Apunte Matemática Discreta, Apuntes de Matemática Discreta

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Apuntes de Matem´atica Discreta

13. Clases de Restos M´odulo m

Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez

C´adiz, Octubre de 2004

Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas

ii

Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas

Muchos problemas de C´alculo con enteros muy grandes pueden reducirse a problemas equivalentes usando enteros peque˜nos mediante el uso de las congruencias.

13.1 Conceptos B´asicos

Comenzamos definiendo el concepto central de la lecci´on y analizando con detenimiento sus propiedades. Distintos ejemplos aclarar´an los conceptos que se definen y permitir´an una aplicaci´on directa de las propiedades.

13.1.1 Definici´on

Sea m un entero positivo y a, b dos n´umeros enteros. Diremos que a y b son congruentes m´odulo m si m divide a a − b. Utilizaremos la notaci´on a ≡ b(m´od m), es decir,

a ≡ b(m´od m) ⇐⇒ m|a − b

Ejemplo 13.

80 ≡ 20(m´od 15), ya que 15| 60 − 8 ≡ 16(m´od 4), ya que 4| − 24

− 5 ≡ −25(m´od 10), ya que 10| 20

12 ≡ −3(m´od 5), ya que 5| 15 

Ejemplo 13.2 Encontrar cinco n´umero enteros distintos, cada uno los cuales sea congruente con 13 m´odulo 11.

Soluci´on

Sea a cualquiera de los n´umeros buscados. Entonces,

a ≡ 13(m´od 11) ⇐⇒ a = 13 + 11q, con q ∈ Z.

Si ahora tomamos, por ejemplo, q = − 2 , − 1 , 0 , 1 ´o 2, tendremos los cinco n´umeros buscados:

a = 13 + 11(−2) = − 9 a = 13 + 11(−1) = 2 a = 13 + 11 · 0 = 13 a = 13 + 11 · 1 = 24 a = 13 + 11 · 2 = 35 

13.1.2 Teorema

Sea m cualquier n´umero entero positivo. Entonces,

(a) Cualquier n´umero entero es congruente m´odulo m exactamente con uno de los enteros 0 , 1 ,..... ., m − 1.

(b) Dos n´umeros enteros son congruentes entre s´ı m´odulo m si, y s´olo si ambos dan el mismo resto al dividirlos por m.

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Demostraci´on

(a) Probaremos que si a es un n´umero entero cualquiera, entonces es congruente m´odulo m exactamente con uno de los enteros 0, 1 ,..... ., m − 1. En efecto,

a ∈ Z y m ∈ Z+^ =⇒ Existen q y r, enteros y ´unicos : a = mq + r, con 0 6 r < m {(??)} ⇐⇒ a − r = mq, con 0 6 r < m ⇐⇒ m|a − r, con 0 6 r < m ⇐⇒ a ≡ r(m´od m), con 0 6 r < m

a ≡ 0(m´od m) ´o a ≡ 1(m´od m) ´o a ≡ 2(m´od m) .. . ´o a ≡ m − 1(m´od m)

A este n´umero r, ´unico, lo llamaremos menor residuo de a, m´odulo m.

(b) En efecto, sean a y b dos enteros cualesquiera.

“S´olo si.” Si a ≡ b(m´od m), entonces

a − b = mq, con q ∈ Z.

Por otra parte, por el teorema de existencia y unicidad de cociente y resto (??), pueden encontrarse q 1 , q 2 , r 1 y r 2 enteros, tales que

a = mq 1 + r 1 y a = mq 2 + r 2

de aqu´ı que a − b = m(q 1 − q 2 ) + r 1 − r 2. Tenemos pues que a − b = mq y a − b = m(q 1 − q 2 ) + r 1 − r 2 y como el resto de dividir a − b entre m es ´unico,

r 1 − r 2 = 0

luego, r 1 = r 2 es decir, a y b dan, ambos, el mismo resto al dividirlos por m. “Si.” Rec´ıprocamente, supongamos que ambos, a y b, dan el mismo resto al dividirlos por m, es decir, existen q 1 , q 2 y r, enteros, tales que

a = mq 1 + r y b = mq 2 + r.

Pues bien, restando miembro a miembro, tendremos que

a − b = m(q 1 − q 2 ) ⇐⇒ m|a − b ⇐⇒ a ≡ b(m´od m)



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13.2 Propiedades

Veremos a continuaci´on algunas propiedades de las congruencias que son, con frecuencia, bastante ´utiles

13.2.1 Teorema

Sean a, b, c y m son tres enteros con m > 0. Se verifica:

(a) a ≡ a(m´od m).

(b) Si a ≡ b(m´od m), entonces b ≡ a(m´od m)

(c) Si a ≡ b(m´od m) y b ≡ c(m´od m), entonces a ≡ c(m´od m)

Demostraci´on

Utilizaremos las propiedades de la divisibilidad (??).

(a) a ≡ a(m´od m) Teniendo en cuenta que m 6 = 0, m| 0 ⇐⇒ m|a − a ⇐⇒ a ≡ a(m´od m)

(b) Si a ≡ b(m´od m), entonces b ≡ a(m´od m). En efecto, a ≡ b(m´od m) ⇐⇒ m|a − b ⇐⇒ m|(−1)(a − b) =⇒ m|b − a ⇐⇒ b ≡ a(m´od m)

(c) Si a ≡ b(m´od m) y b ≡ c(m´od m), entonces a ≡ c(m´od m). En efecto, a ≡ b(m´od m) ⇐⇒ m|a − b y b ≡ c(m´od m) ⇐⇒ m|b − c

=⇒ m|(a − b) + (b − c) =⇒ m|a − c =⇒ a ≡ c(m´od m)

13.2.2 Teorema

Sean a, b, c, d, p y m, enteros con p 6 = 0 y m > 0. Se verifica:

(a) si a ≡ b(m´od m) y c ≡ d(m´od m), entonces a + c ≡ b + d(m´od m) y ac ≡ bd(m´od m).

(b) Si a ≡ b(m´od m), entonces pa ≡ pb(m´od m).

(c) Si p|a, p|b, m.c.d.(p, m) = 1 y a ≡ b(m´od m), entonces a p

b p

(m´od m).

Demostraci´on

Utilizaremos, al igual que en el teorema anterior, las propiedades de la divisibilidad (??)

(a) si a ≡ b(m´od m) y b ≡ c(m´od m), entonces a + c ≡ b + d(m´od m) y ac ≡ bd(m´od m). En efecto, a ≡ b(m´od m) ⇐⇒ m|a − b y c ≡ d(m´od m) ⇐⇒ m|c − d

=⇒ m|(a − b) + (c − d) =⇒ m|(a + c) − (b + d)

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luego,

a + c ≡ b + d(m´odm).

An´alogamente,

a ≡ b(m´od m) ⇐⇒ m|a − b =⇒ m|ac − bc y c ≡ d(m´od m) ⇐⇒ m|c − d =⇒ m|bc − bd

=⇒ m|(ac − bc) + (bc − bd) =⇒ m|ac − bd

por lo tanto,

ac ≡ bd(m´odm).

(b) Si a ≡ b(m´od m), entonces pa ≡ pb(m´od m). En efecto,

a ≡ b(m´od m) ⇐⇒ m|a − b =⇒ m|p(a − b) =⇒ m|pa − pb ⇐⇒ pa ≡ pb(m´od m)

(c) Si p|a, p|b, m.c.d.(p, m) = 1 y a ≡ b(m´od m), entonces a p

b p

(m´od m).

En efecto,

p|a y p|b

=⇒ p|a − b

y a ≡ b(m´od m) ⇐⇒ m|a − b ⇐⇒ ∃q 1 ∈ Z : a − b = mq 1

=⇒ p|mq 1

Pues bien, si p|mq 1 , como m.c.d.(p, m) = 1, tendremos que p|q 1 , es decir, q 1 = pq con q entero. Entonces,

a − b = mq 1 q 1 = pq

=⇒ a − b = mpq =⇒

a p

b p

= mq ⇐⇒ m

a p

b p

Consecuentemente,

a p

b p

(m´od m)

Ejemplo 13.5 Demostrar que el cuadrado de cualquier n´umero entero es divisible por 3 o es congruente con 1 m´odulo 3.

Soluci´on

Sea a un n´umero entero arbitrario. Por el teorema 13.1.2 a es congruente m´odulo 3 con 0, 1 ´o 2. Pues

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entonces por la hip´otesis de inducci´on y por ser cierta la propiedad para i = 2, tendremos que

∑^ p

i=

ai ≡

∑^ p

i=

bi(m´od m)

ap+1 ≡ bp+1(m´od m)

∑^ p

i=

ai + ap+1 ≡

∑^ p

i=

bi + bp+1(m´od m) =⇒

p∑+

i=

ai ≡

p∑+

i=

bi(m´od m)

y, consecuentemente, la proposici´on ser´a cierta para todo n.

(ii)

∏^ n

i=

ai ≡

∏^ n

i=

bi(m´od m)

Basta aplicar el apartado (a) del teorema anterior y la igualdad p∏+

i=

ai =

∏^ p

i=

ai · ap+

para llegar, al igual que en el apartado anterior, al resultado. 

Ejemplo 13.6 Demostrar que si el ´ultimo d´ıgito de un n´umero n es t, entonces

n^2 ≡ t^2 (m´od 10)

Soluci´on

En efecto, si n = ak 10 k^ + ak− 110 k−^1 + · · · + a 1 10 + a 0

es la descomposici´on polin´omica de n, entonces a 0 = t, luego

n =

∑^ k

i=

ai 10 i^ + t

de aqu´ı que

n − t =

∑^ k

i=

ai 10 i

Ahora bien, 10 ≡ 0(m´od 10)

luego 10 i^ ≡ 0(m´od 10), 1 6 i 6 k

y tambi´en ai 10 i^ ≡ 0(m´od 10), 1 6 i 6 k

de aqu´ı que por el corolario anterior,

∑^ k

i=

ai 10 i^ ≡ 0(m´od 10).

Consecuentemente, n − t ≡ 0(m´od 10)

y, por lo tanto, n ≡ t(m´od 10)

de donde resulta que n^2 ≡ t^2 (m´od 10) 

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Ejemplo 13.7 Demostrar que el resto de dividir 20^4572 entre 7 es 1.

Soluci´on

En efecto,

21 ≡ 0(m´od 7) − 1 ≡ −1(m´od 7)

=⇒ 20 ≡ −1(m´od 7) =⇒ 204572 ≡ (−1)^4572 (m´od 7) =⇒ 204572 ≡ 1(m´od 7)

es decir el resto es 1. 

Ejemplo 13.8 Demostrar:

(a) Si a ≡ b(m´od m), entonces m.c.d.(a, m) = m.c.d.(b, m).

(b) Si a ≡ b(m´od m), entonces an^ ≡ bn(m´od m) para cualquier entero positivo n.

(c) Si a + b ≡ c(m´od m), entonces a ≡ c − b(m´od m).

(d) Si a ≡ b(m´od m) y d|a y d|m, entonces d|b.

Soluci´on

(a) Si a ≡ b(m´od m), entonces m.c.d.(a, m) = m.c.d.(b, m). En efecto,

a ≡ b(m´od m) ⇐⇒ m|a − b ⇐⇒ ∃q ∈ Z : a − b = mq

Pues bien, sea d 1 = m.c.d(a, m) y d 2 = m.c.d(b, m). Entonces,

d 1 = m.c.d(a, m) =⇒

d 1 |a y d 1 |m =⇒ d 1 |mq =⇒ d 1 |a − b

=⇒ d 1 |a − (a − b) =⇒ d 1 |b

Es decir, d 1 divide a b y a m, por tanto dividir´a al m´aximo com´un divisor de ambos, luego

d 1 |d 2

An´alogamente,

d 2 = m.c.d(b, m) =⇒

d 2 |b y d 2 |m =⇒ d 2 |mq =⇒ d 2 |a − b

=⇒ d 2 |a − b + b =⇒ d 2 |a

O sea, d 2 divide a a y a m, luego dividir´a al m´aximo com´un divisor de ambos, de aqu´ı que

d 2 |d 1

Finalmente, como d 1 y d 2 son enteros positivos, por la antisimetr´ıa de la relaci´on de divisibilidad en Z+, d 1 ser´a igual a d 2 , es decir,

m.c.d.(a, m) = m.c.d.(b, m)

(b) Si a ≡ b(m´od m), entonces an^ ≡ bn(m´od m) para cualquier entero positivo n. Basta aplicar el apartado (ii) del corolario anterior para ai = a, 1 6 i 6 n y bi = b, 1 6 i 6 n

(c) Si a + b ≡ c(m´od m), entonces a ≡ c − b(m´od m). En efecto,

a + b ≡ c(m´od m) ⇐⇒ m|a + b − c ⇐⇒ m|a − (c − b) ⇐⇒ a ≡ c − b(m´od m)

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o Supongamos que es cierto para n = p, es decir,

(48 + 1)p^ ≡ 48 p + 1(m´od 2304)

o Veamos que es cierto para n = p + 1. En efecto,

48 + 1 ≡ 48 + 1(m´od 2304) {Por ser cierto para n = 1} (48 + 1)p^ ≡ 48 p + 1(m´od 2304) {Por la hip´otesis de inducci´on}

luego, (48 + 1)p(48 + 1) ≡ (48p + 1)(48 + 1)(m´od 2304). Por otra parte, (48p + 1)(48 + 1) = 2304p + 48 + 48p + 1 es decir, (48p + 1)(48 + 1) − [48(p + 1) + 1] = 2304p de aqu´ı que (48p + 1)(48 + 1) ≡ 48(p + 1) + 1(m´od 2304). Finalmente, por la transitividad de la relaci´on de congruencia, de

(48 + 1)p(48 + 1) ≡ (48p + 1)(48 + 1)(m´od 2304) (48p + 1)(48 + 1) ≡ 48(p + 1) + 1(m´od 2304)

se sigue que (48 + 1)p+1^ ≡ 48(p + 1) + 1(m´od 2304). Consecuentemente, la congruencia es cierta para cada entero positivo n, o sea,

(48 + 1)n^ ≡ 48 n + 1(m´od 2304)

y, consecuentemente, 72 n^ − 48 n + 1 es divisible por 2304 para cualquier entero positivo n. 

Ejemplo 13.11 Calcular el resto de dividir 9^6 n+1^ + 3^2 n+1^ · 4872 n^ − 10 por 730.

Soluci´on

Observemos lo siguiente:

96 n+1^ + 3^2 n+1^ · 4872 n^ − 10 = (9^3 )^2 n^ · 9 + (3 · 487)^2 n^ · 3 − 10 = 7292 n^ · 9 + 1461^2 n^ · 3 − 10

Pues bien, 729 ≡ −1(m´od 730) =⇒ 7292 n^ ≡ (−1)^2 n(m´od 730) =⇒ 7292 n^ ≡ 1(m´od 730) =⇒ 7292 n^ · 9 ≡ 9(m´od 730) ⇐⇒ 96 n+1^ ≡ 9(m´od 730).

Por otra parte, 1461 ≡ 1(m´od 730) =⇒ 14612 n^ ≡ 12 n(m´od 730) =⇒ 14612 n^ ≡ 1(m´od 730) =⇒ 14612 n^ · 3 ≡ 3(m´od 730) ⇐⇒ 32 n+1^ · 4872 n^ ≡ 3(m´od 730)

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de aqu´ı que

96 n+1^ + 3^2 n+1^ · 4872 n^ ≡ 12(m´od 730)

es decir,

96 n+1^ + 3^2 n+1^ · 4872 n^ − 10 ≡ 2(m´od 730)

y, consecuentemente, el resto de dividir el n´umero dado entre 730 es 2. 

Ejemplo 13.12 Demostrar que para cualquier entero positivo n, el n´umero 10n(9n − 1) + 1 es divisible por 9.

Soluci´on

En efecto,

10 ≡ 1(m´od 9) =⇒ 10 n^ ≡ 1(m´od 9)

y

9 n ≡ 0(m´od 9) ⇐⇒ 9 n ≡ 1 − 1(m´od 9) ⇐⇒ 9 n − 1 ≡ −1(m´od 9)

luego,

10 n(9n − 1) ≡ −1(m´od 9)

por lo tanto,

10 n(9n − 1) + 1 ≡ 0(m´od 9)

y, consecuentemente, el resto de dividir el n´umero dado entre 9 es cero. 

13.3 Conjunto de las Clases de Restos M´odulo m

En este apartado veremos que la relaci´on de congruencia es de equivalencia y calcularemos el conjunto cociente, al cual llamaremos Zm. Este conjunto ser´a {[0], [1],... , [m − 1]}, donde

[0] = {... , − 2 m, −m, 0 , m, 2 m,.. .} [1] = {... , − 2 m + 1, −m + 1, 1 , m + 1, 2 m + 1,.. .}

y as´ı sucesivamente.

Con esta interpretaci´on, cada elemento de Zm es considerado como el conjunto de todos los enteros congruentes con un entero i tal que 0 6 i 6 m − 1.

Esta es la raz´on de que la propiedad c´ıclica de las congruencias sea tan importante. Si contamos desde 0 a 10 en base decimal, originamos un ciclo desde 0 a 9 y volvemos al 0. Por ejemplo, el cuentakil´ometros de un coche es una instrumentaci´on f´ısica de esta propiedad. Los d´ıgitos desde el 0 hasta el 9 se sit´uan en un c´ırculo, y cuando ´este gira, tiene lugar la cuenta. Cuando un c´ırculo pasa desde el 9 hasta el 0, el siguiente c´ırculo a su izquierda se incrementa en 1. El cuentakil´ometros vuelve a 0 de nuevo cuando el coche recorre 100.000 kms. As´ı pues, el cuentakil´ometros es una instrumentaci´on de Z 100. 000 y cada una de las ruedas de d´ıgitos son instrumentaciones de Z 10.

La inform´atica tambi´en es bastante dependiente de esta propiedad. Por ejemplo, un byte es un n´umero de ocho bits que var´ıa desde 00000000 hasta 11111111; si a˜nadimos 1 a 11111111 volvemos de nuevo a 00000000. Esta transici´on se registra normalmente como un desbordamiento. El hecho de contar en un ordenador, supone exactamente el mismo principio que el utilizado en el cuentakil´ometros. Adem´as, no importa lo potente que sea el mismo, siempre ser´a una m´aquina finita. As´ı que cada esfuerzo para tratar con los n´umeros enteros es, b´asicamente, una aproximaci´on de los enteros por Zm para alg´un m lo suficientemente grande. Este hecho, combinado con la naturaleza c´ıclica de Zm, es la base para algoritmos utilizados en la generaci´on de n´umeros aleatorios.

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− El resto de dividir 7 entre 5 es 2, luego

[7] = { 5 q + 2 : q ∈ Z} = {... , − 18 , − 13 , − 8 , − 3 , 2 , 7 , 12 , 17 , 22 ,.. .}

− El resto de dividir 18 entre 5 es 3, luego

[18] = [3]

− El resto de dividir 20 entre 5 es 0, luego

[20] = [0]

13.3.3 Conjunto Cociente

Al conjunto formado por las clases de equivalencia, es decir al conjunto cociente, lo llamaremos con- junto de las clases de restos m´odulo m, lo notaremos por Zm y es

Zm = {[0], [1],... , [m − 1]}

Demostraci´on

Sean a y b dos enteros cualesquiera. Entonces,

[a] = [b] en Zm ⇐⇒ a y b dan el mismo resto al dividirlos por m en Z ⇐⇒ a ≡ b(m´od m) en Z { 13. 1 .2 (b)}

de donde se sigue que

[a] 6 = [b] en Zm ⇐⇒ a y b dan distinto resto al dividirlos por m en Z ⇐⇒ a ≡/ b(m´od m) en Z

Como al dividir cualquier n´umero entero por m pueden aparecer m restos distintos (0, 1 , · · · , m − 1), querr´a esto decir que habr´a ´unicamente m clases distintas. Si tomamos el resto como representante de cada clase, es decir, [r] = {x ∈ Z : x = mq + r, con q ∈ Z}

el conjunto cociente ser´a Zm = {[0], [1], · · · , [m − 1]} 

Nota 13.1 Obs´ervese que cualquier conjunto de m enteros que no sean congruentes entre s´ı m´odulo m dar´ıa lugar al mismo conjunto cociente. En efecto, sean m n´umeros enteros a 0 , a 1 , · · · , am− 1 que no sean congruentes entre s´ı dos a dos. Entonces, seg´un hemos visto en el apartado anterior,

ai ≡/ aj (m´od m) en Z ⇐⇒ [ai] 6 = [aj ] en Zm

con 0 6 i, j 6 m − 1 e i 6 = j. Entonces,

Zm = {[a 0 ], [a 1 ], · · · , [am− 1 ]}

y si suponemos, sin p´erdida de generalidad, que i es el resto de dividir ai entre m, tendremos que

[ai] = [i], 1 6 i 6 m − 1



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Ejemplo 13.14 En el conjunto de los n´umeros enteros se considera la relaci´on de equivalencia m´odulo

5. Hallar el conjunto cociente.

Soluci´on

Seg´un hemos visto, Z 5 = {[0], [1], [2], [3], [4]}

donde, [0] = {... , − 20 − 15 , − 10 , − 5 , 0 , 5 , 10 , 15 , 20.. .} [1] = {... , − 19 , − 14 , − 9 , − 4 , 1 , 6 , 11 , 16 , 21.. .} [2] = {... , − 18 , − 13 , − 8 , − 3 , 2 , 7 , 12 , 17 , 22.. .} [3] = {... , − 17 , − 12 , − 7 , − 2 , 3 , 8 , 13 , 18 , 23.. .} [4] = {... , − 16 , − 11 , − 6 , − 1 , 4 , 9 , 14 , 19 , 24.. .}

Veamos ahora que el conjunto de enteros { 10 , − 9 , 12 , 8 , 19 } origina el mismo conjunto cociente. En efecto,

10 ≡/ − 9(m´od 5) en Z ⇐⇒ [10] 6 = [−9] en Z 5 10 ≡/ 12(m´od 5) en Z ⇐⇒ [10] 6 = [12] en Z 5 10 ≡/ 8(m´od 5) en Z ⇐⇒ [10] 6 = [8] en Z 5 10 ≡/ 19(m´od 5) en Z ⇐⇒ [10] 6 = [19] en Z 5 − 9 ≡/ 12(m´od 5) en Z ⇐⇒ [−9] 6 = [12] en Z 5 − 9 ≡/ 8(m´od 5) en Z ⇐⇒ [−9] 6 = [8] en Z 5 − 9 ≡/ 19(m´od 5) en Z ⇐⇒ [−9] 6 = [19] en Z 5 12 ≡/ 8(m´od 5) en Z ⇐⇒ [12] 6 = [8] en Z 5 12 ≡/ 19(m´od 5) en Z ⇐⇒ [12] 6 = [19] en Z 5 8 ≡/ 19(m´od 5) en Z ⇐⇒ [8] 6 = [19] en Z 5

luego, Z 5 = {[10], [−9], [12], [8], [19]}

y, naturalmente, [10] = [0] [−9] = [1] [12] = [2] [8] = [3] [19] = [4]



13.4 Aritm´etica en Zm

13.4.1 Suma

Dados dos enteros cualesquiera a y b, definimos la suma en Zm en la forma siguiente:

[a] + [b] = [a + b]

Ejemplo 13.15 Sumar en el conjunto de las clases de restos m´odulo 5, Z 5 , las clases [31] y [58].

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En efecto, sea [a′] el opuesto de [a]. Entonces,

[a] + [a′] = [0] ⇐⇒ [a + a′] = [0] ⇐⇒ a + a′^ ≡ 0(m´od m) ⇐⇒ a′^ ≡ −a(m´od m) ⇐⇒ [a′] = [−a]



13.4.5 Producto

Dados dos enteros cualesquiera a y b, definimos el producto en Zm en la forma siguiente:

[a] · [b] = [a · b]

13.4.6 Bien Definido

El producto est´a bien definido, es decir, no depende de los representantes que se elijan en cada clase, en el sentido de que si [a] = [a′] y [b] = [b′], entonces [a] · [b] = [a′] · [b′].

Demostraci´on

En efecto,

[a] = [a′] ⇐⇒ a ≡ a′(m´odm) y [b] = [b′] ⇐⇒ b ≡ b′(m´odm)

=⇒ a · b ≡ a′^ · b′(m´odm) =⇒ [a · b] = [a′^ · b′] ⇐⇒ [a] · [b] = [a′] · [b′]

El producto en Zm es asociativo y conmutativo.

13.4.7 Elemento Neutro para el Producto

El elemento neutro para la multiplicaci´on en Zm es la clase [1].

Demostraci´on

En efecto, para cada [a] de Zm, se verifica que

[1] · [a] = [1 · a] = [a]



13.4.8 Elemento Inverso

Un elemento [a] de Zm admite inverso si, y s´olo si, a y m son primos entre si.

Demostraci´on

Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas

En efecto, sea [a′] el inverso de [a] en Zm. Entonces,

[a′] · [a] = [1] ⇐⇒ [a′^ · a] = [1] ⇐⇒ a′a ≡ 1(m´od m) ⇐⇒ a′a = 1 + mq, con q ∈ Z ⇐⇒ aa′^ − mq = 1

y esta ecuaci´on lineal con coeficientes enteros tiene soluci´on si, y s´olo si

m.c.d.(a, m) = 1

es decir, si a y m son primos entre si. 

Nota 13.3 Observemos lo siguiente:

[a] ∈ Zm ⇐⇒ 0 6 a 6 m − 1

por lo tanto,

− Si m es primo, entonces m.c.d.(a, m) = 1 para todo a distinto de cero, luego todos los elementos de Zm, excepto el cero, poseen inverso.

− Si m no es primo, s´olo tendr´an inverso aquellos que sean primos con a.

Podemos concluir que una condici´on necesaria y suficiente para que todos los elementos de Zm posean inverso es que m sea primo. 

Nota 13.4 De aqu´ı en adelante, y siempre que no haya peligro de confusi´on, escribiremos a en vez de [a] para notar la clase de equivalencia de a en el conjunto Zm.

Ejemplo 13.16 Hallar los inversos de

(a) 2 en Z 11

(b) 7 en Z 15

(c) 7 en Z 16

(d) 5 en Z 13

Soluci´on

(a) Inverso de 2 en Z 11. Como 11 es primo, todos los elementos de Z 11 , excepto el cero, tienen inverso. Sea, pues, x el inverso de 2 en Z 11. Entonces,

x es el inverso de 2 en Z 11 ⇐⇒ 2 x = 1 en Z 11 ⇐⇒ 2 x ≡ 1(m´od 11) en Z ⇐⇒ 11 | 2 x − 1 en Z ⇐⇒ ∃y ∈ Z : 2x − 11 y = 1

Obtendremos la soluci´on general de esta ecuaci´on diof´antica utilizando el algoritmo de Euclides,

5 2 11 2 1 1 0