FORMULARIO Introducci´o al C`alcul
Funciones trigonom´etricas
sin(x+y) = sin xcos y+ cos xsin ycos2x=1 + cos 2x
2sin2x=1−cos 2x
2
cos(x+y) = cos xcos y−sin xsin ytan(x+y) = tan x+ tan y
1−tan xtan y
F´ormula de Taylor: f(x) = f(x0) + f0(x0)(x−x0) + f00 (x0)
2! (x−x0)2+· ·· +f(N)(x0)
N!(x−x0)N+RN(x)
RN(x) = f(N+1)(c)
(N+ 1)! (x−x0)N+1, donde cest´a entre xix0(resto de Lagrange).
C´alculo de primitivas
Zu0uαdx =uα+1
α+ 1 +C , α ∈R, α 6=−1Zu0
udx = ln |u|+C
Zu0
a2+u2dx =1
aarctan u
a+CZu0audx =au
ln a+C
Zu0sin u dx =−cos u+CZu0
√a2−u2dx = arcsin u
a+C
Zu0cos u dx = sin u+C
Cambio de variable: si Zf(x)dx =F(x) i x=g(z), entonces Zf(g(z))g0(z)dz =F(g(z))
Integraci´on por partes: Zudv =uv −Zvdu
Integraci´on aproximada
Trapecios: Zb
a
f≈b−a
nf(a)
2+f(x1) + . . . +f(xn−1+f(b)
2; error<(b−a)3
12n2max
x∈[a,b]|f00(x)|
Integrales impropias ´utiles:Z∞
1
dx
xαconv. si α > 1,div. si α≤1
Sucesiones
Criterio de Stolz: lim an= lim bn= +∞,(bn) estric. creciente ⇒lim an
bn
= lim an−an−1
bn−bn−1
si existe, finito o infinito.
F´ormula de la ra´ız: si existe lim an+1
an
(finito o infinito), entonces lim n
√an= lim an+1
an
Series
∞
X
n=0
rnconvergente ⇔ |r|<1, suma = 1
1−r;X
n≥1
1
nαconvergente si α > 1, divergente si α≤1
Criterios para series de t´erminos no negativos:
Comparaci´on directa: an≤bn∀n≥n0⇒(Xbnconvergente ⇒Xanconvergente
Xandivergente ⇒Xbndivergente
Comparaci´on en el l´ımite: lim an
bn
=l(6= 0,6=∞)⇒hXanconvergente ⇔Xbnconvergentei
Criterio del cociente : lim an+1
an
=l
Criterio de la raiz : lim n
√an=l)⇒(l < 1⇒Xanconvergente
l > 1⇒Xandivergente
Criterio integral: fcontinua, positiva, decreciente, f(n) = an∀n≥n0⇒
∞
X
n=1
anconvergente ⇔
∞
Z
1
fconvergente
Series alternadas. Criterio de Leibniz: an>0,lim an= 0,(an) decreciente ⇒X(−1)nanconvergente
Sumas aproximadas:
M´etodo integral: fcontinua, positiva i decreciente, f(n) = an∀n≥n0⇒S−SN≤
∞
Z
N
f
Alternadas: an>0,lim an= 0 ,(an) decreciente ⇒ |S−SN| ≤ aN+1
