƒ(ƒ(x) + g(x))dx = ƒ ƒ(x)dx + ƒ g(x)dx
a a a
I.4) Si f ( x ) 0 para todo x [ a; b ], entonces
b
ƒ ƒ(x)dx ≥ 0
a
De las propiedades I.4) e I.1) se deducen las siguientes dos propiedades:
I. 4 ) Si f ( x ) 0 para todo x [ a; b ], entonces
b
ƒ ƒ(x)dx ≤ 0
a
I.4) Si f ( x ) g ( x ) para todo x [ a; b ], entonces
b b
ƒ ƒ(x)dx ≤ ƒ g(x)dx
a a
b c b
I · 5) ƒ ƒ(x)dx = ƒ ƒ(x)dx + ƒ ƒ(x)dx 6c ∈ [a; b]
a a c
(A la propiedad I:5 se le dice Condición de aditividad de la integral en el intervalo [ a; b ].
Observar que esta propiedad asume que una función integrable sobre [ a; b ] también lo es sobre
los intervalos [ a; c ] y [ c; b ] cualquiera sea el valor c [ a; b ] y recíprocamente: Si una función
es integrable sobre los intervalos [ a; c ] y [ c; b ] para c [ a; b ], también será integrable sobre
[ a; b ], y la relación que se da entre las integrales de la función en cada uno de esos intervalos es,
justamente, la que se establece en I. 5))
Suelen darse como definiciones el valor que asumen las integrales que damos a continuación:
Con esto hemos visto, de alguna manera, la consistencia entre las definiciones y las propiedades
que se han establecido, observando que ninguna resulta “caprichosa” y que todas están alineadas
en un mismo esquema teórico.
Observación sobre la propiedad I.5:
En ocasiones, la función f que se integra sobre el intervalo [ a; b ] es integrable también en algún
intervalo más amplio en el que está contenido [ a; b ] como, por ejemplo, podría ser el caso que
la función sea integrable en todo IR. En ese caso, el punto c con el que se logra la igualdad
planteada en la propiedad, no necesariamente tiene que pertenecer al intervalo [ a; b ], sino que
bien podría ser un punto externo a dicho intervalo, y la igualdad planteada en I.5 sigue siendo
válida. Lo que sí es necesario en este caso es que, tal como se plantea en la aclaración que sigue
inmediatamente a esa propiedad, la función sea integrable en cada uno de los intervalos [ a; b ],
[ a; c ] y [ c; b ]. Como para ilustrar lo que decimos, veamos en un ejemplo como se da este
vínculo entre las integrales de cada intervalo. Supongamos que estamos calculando la integral
5
ƒ 4. dx
2
Podemos hacer:
5
ƒ 4. dx
2
=V
Prop.I.
(en este caso, la función f ( x ) = 4 puede suponérsela definida (y resulta integrable) en [2; 5], pero
también en IR o en cualquier otro intervalo). Utilizando I.2 y las definiciones que acabamos de
dar, podemos también calcular, por ejemplo,
Y también
9
ƒ 4. dx
2
5
=V
Prop.I.
9
Por lo que,
ƒ 4. dx
9
=V
Def.
— ƒ 4. dx = —[4. ( 9 — 5 )] = — 16
5
9 5 5
ƒ 4. dx + ƒ 4. dx = 28 +
= 12 = ƒ 4. dx
Es decir,
2 9 2
5 9 5
ƒ 4. dx = ƒ 4. dx + ƒ 4. dx
2 2 9
Donde se puede observar que la propiedad de aditividad se verifica con c = 9 pese a que
c = 9 [2; 5].
Esto que acabamos de ver con el ejemplo, tiene total grado de generalidad, tal como lo
señalamos en esta observación.
Otras propiedades que pueden enunciarse sobre la integrabilidad de funciones, indican que si
dos funciones f y g son integrables sobre un determinado intervalo, también son integrables las
funciones que resultan del producto f.g , o el cuadrado o el módulo de alguna de ellas, por
ejemplo f
2
ó f , aunque no se pueden establecer reglas que permitan calcular cada una de estas
integrales (de las funciones sometidas a esas operaciones) a partir de las de cada función. Por
ejemplo, no es cierto que, en general, el cálculo de la integral de un producto de funciones, se lo
pueda realizar como el producto de las integrales de cada función, como puede verse en el
siguiente ejemplo:
De la propiedad I.2) se tiene que
3
ƒ 4 dx = 4. ( 3 — 1 ) = 8
1
Pero teniendo en cuenta que 4 = 2. 2, y observando que
Se tiene que
3
ƒ 2 dx = 2. ( 3 — 1 ) = 4
1
3 3
ƒ 2 dx. ƒ 2 dx = 4.4 = 16
1 1
Con lo que puede verse que:
3 3 3 3 3
2
8 = ƒ 4 dx = ƒ(2. 2) dx G ƒ 2 dx. ƒ 2 dx = (ƒ 2 dx) = 16
1 1 1 1 1
Es decir: así como hemos dado una regla que nos permite calcular la integral de una suma de
funciones integrables a partir de las integrales de cada una de ellas (la propiedad I. 3)), no
podemos hacer lo mismo cuando se trata de un producto o cuadrado de funciones integrables.
Hemos dicho que la condición de continuidad no es necesaria exigirla a la función para que
pueda calcularse su integral, pero lo que sí es cierto es que si la función es continua en un
intervalo, seguro tendrá integral en dicho intervalo, como lo establece la siguiente propiedad:
En realidad, también serán integrables aquellas funciones acotadas que sean continuas en un
intervalo [ a; b ], salvo en un número finito de puntos de ese intervalo. Hay otras características
de una función que hacen posible calcular su integral y que no enunciaremos en estas notas,
Propiedad:
Si f es una función continua en un intervalo [ a; b ], también es integrable en dicho intervalo
Alberto Formica
Recordando el teorema de Weierstrass
2
, podemos establecer la siguiente proposición:
Esta proposición queda propuesta como una actividad para que el lector haga su demostración, y
sirve como un elemento que tendremos en cuenta en la demostración de la siguiente propiedad,
que tiene una clara interpretación geométrica en el caso que f sea una función no negativa en el
intervalo.
Interpretación: Lo que expresa este teorema es que, en el caso de ser f una función no negativa
para la cual su integral representa el área A debajo de la gráfica, siempre va a poderse hallar un
punto c (al menos uno) en el intervalo [ a; b ] de forma tal que, el área A sea equivalente al área
del rectángulo de base ( b – a ) y altura f ( c ).
2
Una función f continua en un intervalo cerrado [ a; b ] alcanza máximo M y mínimo m en dicho intervalo,
es decir, existen valores x 0
, x 1
[ a; b ] tales que, f ( x 0
) = m y f ( x 1
) = M y f ( x 0
) f ( x ) f ( x 1
) para todo
x [ a; b ]
Si f es una función continua en [ a; b ] tal que m y M son los valores mínimo y máximo,
respectivamente, que alcanza en dicho intervalo, entonces resulta que
O lo que es equivalente:
Si f es una función continua en el intervalo cerrado [ a; b ], entonces existe entre a y b por lo
menos un punto c para el cual vale la igualdad:
O, lo que es equivalente:
y
f
f ( c )
a
x
c
b
Alberto Formica
a
Veamos ahora la demostración del Teorema
Demostración:
Debemos ver que, en la situación de nuestra función (continua en el intervalo cerrado) podemos
hallar un valor c en ( a; b ) que satisfaga la igualdad f
b
ƒ(x)dx = ƒ(c)(b — a) planteada en el
enunciado. Veamos que podemos hallar tal valor c.
Como la función f es continua en [ a; b ], sabemos que existen x 0 , x 1 [ a; b ] tales que, f ( x 0 ) = m
y f ( x 1 ) = M y f ( x 0 ) f ( x ) f ( x 1 ) para todo x [ a; b ], es decir, m y M son los valores mínimo y
máximo que toma la función en el intervalo.
Por la proposición enunciada anteriormente sabemos, también, que
b
ƒ(x 0
) = m ≤
(b — a)
· ƒ ƒ(x)dx ≤ M = ƒ(x 1
a
Luego,
1
· f
b
ƒ
x
dx es un número entre f ( x ) y f ( x ).
(b–a)
a
0 1
Recordando el corolario del teorema de Bolzano
3
resulta que, en nuestra situación, existe c entre
x 0 y x 1 (y por lo tanto c en ( a; b )) de modo que
ƒ(c) =
(b — a)
b
· ƒ ƒ(x)dx
a
Con lo cual, hemos hallado c ( a; b ) de modo que
b
ƒ(c)
b — a
= ƒ ƒ
x
dx
a
tal como estábamos buscando, por lo que damos por finalizada la demostración.
Por la propiedad aditiva de la integral definida, sabemos que si una función es integrable en un
intervalo, también lo es en cualquier subintervalo de éste. De ese modo, si la función f es
integrable en [ a; b ], también lo será, por ejemplo, en [ a; x ] para cualquier x [ a; b ]. Esa
condición, nos habilita a definir una función que, para cada x [ a; b ] calcule la integral de la
función entre a y x. Esta función, será la que llamaremos Función integral y es la que está
definida del siguiente modo:
3 Se trata del teorema de los valores intermedios, que asegura que todo valor entre dos resultados de una función
continua es también resultado de la función ( Si f es continua en [a; b] y d es un valor entre f(a) y f(b), entonces existe
c (a; b) tal que f(c) = d )
Definición (de Función integral )
Dada una función f definida e integrable sobre el intervalo [ a; b ], se define la función integral
de f como:
x
F: [a; b] → IR, F(x) = ƒ ƒ(t)dt
a
Alberto Formica
Demostración: Tomemos x ( a; b ), y veamos que, efectivamente, F´ ( x ) = f ( x ) para ese x , y
como al punto x lo elegimos arbitrariamente, podremos dar por verificado, entonces, que
F´ ( x ) = f ( x ) para todo x ( a; b ).
Veamos entonces, que F´ ( x ) = f ( x ) para el punto x elegido.
Sabemos que, por la definición de la función integral,
F
'
(x) = lim
F(x + h) — F(x)
f
x+h
ƒ
t
dt — f
x
ƒ
t
dt
= lim
a a
(*)
h→0 h h→0 h
También sabemos que
x a
ƒ ƒ
t
dt = — ƒ ƒ
t
dt
a x
Por lo que, la igualdad planteada en (*) puede escribirse como:
f
x+h
ƒ
t
dt + f
a
ƒ
t
dt f
a
ƒ
t
dt + f
x+h
ƒ
t
dt
F
'
(x) = lim
a x
= lim
x a
h→ h
h→ h
Que por la condición de aditividad de la integral, puede escribirse:
f
a
ƒ
t
dt + f
x+h
ƒ
t
dt f
x+h
ƒ
t
dt
F
'
(x) = lim
x a
= lim
x
(**)
h→0 h h→0 h
El teorema del valor medio, por otro lado, afirma que, dado que f es continua en [ a; b ], lo es
también en el intervalo que tiene extremos x y ( x + h ) (dependiendo de que h sea positivo o
negativo, los extremos podrán intercambiar el orden). Por lo tanto, existe un valor c entre x y
( x + h ) de modo que
x+h
ƒ ƒ(t)dt = ƒ(c). ((x + h) — x) = h. ƒ(c) (1)
x
Notar que, como c está entre x y ( x + h ), este valor c depende de x , lo que podría expresarse
escrito como c = c ( x ). Además, cuando h tiende a cero, resulta que ( x + h ) tiende a x y, por
consiguiente, también c tiende a x. A partir de lo dicho, resulta que, por la continuidad de f en x ,
vale que limƒ(c) = limƒ(c) = ƒ(x).
h→0 c→x
Reuniendo toda esta información, resulta que el límite planteado en (**), junto con la igualdad
planteada en (1) puede escribirse como
Teorema Fundamental del Cálculo Integral (extendido):
Si f es una función continua en un intervalo [ a; b ], entonces, la función integral definida como
x
F(x) = ƒ ƒ(t)dt
a
resulta derivable en cada punto del intervalo ( a; b ) y vale F´ ( x ) = f ( x ) para todo x ( a; b ).
Alberto Formica
f
x+h
ƒ
t
dt
F
'
(x) = lim
x
= lim
h. ƒ
c
= lim ƒ
c
= lim ƒ
c
= ƒ(x)
h→ h
h→ h
h→0 c→x
Con lo cual, hemos visto que F
'
(x) = ƒ(x) para cualquier x ( a; b ), tal como debíamos
probar.
Como puede verse, este teorema relaciona los conceptos de integral y derivada: la función
integral resulta ser una función que, cuando la función f que se integra es continua en un punto
x , se la puede derivar y su derivada en cada x es, justamente, la función que se integra en
ese x.
Lo que es importante observar es que, dada una función f continua en un intervalo [ a; b ], es
posible hallar una función F que es derivable en ( a; b ) y verifica F
'
( x
= ƒ(x) para todo
x ( a; b ) (un ejemplo de tal función, es la función integral). Una función como la F es lo que se
llama una “primitiva” de la función f , tal como definimos a continuación.
Aclaración: muchos textos llaman antiderivadas a lo que hemos definido como primitivas de
una función, dado que la primitiva de f es una función que derivada da f.
Ejemplos:
Dadas las funciones f , h : IRIR definidas como f ( x ) = 2 x , y h ( x ) = cos( x ), resulta que las
funciones definidas como F ( x ) = x
2
y H ( x ) = sen( x ) son, respectivamente, primitivas de f y de h.
Observar también que F 1 definida mediante la expresión F 1 ( x ) = x
2
- 5 también es una primitiva
de f , así como H 1 definida por H 1 ( x ) = sen( x ) – 8 también lo es de h.
En realidad, vale la siguiente propiedad, que surge del teorema de Lagrange (del cálculo
diferencial), como una variante de la que establece que una función con derivada nula en un
intervalo, es constante en dicho intervalo.
Esto es válido dado que, si F es primitiva de f , vale que F
'
(x) = ƒ(x) para cada x del dominio
de f y, de este modo, F K
'
(x) = (F(x) + K)
'
= F
'
(x) + 0 = ƒ(x).
A partir de esta propiedad, puede observarse que, cuando una función tiene una primitiva,
automáticamente tiene infinitas primitivas, que difieren entre sí en el valor de una constante
(que es la que se suma a cada primitiva para transformarse en otra). Así, cuando una función
tiene primitiva, tiene una “familia de primitivas”.
Definición:
Dada una función f definida sobre el conjunto Dom( f ), se dice que una función g es una
primitiva de f , si y solo sí verifica que g ( x ) = f ( x ) para todo x Dom( f ).
Propiedad:
Si f es una función que tiene a la función F como primitiva, también es una primitiva de f la
función FK definida en cada x como FK ( x ) = F ( x ) + K , para cualquier número real K.
