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Espacio tridimensional martes, 22 de octubre de 2024 5:00 «Espaso Y, dimensional Aledores Aparacones vectoriales Artero veo! VECTORES EN R Conceptos básicos li Terna Orvenvana- Llomaremos Terna ordenada a tes obielos cualquiera 2, NN, 7 que deridaremos por (X,y 2), donde “X" es Momado la primera componeñle. “la Segunda comporeñte ya la Fexcera componedle Don temas ordenadas iguales si sus les componentes son iopales, En forma simbólica es: 12. Espacio Mridimensional. Es pacio dimensional es el conjunto de los temas, donde coda Terna ordenada (x,1,2) se enomina puño del espaco Vridimensiondl ETes DE COORDENADOS - Lo diveccion positiva se indica, por medio de la Pleha. los ges de coordenadas komando de dos en dos delerminan los planos Coordenados : plano XY, plano X2 y plano VZ se dividen en 0 (Caiones Vomadas odo es. Distancia eftre dos puros en Ro; Segmedo diigido PA se Mama vedor Pa Q ——» —> A Q N dendlaremos por: Pa = 0 ES P x 1,2. VECTOR TRINIMENSIONAL +(Za -2)* | dB.P)= xP +02 la distancia no divigida ente dos putos P (4%, Y, 21) y % (2,0, 22) en el espauo dimensional. OBSERVACIONES O A los vedores Hidimensionales se dedo por: E A vedor CAJAS componentes so 10,/0,0) Womoremos A=(0, 02,03) , D=(b,.br,bs), Uz(c1,C2,C9), ..., ee vector CONO y simboli2aremos por: 0=(0.0,0) OA coniuio de vedores Awdimensionales desdiaremos por Vs, () Di dE NM] =>A=(0,,02,0), dl gueto del vdor Y de modo que :Va= R”= [A =( 01,9,,0/ 0, ,0,, 0 ER) quedara definido por: -T=-(0,,A,,s) = (-0,, -0.,-05) JA. T eferprélocion geomé ica de un vector Hidimensional. Ja Q- (01, Ma 0) UN vedor en el espaco, vepresertando UN se9meo dirigido tol cono Q(U+a,.y+a,,z+a,) Pa: donde Plx.y,?) es el puño inicial N Qlx+ 01, 4402, 2403) es el eíliemo libre de ved > — ; a=PQ=Q-P=(1+a,,y+a,,2+43)-(x, y,2) = (a, 05.03) 15 Nedor de posicion o radio vector. Un vettor Ú=(0,,0,,04) es de posicion, Di el puño ol conde con el Origga de coordenadas y a emo libre del vedor esta ubicado en quie, Ouñlo del espay O. 10. OPERACIONES Com VECTORES- O Y gualdod de vectores. “Dos vedores Ayb son iguales si y solo Si, Sus componeñles concespondieales toman los EEE pele es desir: 7 Ñ 7 O = > A aso bid 1 QA,b EN3 SÑOnces escribiremos A =(0,,0,,0s) ; o =(b, b: ba) y AKpresomos Ti Orba a oscba nobo. > /% Di A yo no son iguales, eñlonces esuibivemos : Y Hw “<> 0 fb; pora Aga j=1,2,3 puro inicial punto iaicial Exempro- Hallar el valor de M=+x=11y +52, 5í 3'=8, donde =(2x-2,3Y-1,1433) y D=[x-2+3, 24-32 109y+52) A =b 5 (2x-2,34-1,X+32)= (x-2 +43, 21-32, X+14 52) 2x7 = XA 3 x=3 5 se a 7 | (0) Produdo de un escolar por un vector. Den A un escalar (7 € R) y Sea Ae, UN vector tridimensional llamaremos produo A por a dendlado pov AA Di ad € da => 2=(0,,01,0s) luego se hiere AQ =Alo1, 0,0) = (Ao, Ao», 203) “Propiedades de la mul iplicacion de un escalay por un vedor. DO 1.0 esun vedor Unifomidad O AB) 10 +18 Distiboliva (2) (1501 +s 0 Ditibilivo (O vr(s-3)=(15)0 Asoudiva S La=3 Elemento neutro Y+32=] N+32=1 N-2?+=0 y+ 3 =1 Y 2=1 y = 1-3 y=-2. (C) Suma DE VECTORES TRIDIMENSIONALES 9 a,b € da, enontes 3 =(0,,0,,0s), b =(b,.ba. ba) Exemero: Di A=(3,5,P y b=(1,4,6) estonces: a+b=(3,5,% +(1,4,6) = (3+1, S+4, ++6) = (4,9, 13) (O) Tstespreación geoméhvica de la numa de vedores - Método del poralelogiomo - Método del Friamaul - Método del piano vedoria) (e) “Propiedades de la suma de vedores. “fa Xodo vectol a,b, T se veritica los siguenles propiedades. O d+b es un vedhor Unibormidad O A+b=b+0 5 Conmuletiva O a + (by 7). (0 +b *C Asoud yAQ > > () Ya” vedor, existe un único vedor -Q tal que 0 +(a)=0 Tnveso aditivo O Wa vector, existe on único vedor O +ol que A+0=0 Neuvo aditivo, (E) DirerEncIA DE VECTORES Consideramos los vedores a,b: la diferencia > debine d-E=d+(5) Si 7, E ev => 0=(0,.0..03), B=(br, baba), de donde: ¡Heb =lorby a bo Os bl, EJEMPLO: Dean d=(-1,3,5) y ELu,8,16). Hallar 3(E-23)+67-28 b-23 =(4,8,16)-2(-1,3,5)= (4,8,16) -(-2, 6,10) = (6,2, 6) 64 - 2b = 6(-1,3,5) -2(4,8,16)=(-6,18,30)-(8,16, 32) = (-14,2 ,-2) 3(8-27) +60 -2bB = 3(6,2,6) +(-14,2,-2) =(18,6,18)+-14,2,-2)= (4,8 10) 1+- Loworrub O HÓbULO O VORMA DE UN VECTOR - Ol a€ Va > A =(01,04,03), de donde IS | Exempro: Sí 220,35) > 181] =J1+a+25 = 435 e | PROPIEDADES DEL MÓDULO DE UN VECTOR O lalo, 1 3er) Olea nd, YE VS vER Y (il=02S3=3 MO ]13+51<131 +18, Y 3 ,B € vs (desigualdo Fúangoa] J8- Vector Umar. De llamo vector onifario, al veo CUYO encdolo es la onidad , eS decir: a es un vedor ontario Si N solo 5 MIE 1 ExsempLo: El vedor EE 2 (al. [hy 26 = (Lol = MT = 1 50 2 50 2 2 TeorEenaA- Dodo vn vedor O FO, entonces el vedor U- A_ es un vedor unitario hall Denostanción Sea de. => 3-=(0,0,,0,) + (0,0,0), ealonces: US - 01,0 e) es unitario si Wu l=1 es decir: y ) es unitario por que. o Cl Ps A lar Y oa - A [Ea MEE hon) cn lin ham pa Nan: am (ati? Pr lo dolo, como má =1 enonces mes unitavio Exenmrro: HA 02-0,3,5) > llQ ll - fr+aras = 635 por lo Forto 7. Y. (52052) es unitario lat 1435 d35 d3s 19 Comeinación JINEAL DE VECTORES ea JQ,,%z,... 0), Wamaremos COmbinacion lineal a ES donde Y Ya... fn ER DEFINICIÓN: Liremos que el vector a esta expresado en combinó lineal. de los vedores b Y Cs exslen escolares 5,1 ER, Ad que : Q=3b+1T EJEMPLO: Expresar e) vedor a=(9,4,16) en combinacion lineo] de los vcioles b=(3,-1,2) y C=(4,2,4) —> > — QA = 0ub + pc (9,4,161 = 0(3,-1,2) +8(1,2,4) S9X +P6=9 3 + fP=9 30 + $29 -0.+28B: 3=(0,,0,.03) , D=[b, b..by 0-5 =lo.,0,,01)(b..bx,b) = O,b,+02b,+0:b; Esemeno: Si Os(2,1,3) y D=(3,2,1) erdonces. 0-b =(2,1,3)1(3,2,1)=6+2+3=11 CPaoPIedADES DEL PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES, O 0-b=b.9 O 13 11- (33 O (1318 =r(3.5) O (6:13 -83+70 O 762-3537 OQlall=3.3 Exenpro: Si MO M=F, NM N<3 y O-b=-4 Hallar M=(1m0 + 3b)(24+ vb M= OI +32 FB) 22.372 0'b + 68B + 215.5 = 22 110 1"483 db + 21 1151)* = 22 (49) + 83-49) +2)(9) = 1078 -332+189=935 M = 935. 
