Numeros Complejos, Apuntes de Álgebra

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N´umeros Complejos

Jaime D´ıaz Dpto. Matem´atica Aplicada I

Setiembre 2016

Introducci´on

La ampliaci´on de R a C viene motivada hist´oricamente por la necesidad de trabajar con las soluciones de ecuaciones del tipo

x^2 + 1 = 0,

es decir, con ra´ıces cuadradas de n´umeros negativos.

Una de las formalizaciones m´as habituales es pensar en los complejos como pares (a, b) ∈ R × R con una suma y un producto definidos por

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

(a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc).

Forma bin´omica

Si tenemos en cuenta que (a, 0)(0, 1) = (0, a), se define un n´umero de gran importancia en matem´aticas, el n´umero i o unidad imaginaria, definido como i = (0, 1).

A partir de esta definici´on se deduce inmediatamante que:

i^2 = i ∙ i = (0, 1)(0, 1) = (− 1 , 0) = − 1

Si tenemos en cuenta que podemos escribir

(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1)

obtenemos la expresi´on cl´asica de un complejo:

(a, b) ≡ a + bi.

A cualquiera de estas dos notaciones se las conoce como forma bin´omica del n´umero complejo.

Interpretaci´on geom´etrica

Puesto que podemos ver un n´umero complejo como un par (a, b) ∈ R^2 , es natural interpretarlo como un punto del plano. Llamaremos plano complejo al plano R^2 cuando pensamos en ´el como formado por n´umeros complejos. Es claro que en el plano podemos identificar el eje de abscisas con la recta de los n´umeros reales, y el eje de ordenadas con la recta formada por los n´umeros imaginarios puros.

Forma polar

Otra forma de describir ese punto del plano ser´ıa decir a qu´e distancia est´a el punto del origen y qu´e ´angulo forma el segmento que une 0 con z, con la parte positiva del eje de abscisas. Llamaremos m´odulo de z a la longitud del segmento que une 0 con z, y lo denotaremos como |z| (una cantidad estrictamente positiva, salvo en el caso de z = 0, que es nula). Utilizando el Teorema de Pit´agoras se tiene

|z| =

a^2 + b^2 =

zz.

Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del m´odulo: (^1) |z| = 0 ⇐⇒ z = 0 (^2) |z + w| ≤ |z| + |w| (^3) |zw| = |z||w| (^4) |z − w| ≥ |z| − |w|

El argumento de un n´umero complejo z distinto de 0 , denotado Arg(z), es el ´angulo que forma el segmento que une 0 con z con la parte positiva del eje de abscisas, siendo el sentido positivo para la medida de dicho ´angulo, como es habitual, el contrario al de las agujas del reloj.

Se puede ver que

Arg(z) = arctg

b a

teniendo en cuenta que podemos tener que sumar o restar π al ´angulo as´ı obtenido, en funci´on de los signos de a y b.

θ 1 = arctg (

π 3

; θ 3 = θ 1 − π = − 2 π 3 θ 4 = arctg (− 0 ,75) = − 0 , 6435 ; θ 2 = π + θ 4 = 2, 4981.

Denotando ρ = |z| y θ = Arg(z), podemos describir a z como z = ρθ, a esta expresi´on la llamaremos forma polar de z. Por supuesto, debiera ser posible (y de hecho lo es) recuperar la forma bin´omica del complejo a partir de su m´odulo y su argumento. Sea z = a + bi. Llamando ρ = |z| y θ = Arg(z), se puede ver que

a = ρ cos θ, b = ρ sen θ,

de manera que tenemos

z = ρ(cos θ + i sen θ).

Notad que esta presentaci´on del complejo es formalmente binomial, pero a la vez deja a la vista qui´enes son el m´odulo y el argumento de z.

Producto

Escribamos z 1 = r 1 (cos θ 1 + i sen θ 1 ) y z 2 = r 2 (cos θ 2 + i sen θ 2 ). Entonces

z 1 z 2 = r 1 (cos θ 1 + i sen θ 1 )r 2 (cos θ 2 + i sen θ 2 ) = r 1 r 2 (cos θ 1 cos θ 2 − sen θ 1 sen θ 2 + i(sen θ 1 cos θ 2 + cos θ 1 sen θ 2 )) = r 1 r 2 (cos(θ 1 + θ 2 ) + i sen(θ 1 + θ 2 )),

de donde se sigue que para multiplicar n´umeros complejos en forma m´odulo argumental, se multiplican los m´odulos y se suman los argumentos.

Veamos lo mismo con notaci´on exponencial. En este caso escribimos zk = rkeiθk^ y por tanto

z 1 z 2 = r 1 eiθ^1 r 2 eiθ^2 = r 1 r 2 ei(θ^1 +θ^2 ).

Divisi´on

Podemos dividir complejos en forma binomial multiplicando y dividiendo por el conjugado del divisor:

a + bi c + di

(a + bi)(c − di) (c + di)(c − di)

(a + bi)(c − di) c^2 + d^2

pero, como se ve, resulta algo farragoso.

Si escribimos los complejos como

z 1 z 2

r 1 (cos θ 1 + i sen θ 1 ) r 2 (cos θ 2 + i sen θ 2 ) entonces tenemos

Potencias

Es f´acil darse cuenta de que calcular potencias en forma binomial no es especialmente eficiente. Si escribimos z = reiθ^ tenemos

zn^ = (reiθ)n^ = rn(eiθ)n^ = rneinθ

y obtenemos la expresi´on trigonom´etrica

zn^ = rn(cos nθ + i sen nθ).

Ra´ıces

En esta secci´on se muestra que todas las ecuaci´ones del tipo wn^ = a + bi tienen soluciones complejas.

Es una manifestaci´on muy concreta de una de las diferencias principales entre los complejos y los reales: la completitud algebraica de C.

Es claro que para cualquier n natural, la ecuaci´on wn^ = 0 posee una ´unica soluci´on, w = 0.

Sea z = r(cos θ + i sen θ) = reiθ^ un n´umero complejo no nulo. Nos planteamos el problema de calcular las ra´ıces n-simas de z, siendo n un n´umero natural.

Por otro lado, de (1) no se sigue, como podr´ıa parecer a primera vista, que nα = θ, sino, como apuntamos anteriormente, que existe k ∈ Z tal que

nα = θ + 2kπ.

Por tanto, tenemos que

α = θ n

2 kπ n

Eso nos dar´ıa en principio infinitas soluciones αk para α, una para cada valor de k. Notemos, sin embargo, que si k′^ = k + n, entonces

αk′^ − αk =

θ n

2 k′π n

θ n

2 kπ n

= 2π

y por tanto, considerados como ´angulos, y como argumentos de un complejo, son indistinguibles. En realidad, no tenemos infinitas sino exactamente n soluciones para α, correspondientes a n elecciones consecutivas de n´umeros enteros, que den lugar a ra´ıces n-´esimas distintas de z.

Es decir, tenemos

α 0 = θ n

α 1 = θ n

2 π n

α 2 =

θ n

4 π n .

αn− 1 =

θ n

2(n − 1)π n

y observamos que

αn = θ n

2 nπ n = α 0 + 2π

y por tanto, como argumento de un complejo, da lugar a la misma soluci´on que α 0.