Propiedades de matrices y subespacios en números complejos - Prof. Fonseca Bon, Apuntes de Álgebra

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Apuntes de ´algebra lineal

Eduardo Liz Marz´an

Noviembre de 2012.

• 1. Introducci´on Indice general
  • 1.1. Operaciones internas y estructura de cuerpo.
  • 1.2. N´umeros complejos.
  • 1.3. Vectores.
• 1. Matrices y determinantes
  • 2.1. Introducci´on.
  • 2.2. Definici´on y tipos de matrices.
  • 2.3. Operaciones con matrices.
  • 2.4. Propiedades de la trasposici´on de matrices.
  • 2.5. Traza de una matriz.
  • 2.6. Matrices elementales.
  • 2.7. Forma escalonada y rango de una matriz.
  • 2.8. C´alculo de la inversa.
  • 2.9. Determinantes.
  • 2.10. Formas cuadr´aticas.
• 1. Sistemas de ecuaciones lineales
  • 3.1. Introducci´on.
  • 3.2. Expresi´on matricial.
  • 3.3. Existencia de soluciones.
  • 3.4. Conjuntos de soluciones.
  • 3.5. Matrices cuadradas y uso de la factorizaci´on LU
  • 3.6. M´ınimos cuadrados. Ajuste.
• 1. Espacios vectoriales y aplicaciones lineales
  • 4.1. Introducci´on.
  • 4.2. Espacios y subespacios vectoriales.
  • 4.3. Independencia lineal.
  • 4.4. Bases y dimensi´on.
  • 4.6. Bases ortonormales.
  • 4.7. Definici´on de aplicaci´on lineal y propiedades.
  • 4.8. N´ucleo e imagen de una aplicaci´on lineal.
  • 4.9. Transformaciones ortogonales.
  • 4.10. Proyecci´on ortogonal.
• 1. Diagonalizaci´on y funciones de matrices
  • 5.1. Introducci´on.
  • 5.2. Autovalores y autovectores.
  • 5.3. Matrices diagonalizables.
  • 5.4. Diagonalizaci´on ortogonal.
  • 5.5. Clasificaci´on de formas cuadr´aticas usando la diagonalizaci´on ortogonal.
  • 5.6. Descomposici´on Espectral
  • 5.7. Descomposici´on en valores singulares.
  • 5.8. Teorema de Cayley-Hamilton.
  • 5.9. Funciones de matrices.
• Referencias

Cap´ıtulo 1

Introducci´on

1.1. Operaciones internas y estructura de cuerpo.

Una operaci´on interna ∗ en un conjunto A es una correspondencia que asigna a cada par

de elementos a, b ∈ A un elemento c = a ∗ b ∈ A.

Consideraremos dos tipos de operaciones internas, que denotaremos por suma (+) y pro-

ducto (·). Si A es un conjunto con una o dos operaciones internas, A puede tener distintas

estructuras seg´un las propiedades que verifiquen estas operaciones. Consideraremos las siguien-

tes propiedades:

1. Propiedad asociativa: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) , ∀ a, b, c ∈ A. Esta propiedad permite operar

m´as de dos elementos. En este caso escribiremos simplemente a ∗ b ∗ c.

1. Elemento neutro: Se dice que (A, ∗) tiene elemento neutro si existe e ∈ A tal que a ∗ e =

e ∗ a = a , ∀ a ∈ A. En la suma, el elemento neutro se llama cero (0) y en el producto se

llama uno (1). El elemento neutro, si existe, es ´unico.

1. Elemento sim´etrico: Se dice que a ∈ A tiene elemento sim´etrico si existe a

′ ∈ A tal que

a ∗ a

′ = a

′ ∗ a = e. En el caso de la suma, el elemento sim´etrico se llama elemento opuesto

y se denota por −a (a + (−a) = (−a) + a = 0). En el caso del producto, se llama inverso

y se denota por a

− 1 (a · a

− 1 = a

− 1 · a = 1).

1. Propiedad conmutativa: a ∗ b = b ∗ a , ∀ a, b ∈ A. Si una operaci´on producto verifica la

propiedad conmutativa entonces el elemento inverso se denota por 1/a.

1. Propiedad distributiva. Si A tiene definida una suma y un producto, se dice que el producto

es distributivo con respecto a la suma si

a · (b + c) = a · b + a · c

(a + b) · c = a · c + b · c ,

para todo a, b, c ∈ A.

1.3. Vectores. 7

modo, z = |z|(cos(α) + sen(α)i), que es la llamada forma trigonom´etrica de z. El argumento

representa el ´angulo que forma el vector (a, b) en el plano complejo con el eje real.

Utilizando las f´ormulas trigonom´etricas para el seno y el coseno de la suma, se obtiene que si

z 1 = |z 1 |(cos(α 1 ) + sen(α 1 )i) y z 2 = |z 2 |(cos(α 2 ) + sen(α 2 )i) son dos n´umeros complejos entonces

z 1 z 2 = |z 1 ||z 2 |(cos(α 1 + α 2 ) + sen(α 1 + α 2 )i),

es decir el m´odulo del producto es el producto de los m´odulos y el argumento del producto es la

suma de los argumentos. De este modo, se obtiene inmediatamente que si z = |z|(cos(α)+sen(α)i)

entonces z

n = |z|

n (cos(nα) + sen(nα)i), ∀ n ∈ N.

Forma exponencial

Si b ∈ R, se define e

bi = cos(b) + sen(b)i. De este modo, se extiende la funci´on exponencial

real a C manteniendo sus propiedades principales; en particular, si z = a + bi entonces e

z

e

a+bi = e

a e

bi = e

a (cos(b) + sen(b)i).

Teniendo en cuenta esto, si z = |z|(cos(α) + sen(α)i), tambi´en se puede representar en la

forma z = |z|e

αi , que se llama forma exponencial de z.

Ejemplo: 1 + i =

2(cos(π/4) + i sen(π/4)) =

2 e

π 4 i.

1.3. Vectores.

Se define R

2 como el conjunto de los pares ordenados de n´umeros reales, es decir:

R

2 = {(x 1 , x 2 ) / x 1 , x 2 ∈ R}.

Cada elemento (x 1 , x 2 ) de R

2 es un punto en el plano bidimensional; la proyecci´on sobre el

eje horizontal es la coordenada x 1 y la proyecci´on sobre el eje vertical es la coordenada x 2. El

punto (x 1 , x 2 ) se llama vector de R

2 y se puede representar por una flecha con origen en (0, 0)

y extremo en (x 1 , x 2 ).

La suma de dos vectores de R

2 se realiza coordenada a coordenada; si x = (x 1 , x 2 ) e

y = (y 1 , y 2 ) entonces

x + y = (x 1 , x 2 ) + (y 1 , y 2 ) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ).

El producto de un escalar λ ∈ R por un vector (x 1 , x 2 ) de R

2 proporciona otro vector λx dado

por

λx = λ(x 1 , x 2 ) = (λx 1 , λx 2 ).

Tanto el conjunto R

2 como las operaciones de suma y producto por escalares se generalizan

a dimensiones mayores. As´ı,

R

3 = {(x 1 , x 2 , x 3 ) / x 1 , x 2 , x 3 ∈ R} ,

y, en general, para cada n´umero natural n ≥ 2, se define

R

n = {(x 1 , x 2 ,... , xn) / xi ∈ R , ∀ i = 1, 2 ,... , n}.

8 1. Introducci´on

Por ejemplo, x = (2, − 1 , 0 , −2) es un vector de R

4 .

Un vector v ∈ R

n es una combinaci´on lineal de vectores v 1 , v 2 ,... , vk de R

n si se obtiene

de los anteriores mediante sumas y productos por escalares, es decir:

v = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + · · · λkvk.

Por ejemplo,

de modo que v = (5, − 2 , 8) es una combinaci´on lineal de v 1 = (1, − 1 , 1) y v 2 = (1, 0 , 2).

Se dice que k vectores v 1 , v 2 ,... , vk de R

n son linealmente independientes si ninguno

de ellos es combinaci´on lineal del resto. Por ejemplo, v 1 = (1, − 1 , 1) y v 2 = (1, 0 , 2) son vectores

de R

3 linealmente independientes.

El conjunto de todas las combinaciones lineales de k vectores v 1 , v 2 ,... , vk de Rn^ se llama

subespacio generado por v 1 , v 2 ,... , vk y se denota por < {v 1 , v 2 ,... , vk} >. Por ejemplo, en R

4 ,

< {(1, 2 , 1 , 1), (− 3 , 0 , 1 , −1)} > = {x 1 (1, 2 , 1 , 1) + x 2 (− 3 , 0 , 1 , −1) / x 1 , x 2 ∈ R} =

= {(x 1 − 3 x 2 , 2 x 1 , x 1 + x 2 , x 1 − x 2 ) / x 1 , x 2 ∈ R}.

Producto escalar

Se define el producto escalar usual de dos vectores x = (x 1 , x 2 ,... , xn) e y = (y 1 , y 2 ,... , yn)

de R

n como

〈x, y〉 = x · y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + · · · xnyn =

∑^ n

i=

xiyi.

El producto escalar cumple las siguientes propiedades:

1. 〈v 1 + v 2 , w〉 = 〈v 1 , w〉 + 〈v 2 , w〉 , ∀ v 1 , v 2 , w ∈ R

n .

1. 〈λv, w〉 = λ〈v, w〉 , ∀ v, w ∈ R

n , ∀ λ ∈ R.

1. 〈v, w〉 = 〈w, v〉 , ∀ v, w ∈ R

n .

1. 〈v, v〉 > 0 , ∀ v ∈ R

n , v 6 = (0, 0 ,... , 0).

El producto escalar permite definir una norma (o m´odulo). Si x = (x 1 , x 2 ,... , xn) ∈ R

n ,

se define

‖x‖ = +

〈x, x〉 = +

x^21 + x^22 + · · · + x^2 n.

Si x, y son dos vectores de R

n entonces ‖x−y‖ representa la distancia de x a y. En particular,

la norma de x representa su distancia al origen de coordenadas.

En R

2 el producto escalar usual de dos vectores x, y coincide con la definici´on cl´asica en

funci´on del ´angulo φ que forman x e y:

〈x, y〉 = x · y = ‖x‖ ‖y‖ cos(φ).

10 1. Introducci´on

Cap´ıtulo 2

Matrices y determinantes

2.1. Introducci´on.

En este cap´ıtulo se introducen los conceptos b´asicos de la teor´ıa de matrices, con especial

atenci´on a las operaciones elementales, que ser´an de mucha utilidad a lo largo del curso. Sus

primeras aplicaciones (incluidas en este tema) son el c´alculo del rango, la matriz inversa y el

determinante.

2.2. Definici´on y tipos de matrices.

Iniciaremos esta secci´on definiendo lo que entenderemos por una matriz.

Definici´on 2.1 Se llama matriz real de p filas y n columnas a cualquier agrupaci´on de la forma

A =

a 11 a 12 · · · a 1 n

a 21 a 22 · · · a 2 n

. . .

ap 1 ap 2 · · · apn

donde aij ∈ R para todo i = 1, 2 ,... , p, j = 1, 2 ,... , n.

Tambi´en diremos que A es una matriz de tama˜no p × n o de orden p × n.

Denotaremos por Mp×n(R) el conjunto de todas las matrices de p filas y n columnas con

elementos en R. En notaci´on reducida, escribiremos A = (aij ) ∈ Mp×n(R).

Si A = (aij ), B = (bij ) son dos matrices de tama˜no p × n, diremos que A = B si aij = bij

para todo i = 1, 2 ,... , p, j = 1, 2 ,... , n.

Son especialmente importantes las matrices cuadradas, que se caracterizan por tener el

mismo n´umero de filas que de columnas.

2.3. Operaciones con matrices. 13

Es f´acil comprobar que (Mp×n(R), +) tiene estructura de grupo conmutativo. El elemento

neutro es la matriz nula

∈ Mp×n(R).

Producto de una matriz por un escalar.

Dada una matriz A = (aij ) ∈ Mp×n(R) y un escalar λ ∈ R, se define λA = λ(aij ) = (λaij ),

es decir,

λ

a 11 a 12 · · · a 1 n

a 21 a 22 · · · a 2 n

. . .

ap 1 ap 2 · · · apn

λa 11 λa 12 · · · λa 1 n

λa 21 λa 22 · · · λa 2 n

. . .

λap 1 λap 2 · · · λapn

Es f´acil verificar las siguientes propiedades:

1. λ(A + B) = λA + λB , ∀ A, B ∈ Mp×n(R) , ∀λ ∈ R.
2. (λ + μ)A = λA + μA , ∀ A ∈ Mp×n(R) , ∀λ, μ ∈ R.
3. (λμ)A = λ(μA) , ∀ A ∈ Mp×n(R) , ∀λ, μ ∈ R.

Producto de matrices.

Dadas dos matrices A = (aij ) ∈ Mp×n(R), B = (bij ) ∈ Mn×q(R), se define su producto

como la matriz AB = (cij ) ∈ Mp×q(R) dada por:

cij =

n ∑

k=

aikbkj = ai 1 b 1 j + ai 2 b 2 j + · · · + ainbnj , ∀i = 1, 2 ,... , p , ∀j = 1, 2 ,... , q.

Obs´ervese que para poder realizar el producto AB es necesario que el n´umero de columnas

de A coincida con el n´umero de filas de B. Un caso especialmente interesante se presenta cuando

ambas matrices son vectores de R

n

. Sean

u =

u 1

u 2

. . .

un

∈ Mn× 1 (R) ; v =

v 1

v 2

. . .

vn

∈ Mn× 1 (R).

Entonces:

u

t v = (u 1 , u 2 ,... , un)

v 1

v 2

. . .

vn

= u 1 v 1 + u 2 v 2 + · · · + unvn ∈ R

14 2. Matrices y determinantes

representa el producto escalar, mientras que

u v

t

u 1

u 2

. . .

un

(v 1 , v 2 ,... , vn) =

u 1 v 1 u 1 v 2 · · · u 1 vn

u 2 v 1 u 2 v 2 · · · u 2 vn

. . .

unv 1 unv 2 · · · unvn

∈ Mn×n(R).

Propiedades:

El producto de matrices es asociativo, es decir, si A ∈ Mp×n(R), B ∈ Mn×q(R) y C ∈

Mq×r(R), se cumple que (AB)C = A(BC).

El producto de matrices verifica la propiedad distributiva respecto a la suma, es decir, si

A, B ∈ Mp×n(R), C, D ∈ Mn×q(R) entonces A(C +D) = AC +AD, (A+B)C = AC +BC.

El producto de matrices tiene elemento neutro, llamado matriz identidad.

I =

∈ Mn×n(R).

Se tiene que AI = A, ∀ A ∈ Mp×n(R) e IB = B, ∀ B ∈ Mn×q(R).

No se cumple la propiedad conmutativa, es decir, si A, B ∈ Mn×n(R), en general AB 6 =

BA.

Ejemplo:

( 1 2

3 4

Si A, B ∈ Mn×n(R), en general AB = 0 6 ⇒ A = 0 o B = 0.

Ejemplo: ( 0 0

0 1

Interpretaci´on del producto con vectores fila y vectores columna.

Sea A ∈ Mp×n(R). Si denotamos sus columnas por u 1 , u 2 ,... , un y sus filas como v

t 1 , v

t 2 ,... , v

t p,

entonces podemos escribir A en las dos siguientes formas:

A = (u 1 |u 2 | · · · |un) ; A =

v

t 1

v

t 2 . . .

v

t p

En ocasiones se puede describir el producto de matrices de forma m´as conveniente usando

sus vectores fila y sus vectores columna.

16 2. Matrices y determinantes

En general es dif´ıcil encontrar la expresi´on general de A

k en funci´on de k. Sin embargo, es

sencillo para matrices diagonales:

Propiedad: Si A es diagonal entonces A

k tambi´en es diagonal. Adem´as,

a 11 0 · · · 0

0 a 22 · · · 0

. . .

0 0 · · · ann

k

a

k 11 0 · · ·^0

0 a

k 22 · · ·^0 . . .

0 0 · · · a

k nn

Definici´on 2.4 Sea A ∈ Mn×n(R). Se dice que B ∈ Mn×n(R) es una ra´ız k-´esima de A si

B

k = A.

Ejemplo:

La matriz B =

es una ra´ız cuadrada de la matriz identidad I ∈ M 2 × 2 (R) ya que

B

2 = I.

2.4. Propiedades de la trasposici´on de matrices.

Recordemos que si A ∈ Mp×n(R) entonces A

t es la matriz cuyas columnas son las filas de

A.

Se cumplen las siguientes propiedades:

1. (A

t )

t = A, ∀ A ∈ Mp×n(R).

2. (A + B)

t = A

t

• B

t , ∀ A, B ∈ Mp×n(R).

1. (λA)

t = λA

t , ∀ A ∈ Mp×n(R), ∀ λ ∈ R.

4. (AB)

t = B

t A

t , ∀ A ∈ Mp×n(R), ∀ B ∈ Mn×q(R).

1. Si A es inversible entonces (A

t )

− 1 = (A

− 1 )

t .

6. (A

t )

k = (A

k )

t , ∀ A ∈ Mn×n(R), ∀ k ∈ N.

En relaci´on con la trasposici´on de matrices tenemos las siguientes matrices especiales:

Definici´on 2.5 Una matriz A = (aij ) ∈ Mn×n(R) es sim´etrica si A

t = A, es decir, si aij =

aji, ∀ i, j = 1,... , n.

Ejemplo:

La matriz A =

 (^) es sim´etrica.

2.5. Traza de una matriz. 17

Propiedades:

1. Si A ∈ Mp×n(R) entonces A

t A ∈ Mn×n(R) es sim´etrica.

1. Si A es sim´etrica entonces A

k es sim´etrica para todo k ∈ N.

Definici´on 2.6 Una matriz A = (aij ) ∈ Mn×n(R) es antisim´etrica si A

t = −A, es decir, si

aij = −aji, ∀ i, j = 1,... , n.

Es inmediato comprobar que si una matriz A = (aij ) ∈ Mn×n(R) es antisim´etrica, entonces

aii = 0, ∀ i = 1,... , n.

Ejemplo:

La matriz A =

es antisim´etrica.

Definici´on 2.7 Una matriz A = (aij ) ∈ Mn×n(R) es ortogonal si AA

t = A

t A = I, es decir,

si A es inversible y A

t = A

− 1 .

Ejemplo:

Si α es cualquier n´umero real, la siguiente matriz es ortogonal:

A =

cos(α) − sen(α)

sen(α) cos(α)

2.5. Traza de una matriz.

Sea A = (aij ) ∈ Mn×n(R). Se llama traza de A, y se denota tr (A), a la suma de sus

elementos diagonales, es decir, tr (A) =

n ∑

i=

aii = a 11 + a 22 + · · · + ann.

Propiedades:

1. tr (A + B) = tr (A) + tr (B), ∀ A, B ∈ Mn×n(R).
2. tr (λA) = λ tr (A), ∀ A ∈ Mn×n(R), ∀ λ ∈ R.
3. tr (AB) = tr (BA), ∀ A ∈ Mp×n(R), ∀ B ∈ Mn×p(R).

2.6. Matrices elementales.

Definici´on 2.8 Sea A = (aij ) ∈ Mp×n(R). Se llaman operaciones elementales sobre las

filas o columnas de A a cualquiera de las siguientes transformaciones:

1. Permutar dos filas o dos columas de A.
2. Sumar a una fila (o columna) de A un m´ultiplo de otra fila (o columna) de A.

2.7. Forma escalonada y rango de una matriz. 19

1. Permutar las columnas 1 y 3 de A es equivalente a multiplicar A por la derecha por K 13 :

AK 13 =

1. Restar a la fila 2 de A la fila 1 multiplicada por 3 es equivalente a multiplicar A por la

izquierda por F 21 (−3):

F 21 (−3)A =

Inversas de las matrices elementales.

Es muy sencillo comprobar que todas las matrices elementales son inversibles y adem´as su

inversa es la matriz elemental equivalente a la “transformaci´on inversa”. As´ı,

1. Por filas:

(Fij )

− 1 = Fij , (Fi(λ))

− 1 = Fi(1/λ) , (Fij (λ))

− 1 = Fij (−λ).

1. Por columnas:

(Kij )

− 1 = Kij , (Ki(λ))

− 1 = Ki(1/λ) , (Kij (λ))

− 1 = Kij (−λ).

2.7. Forma escalonada y rango de una matriz.

Definici´on 2.10 Sea A = (aij ) ∈ Mp×n(R). Supongamos que la fila i de A no tiene todos los

elementos iguales a cero. Se llama entrada principal de la fila i al primer elemento de dicha

fila distinto de cero, es decir, al elemento aij tal que aij 6 = 0, aik = 0 ∀ k < j.

Definici´on 2.11 Se dice que la matriz A ∈ Mp×n(R) est´a en forma escalonada si cumple

las dos siguientes condiciones:

1. Si hay alguna fila de ceros, est´a al final.
2. Si hay varias filas distintas de cero, entonces la entrada principal de cada fila no nula

est´a m´as a la izquierda que la de la siguiente fila.

Definici´on 2.12 Se dice que la matriz A ∈ Mp×n(R) est´a en forma escalonada reducida si

cumple las siguientes condiciones:

1. Est´a en forma escalonada.
2. Todas las entradas principales son iguales a 1.
3. En cada columna donde hay una entrada pricipal, el resto de los elementos son ceros.

20 2. Matrices y determinantes

Ejemplo: La matriz

A =

est´a en forma escalonada reducida. Se han resaltado sus entradas principales.

El siguiente resultado es clave para las aplicaciones de las operaciones elementales:

Teorema 2.1 (Reducci´on de Gauss-Jordan) Toda matriz se puede transformar en una ma-

triz en forma escalonada reducida mediante operaciones elementales por filas.

Definici´on 2.13 Para cada matriz A ∈ Mp×n(R), la matriz obtenida mediante el teorema

anterior es ´unica y recibe el nombre de forma escalonada reducida de A. La denotaremos

por rref (A).

Ejemplo: Hallar la forma escalonada reducida de

A =

A =

F 21 (3)

−→

F 31 (−3), F 41 (2)

F 32 (1)

−→

F 42 (− 3 /2)

F 34

−→

F 1 (−1)

−→

F 2 (1/2), F 3 (− 1 /6)

F 23 (−4)

−→

F 13 (3)

Por tanto,

rref (A) =