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Ejercicios álgebra lineal 2017 curso básico
Tipo: Ejercicios
1 / 98
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TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
J&J PAYE Hnos.
ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL
ALGEBRA LINEAL
CODEX
QUEDA AUTORIZADA LA REPRODUCCIÓN
TOTAL SIN FINES DE LUCRO
NO AL OSCURANTISMO CIENTÍFICO
DEDICATORIA
“A NUESTRA FACULTAD DE INGENIERÍA, A TODOS
LOS UMSISTAS DE CORAZÓN QUE AMAMOS
NUESTRA PRESTIGIOSA CASA DE ESTUDIO”
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA
2
Ejemplo (1)
Determine si el conjunto de matrices de la forma
a b b
a a b , con la edición
matricial y la multiplicación por un escalar es un espacio vectorial.
Solución:
Debe cumplir con 10 axiomas para el cual usaremos dos conjuntos uno de vectores
Entonces escribimos los vectores a la forma indicada en este caso son matrices (para este tipo de
demostraciones suficiente con tres vectores)
1 1 1
1 1 1 1 a b b
a a b u
2 2 2
2 2 2 2 a b b
a a b u
3 3 3
3 3 3 3 a b b
a a b u
Axioma (1). Clausura Para La Suma: u u V
1 2
Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar
1 1 2 2 1 2
1 2 1 1 2 2
2 2 2
2 2 2
1 1 1
1 1 1
a b a b b b
a a a b a b
a b b
a a b
a b b
a a b
También es 2x2 de la misma forma por tanto verifica
Axioma (2). Conmutatividad Para La Suma:
u 1 u 2 u 2 u 1
Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar la igualdad
1 1 1
1 1 1
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 1 1
1 1 1
a b b
a a b
a b b
a a b
a b b
a a b
a b b
a a b
2 2 1 1 2 1
2 1 2 2 1 1
1 1 2 2 1 2
1 2 1 1 2 2
a b a b b b
a a a b a b
a b a b b b
a a a b a b
Se cumple la igualdad es 2x2 de la misma forma por tanto verifica
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA
3
Axioma (3). Asociatividad Para La Suma:
^
u 1 u 2 u 3 u 1 u 2 u 3
Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar la igualdad
3 3 3
3 3 3
2 2 2
2 2 2
1 1 1
1 1 1
3 3 3
3 3 3
2 2 2
2 2 2
1 1 1
1 1 1 a b b
a a b
a b b
a a b
a b b
a a b
a b b
a a b
a b b
a a b
a b b
a a b
3 3 3
3 3 3 1 1 2 2 1 2
1 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 3
2 3 2 2 3 3 1 1 1
1 1 1 a b b
a a b
a b a b b b
a a a b a b
a b a b b b
a a a b a b
a b b
a a b
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
a a a b b b b b b
a a a a a a b b b
a a a b b b b b b
a a a a a a b b b
Se cumple la igualdad es 2x2 de la misma forma por tanto verifica
Axioma (4). Existencia Del Neutro “
u 1 u 1
Remplazamos nuestros vectores en el axioma y se debe hallar el Neutro “
Si
3 4
1 2
c c
c c
1 1 1
1 1 1
3 4
1 2
1 1 1
1 1 1
a b b
a a b
c c
c c
a b b
a a b
1 1 1
1 1 1
1 1 3 1 4
1 1 1 1 2
a b b
a a b
a b c b c
a c a b c
Dos matrices son iguales si sus componentes son iguales
4
3
2
1
1 4 1
1 1 3 1 1
1 1 2 1 1
1 1 1
c
c
c
c
b c b
a b c a b
a b c a b
a c a
Se cumple ya que existe neutro de 2x2 de la misma forma por tanto verifica
Axioma (5). Existencia Del Inverso “
1 u ” Aditivo:
1 u 1 u
Remplazamos nuestros vectores en el axioma y se debe hallar Inverso “
1 u ” Aditivo
3 4
1 1 2
u u
u u u
3 4
1 2
1 1 1
1 1 1
u u
u u
a b b
a a b
1 1 3 1 4
1 1 1 1 2
a b u b u
a u a b u
Dos matrices son iguales si sus componentes son iguales
1 1 1
1 1 1 1
4 1
3 1 1
2 1 1
1 1
1 4
1 1 3
1 1 2
1 1
a b b
a a b u
c b
c a b
c a b
c a
b u
a b u
a b u
a u
Se cumple ya que existe inverso de 2x2 de la misma forma por tanto verifica
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA
5
Axioma (10). Existencia Del Neutro Para el Producto “
^ k ”: 1
1 1
k u u k
Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar
1 1 1
1 1 1
1 1 1
a b b
a a b
a b b
a a b k
1 1 1
1 1 1
1
1
1
1
1
1
a b b
a a b
ka kb kb
ka ka kb
Dos matrices son iguales si sus componentes son iguales
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
k
kb b
k a b a b
k a b a b
k a a
Se cumple ya que existe neutro multiplicativo y verifica la unidad
Por tanto, las matrices de la forma
a b b
a a b , forman espacio vectorial.
Ejemplo ( 2 )
Determine si el conjunto de números reales positivos forme un espacio
vectorial con las operaciones suma: x y xy y la multiplicación por un
escalar con la operación
Solución:
Debe cumplir con 10 axiomas para el cual usaremos dos conjuntos uno de vectores
Entonces escribimos los vectores a la forma indicada en este caso son los reales positivos (para
este tipo de demostraciones suficiente con tres vectores)
u x
1 u^ y
2 u^ z
3
5 AXIOMAS PARA LA SUMA DE VECTORES
Axioma (1). Clausura Para La Suma: u u V
1 2
Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar
x y xy
Si dos números reales positivos su suma también es un numero positivo como también su
producto por tanto verifica
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA
6
Axioma (2). Conmutatividad Para La Suma:
u 1 u 2 u 2 u 1
Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar la igualdad
x y y x
xy yx
Se cumple la igualdad por tanto verifica
Axioma (3). Asociatividad Para La Suma:
^
u 1 u 2 u 3 u 1 u 2 u 3
Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar la igualdad
xyz xyz
Se cumple la igualdad por tanto verifica
Axioma (4). Existencia Del Neutro “
” Aditivo:
u 1 u 1
Remplazamos nuestros vectores en el axioma y se debe hallar el Neutro “
”
Si
c x c x
cx x c 1 ^1
Se cumple ya que existe neutro forma por tanto verifica
Axioma (5). Existencia Del Inverso “
1 u ” Aditivo:
1 u 1 u
Remplazamos nuestros vectores en el axioma y se debe hallar Inverso “
1 u ” Aditivo
1 u x 1
x
x
x
u
Se cumple ya que existe inverso por tanto verifica
5 AXIOMAS PARA EL PRODUCTO POR UN ESCALAR
Axioma (6). Clausura Para El Producto: k u V
1
Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar
k kx x
Con:
Es R x
sea x
sea x EsR
sea x x EsR
0
Se cumple por tanto verifica
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA
8
Es un conjunto “ S ” no vacío donde sus objetos son llamados vectores sobre los que se definen
Debe cumplir con 2 axiomas para el cual usaremos dos conjuntos uno de vectores
Axioma (1). Clausura Para La Suma: u u S
1 2
1 AXIOMA PARA EL PRODUCTO POR UN ESCALAR
Axioma (2). Clausura Para El Producto: k u S
1
Una segunda forma de caracterizarlos a los 2 axiomas se concreta en la condición
k k R u u S ku ku W
1 , 2 , 1 , 2 ; 11 2 2
En los problemas veremos que es necesario expresar al sub espacio como conjunto con
restricción de esta manera siempre reconoceremos las condiciones del conjunto para fines
prácticos lo veremos de esta forma general
S ESPACIO VECTORIAL / CONDICION
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA
9
Ejemplo (1)
Analizar si los polinomios
3 3
2 a (^) 0 a 1 x a 2 x ax para los que a 0 0 son
subespacios de P 3
Solución:
Debe cumplir con 2 axiomas para el cual usaremos dos conjuntos uno de vectores
forma general
S ESPACIO VECTORIAL / CONDICION 3 / 0 0
3 3
2 S Px a 0 a 1 x a 2 x ax P a
Entonces escribimos los vectores a la forma indicada en este caso son polinomios de grado 3
(para subespacios suficiente con dos vectores )
3 3
2 1 0 1 2
u a ax a x ax a 0 0
3 3
2 2 0 1 2
u b bx bx bx b
Axioma (1). Clausura Para La Suma: u u S
1 2
Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar
(^3)
3 3
2 0 1 2
3 3
2 u 1 (^) u 2 a 0 a 1 x a 2 x ax b bx bx bx P
3 0 0 0
3 3 3
2 1 ^2 0 0 1 1 2 2
u u a b a b x a b x a b x P a b
Con: 0 0
3 3
2 1 0 1 2
u a ax ax ax a 0 0
3 3
2 2 0 1 2
u b bx bx bx b
Es la misma forma por tanto verifica la condición
1 AXIOMA PARA EL PRODUCTO POR UN ESCALAR
Axioma ( 2 ). Clausura Para El Producto: k u S
1
Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar
(^3)
3 3
2 k u 1 ka 0 a 1 x a 2 x ax P
3 ^00 ^0
3 3
2 1 0 1 2
k u ka kax kax kax P a b
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA
11
Axioma ( 2 ). Clausura Para El Producto: k u W
1
Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar
k u k x y z u W
1 1 , 1 , 1 , 1
1 ^1 ,^1 , 1 , 1 ^ ^1 ^ ^1 ^ ^1 ^ ^0 ^1 ^ ^1 ^ ^0
ku kx ky kz ku W kx ky kz ky ku
Verificando la condición kx 1 ky 1 kz 1 0 ky 1 ku 1 0 Con:
u x y z u x y z y u
k x 1 y 1 z 1 0 k y 1 u 1 0
k 0 0 k 0 0
Es la misma forma por tanto verifica la condición
POR TANTO, CUMPLE LOS DOS AXIOMAS ES UN SUB ESPACIO VECTORIAL DE “R
4 ”
Ejemplo ( 3 )
Sea “ V ” un espacio vectorial de matrices 2x2 sobre R y W consta de todas
las matrices talque A A
2 Determine si W es un subespacio de “ V”
Solución:
Debe cumplir con 2 axiomas para el cual usaremos dos conjuntos uno de vectores
forma general W ESPACIO VECTORIAL / CONDICION W A R V A A
x
2 2 2 /
Entonces escribimos los vectores a la forma indicada en este caso son polinomios de grado 3
(para subespacios suficiente con dos vectores )
u A A A
2 1 ; u^ B B B
2 2
1 AXIOMA PARA LA SUMA DE VECTORES
Axioma (1). Clausura Para La Suma: u u W
1 2
Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar
u u A B W
1 2
u u A B W A B A B
2 1 2
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA
12
Verificando la condición ^ A^ ^ B ^ A B
2 Con: u^ A A A
2 1 ; u^ B B B
2 2
REMPLAZAMOS EN LA NUEVA CONDICIÓN
A B A B
2
2 2
2
No Es la misma forma por tanto No verifica la condición
1 AXIOMA PARA EL PRODUCTO POR UN ESCALAR
No es necesario verificar el axioma 2 ya que no verifico el primer axioma
Por tanto, W no es un subespacio de “ V”
Sean W 1 , W 2 , subespacios vectoriales de un espacio vectorial “ V ”, se definen las siguientes
operaciones entre subespacios:
Sean W 1 , W 2 , dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial “ V ”. La intersección de dos
W 1 (^) W 2 x V / x W 1 x W 2
Sean W 1 , W 2 ,dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial (V,+,.R). La unión de dos
subespacios vectoriales se define de la siguiente forma:
W 1 (^) W 2 x^ V / x W 1 x W 2
La UNIÓN de subespacios vectoriales no siempre es un subespacio vectorial
Ya que la UNIÓN de subespacios vectoriales no tiene por qué ser un subespacio vectorial,
necesitaríamos una operación alternativa que recoja en cierta forma la idea de JUNTAR o
AÑADIR propia de la unión, que mantenga la estructura de subespacio vectorial
Para ello se construye la operación SUMA DE SUBESPACIOS:
Sean W 1 , W 2 , dos subespacios vectoriales de “ V” , se define la suma de estos subespacios como:
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA
14
NOTA : La combinación lineal en el ámbito de ingeniería tenemos que verla como una forma más
de escribir un sistema lineal ( OBJETIVO DE LA MATERIA )
m m mn n m
n n
n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
1 1 2 2
21 1 22 2 2 2
111 12 2 1 1
m m mn n m
n
n
b
b
b
x
x
x
a a a
a a a
a a a
2
1
2
1
1 2
21 22 2
11 12 1
A X B
FORMA MATRICIAL
mn m
n
n
n
m m m b
b
b
a
a
a
x
a
a
a
x
a
a
a
x
a
a
a
AX x
2
1
2
1
3
23
13
3
2
22
12
2
1
21
11
El Procedimiento (PASOS A SEGUIR) Para Calcular Los Escalares Que Generan La
Combinación Lineal Se Detalla En El Siguiente Ejemplo
Ejemplo (1)
U u 1 , u 2 , u 3 , u 4 ,....... u n
Solución:
Como Me Piden Determinar Si Es Combinación Lineal Bastaría Con Calcular Cada Escalar Para
Cada Vector Del Espacio Vectorial “U”
Todo vector se puede escribir como la suma de un espacio vectorial multiplicado por un escalar a
cada vector
Entonces reconocemos:
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA
15
Espacio Vectorial:
Combinación lineal:
Remplazamos el vector y el espacio vectorial
1 2 3
1 2 3 1 2
3
3
2
2 2
1
1 1
Dos matrices son iguales si sus elementos son iguales de esta manera forman un sistema lineal
3
2
1
2 3
1
1 2
1 2 3
“Para que sea combinación lineal es sistema de ecuaciones tiene que tener solución
consistente determinado caso contrario no será combinación lineal”
Gauss Jordán Matriz Aumentada
En esta matriz por tratarse el primer ejemplo indicaremos detalladamente el procedimiento para
reducirla al mínimo este procedimiento ya se detalló en el tomo I del texto, pero es necesario
recordarlo.
