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CÁLCULO DE PRIMITIVAS
Primitivas de una función
Dada una función real de variable real
x f x
f
llamamos primitiva de f ( x )a una función F ( x )tal que F ( x ) f ( x ).
Ejemplo
Si
2 f ( x ) 18 x entonces
3 F ( x ) 6 x es una primitiva de f ( x ) ya que
2 F x x f x.
También F ( x ) C ,siendo C cualquier constante, es primitiva de f ( x ) puesto que
( F ( x ) C ) F '( x ) C ' F ( x ) 0 F ( x ) f ( x ).
Por lo tanto, una función f ( x ) llevará asociado un conjunto de funciones
primitivas.
Ejemplo
2 1
3 F 1 (^) x x F x x f x
2 2
3 F 2 (^) x x F x x f x
Integral indefinida
La integral indefinida de una función f ( x ) es igual al conjunto de primitivas de
dicha función.
f ( x ) dx F ( x ) C , C
Propiedades
(^ f^^1 ( x )^ f^2 ( x )) dx f^1 ( x ) dx f^2 ( x ) dx
k^ f ( x ) dx ^ k f ( x ) dx , k
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
1. Integración inmediata
Lo utilizaremos cuando la función que hemos de integrar sea la derivada de una
función conocida.
C
n
f x f x f x dx
n n
1
Ejemplo: C
x x x x x dx
3 5 3 4 2
dx Lf x C f x
f x
Ejemplo: dx Lx x C x x
x
(^45 )
4
3
a C La
a f xdx
f x fx
( )^1 ()
Ejemplo: C L
x dx
x x
3 3 5 5
2
e f xdx e C
f x fx
( ) () '( )
Ejemplo: e xdx e xdx e C
x x x
^
22 22 22
4
dx arctgf x C f x
f x
2
Ejemplo:
dx arctg x C x
dx x
^2
2 2
2. Integración por partes
Este método es adecuado cuando el integrando sea el producto de dos funciones,
siendo una de ellas de tipo logarítmico o exponencial. Llamaremos “ u ” a una de las
funciones y “ dv ” a la otra.
El método se basa en la regla de derivación del producto de dos funciones:
Descomposición en suma de fracciones simples
Calculamos las raíces de Q ( x )resolviendo la ecuación Q ( x ) 0.
Por cada raíz real simple r aparece un sumando x r
A
Por cada raíz real múltiple r de multiplicidad h aparecen h sumandos
h
h
x r
A
x r
A
x r
A
x r
A
3
3 2
1 2
Por cada par de raíces complejas simples ( i )y ( i )aparece un
sumando 2 2 ( )
x
Mx N .
Las constantes A, A 1 , A 2 , A 3 ,…, M y N se determinan identificando el numerador del
integrando con el numerador que resulta al sumar todas las fracciones simples.
Ejemplo:
dx x x
x
3 2
3
2
2
3 2 2
x x
Ax Bx x Cx
x
C
x
B
x
A
x x
x
x x
x
Entonces ha de ser: 2 1 ( 1 ) ( 2 )( 1 ) ( 2 )
2 x Ax Bx x C x
E identificando coeficientes,
1 2 2 ( min )
2
A B C tér osindependie ntes
A B C coeficientedex
A B coeficientedex
A B C
C
x x
x C L
x Lx Lx
dx x
dx x
dx x
dx x x
x
1 1 /^3
3 2
4. Integración por cambio de variable
Cuando la integral no se adapte a ninguno de los métodos anteriores haremos un
cambio de variable (llamando t a una función de la variable x ), para transformarla en
otra que sí se adapte. Resuelta la integral, volveremos a la variable inicial.
Cambio de variable en funciones racionales de :
x e
t
dt
e
dt e dx dt dx
e t
x
x
x
Ejemplo:
arctgt C arctg e C
dt t t
dt
t
t dx e
e dx e
e
x
x
x
x
x
2 2 2 2
Cambio de variable en funciones con raíces de x ( , ,...):
1 / 2 1 / 3 x x
1
1 /
siendom mc m dx m t dt
x t t x
m
m m
Ejemplo:
5
6 16
5 2
3
1 / 3
1 / 2
3
con mc m dx tdt
x t t x
t dt t
t dx x
x dx x
x
x asctg x C
x x x t arctgt C
t t t
dt t
dt t t t dt t
t
^
1 / 6 1 / 6
7 5 3 7 / 6 5 / 6 3 / 6
2
6 4 2 2
8
xdx y
dy x y dx
dy 2 3
2 x^2 C L y x C y Ke siendok e
2 3
x y ke Solución general de la ecuación diferencial
2. Ecuaciones lineales
Son aquellas que se pueden escribir como y f ( x ) y g ( x ).
Para hallar la solución general, primero se resuelve la ecuación homogénea
asociada: haciendo g ( x ) 0 , se resuelve la ecuación y f ( x ) y 0. Esta ecuación se
puede resolver por el método anterior, separando las variables: f x dx y
dy ( ). Se
obtiene una solución particular, a la que llamamos yH.
A continuación, se busca la solución general de la ecuación lineal
y f ( x ) y g ( x ) , haciendo que dicha solución sea de la forma y u ( x ) yH. Para
encontrar la función u ( x ), sustituimos la solución y u ( x ) yH junto con su derivada
y ' u '( x ) yH u ( x ) y ' H en la ecuación diferencial.
Ejemplo:
x y y e
3
Resolvemos la ecuación homogénea asociada: y y 0
x H
x dx Ly x C y ke y e y
dy y dx
dy
Hacemos que
x y u e sea solución de la ecuación para hallar u.
x x y u e u e
e du e dx u e C e
e
dx
du u e ue ue e
x x x x
x x x x x
2 2 2
3 3
2
Por tanto, la solución general es
x x y e C e
2
2
Para concluir veremos un ejemplo de aplicación a la resolución de un problema
económico.
Ajuste dinámico del precio de un bien en el mercado
Suponemos que:
- La oferta y la demanda de un bien dependen sólo de su precio.
Sean S ( t ) c dP ( t ) y D ( t ) a bP ( t ), con a , b , c , d 0 las funciones de oferta y
demanda del bien en un momento del tiempo.
- El precio varía en función del exceso de demanda:
Sea () (),
k Dt St dt
dP t con (^) k 0.
- El precio en el momento inicial es P ( 0 ) P 0.
En base a estos tres supuestos podemos averiguar la trayectoria temporal del precio
resolviendo una sencilla ecuación diferencial.
Ejemplo:
Dt S t dt
dPt
Dt Pt
St Pt
y P ( 0 ) 30
Sustituimos en la expresión de la variación del precio las funciones de oferta y
demanda:
p p dt
dP p p dt
dP
4
que se puede resolver como una ecuación diferencial lineal.
p dt
dP
Ecuación Homogénea asociada: p dt
dP p dt
dP
4
t H
t dt L p t LC p C e p e P
dP (^) 4
3 4
3
^
Hacemos que
t P u e^4
3 sea solución de la ecuación diferencial:
