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Conceptos básicos de primitivas indefinidas y su relación con las ecuaciones diferenciales. Se incluyen ejemplos y propiedades para su comprensión.
Tipo: Apuntes
1 / 58
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MATEMÁTICAS I ADE
UNIVERSIDAD DE ALICANTE
JOSE ANGEL SILVA REUS
BLOQUE III: INTEGRACIÓN Y SERIES1. Integración indefinida. Propiedades2. Métodos de integración3. Introducción a las ecuaciones diferenciales4. Integración definida. Regla de Barrow5. Aplicaciones de la integral definida6. Integrales impropias. Convergencia7. Definición de sucesión. Límite de una sucesión8. Definición de serie. Criterio general de convergencia9. Series geométricas y armónicas
MATEMÁTICAS I ADE
UNIVERSIDAD DE ALICANTE
JOSE ANGEL SILVA REUS
BLOQUE III: INTEGRACIÓN Y SERIES1. Integración indefinida. Propiedades
MATEMÁTICAS I ADE
UNIVERSIDAD DE ALICANTE
4
JOSE ANGEL SILVA REUS Ejemplos
x
x
∫
∫
x
x
∫
2
3
∫
x
x
x
x
x
x
(
)
(
)
(
)
1
1
ln( )
'^
ln( ) '
'^
0
x
C
x
C
x
x
=
=
=
MATEMÁTICAS I ADE
UNIVERSIDAD DE ALICANTE
JOSE ANGEL SILVA REUS
Sean
primitivas de
Teorema:- Dos Primitivas de una función se diferencian en una constante Sean entonces:
primitivas de
entonces:
1
2
( ) y
( )
F
x
F
x
f
x
2
1
2
1
( )
( )
( ) -
( )
F
x
F
x
C
F
x
F
x
C
=
=
1
2
( ) y
( )
F
x
F
x
Sean
primitivas de
entonces:
f
x
1
2
( ) y
( )
F
x
F
x 2
1
2
1
( )
( )
( ) -
( )
F
x
F
x
C
F
x
F
x
C
=
=
Sean
primitivas de
entonces:
f
x
1
2
( ) y
( )
F
x
F
x
Sean
primitivas de
entonces:
1
2
( ) y
( )
F
x
F
x
Sean
primitivas de
entonces:
1
2
( ) y
( )
F
x
F
x
MATEMÁTICAS I ADE
UNIVERSIDAD DE ALICANTE
JOSE ANGEL SILVA REUS
Propiedades •
Linealidad
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
( ) ( )
f
x dx
f
x dx
f
x
g x
dx
f
x dx
g x dx
f
x
g x
dx
f
x dx
g x dx
α
α
α
=
∀
∈
=
−
=
−
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ℝ
Homogeneidad^ Aditividad
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JOSE ANGEL SILVA REUS
Propiedades
(
)
'^
( )
F
x dx
F x
C
=
∫ '( )
( )
( )
F
x dx
dF x
F x
C
=
=
∫
∫
MATEMÁTICAS I ADE
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JOSE ANGEL SILVA REUS
−
=
=
≠ −
=
=
=
=
= −
=
∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫ ∫
r^
1
r (^1) x
x
2 k dx
kx
C
x
x dx
C
r
1
r
(^11)
x
dx
dx
ln(x)
C
[x
0]
x
e dx
e
C
cos(x)dx
sen(x)
C
sen(x)dx
cos(x)
C
1
dx
arctg(x)
C
x
1
Tabla de Integrales inmediatas
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Las propiedades anteriores junto con la tabla de primitivas sirven para calcularintegrales sencillas.
Ejemplos
3
3
1
1
3
3
3ln( )
ln(
)
dx
dx
x
C
x
C
x
x
x
dx
=
=
=
=
∫
∫
∫
2
3
2
4
(
3
)
1
x
x
dx
x
=
= −
∫
∫
∫
sen(x)
cos(x) dx
sen(x) dx
cos(x) dx
cos(x)
sen(
x)
C
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4
4
5
5
5
4
x
x
dx
dx
x
x
u
x
du
x dx
∫
∫
Ejemplos
2
3
2
3
2
3
2
1
1
(
)
2 (
)
(
) 2
2
2
5
2 t
t
dt
t
t
dt
t
tdt
u
t
du
=
=
=
=
= ∫
∫
∫
MATEMÁTICAS I ADE
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JOSE ANGEL SILVA REUS
(
)
2
x
x
x
∫ ∫
MATEMÁTICAS I ADE
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JOSE ANGEL SILVA REUS
x
xe dx
∫
udv
uv
vdu
∫
∫
x
x
x
x
x
dv
e dx
v
e
u
x
du
dx
xe dx
xe
e dx
=
⇒ =
=
⇒
=
=
−
∫
∫
x
x
x
xe dx
xe
e
C
=
−
∫
Ejemplos
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JOSE ANGEL SILVA REUS
BLOQUE III: INTEGRACIÓN Y SERIES3. Introducción a las ecuaciones diferenciales
MATEMÁTICAS I ADE
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Se sabe que la segunda derivada de una función es
2
f ''(x)
x
6
=
−
y que la función cumple que f(1) = -1, f’(0) = 2; calcula esta función.
3
1
3
1
1
3 4
2
2
1
f '(x)
x
6x
C
3
sustituyendo el valor que nos dan, se tiene
1
2
f '(0)
0
6·
C
C
2
3
de donde
1
f '(x)
x
6x
2
3
repitiendo el proceso,
1
f(x)=
x
3x
2x
C
12
sustituyendo el valor que nos dan, se tiene
1
1
= f(1)
−
=
=
−
⇒
=
=
−
−
−
=
=
4
2
2
2
4
2
1
1
3·
2·
C
C
12
12
de donde
1
1
f(x)
x
3x
2x
12
12
−
⇒
= −
=
−
−
Integrando f’’
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JOSE ANGEL SILVA REUS 3.2. Ecuaciones diferenciales Los ejemplos anteriores los podríamos haber expresado de la siguiente manera:Calcula una función (incógnita) “y” tal que:
Lo que tenemos es una relación entre las derivadas de una función“y” que no conocemos y la variable “x”. Esto es lo que se denominaecuación diferencial
y(0)
2;
y '
2x
=
=
