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Nuc(T)={(x,y)R^2 /T(x,y)=0w} T(x,y)=0w (x+y) = (0,0) x+y = 0 ----> x = -y Nuc(T)={(-y,y); x E R}={(-y,y)} ; x E R} Nuc(T)={y (-1,1) ; x E R} Nuc(T)=L{(-1,1)} Para hallar la nulidad de T, hallemos la dimensión del Nuc(T). Dim (Nuc(T))=v(T) = 1 Ahora hallamos la imagen de T. Img(T)={w=(a,b);u=(x,y)T(u)=w} T(u)=w (x+y)=(a+b) x+y = a+b -----> x = a , y = b Img(T)={w=(a,b); b = y} Img(T)={(a,b) E R3}={(b(0,1) + a(1,0) a,b, E R} Img(T)=L{(0,1), (1,0))} Para hallar el rango de T, hallamos la dimensión de Img(T). Dim(Img(T))=(T)=
Para demostrar que T es una transformación lineal, tomamos dos funciones f y g en el espacio vectorial V de funciones. Queremos demostrar que T ( f + g )= T ( f )+ T ( g ). Primero, calculemos T ( f + g ) = T ( f + g )=( f + g ) +(′ f + g )′′ Ahora, calculemos T ( f ) y T ( g ): T ( f )= f ′+ f ′′ , T ( g )= g ′ + g ′′ Ahora, comparemos T ( f + g ) con T ( f )+ T ( g ): T ( f + g )=( f + g ) +(′ f + g )′′ T ( f )+ T ( g )=( f ′+ f ′′)+( g ′ + g ′′) Notamos que T ( f + g ) es igual a T ( f )+ T ( g ). Por lo tanto, se cumple la propiedad de adición de vectores para T. Para demostrar que T es una transformación lineal, tomamos un escalar c y una función f en V. Queremos demostrar que T ( cf )= cT ( f ). Primero, calculemos T ( cf ): T ( cf )=( cf ) +(′ cf )′′ Ahora, calculemos cT ( f ): cT ( f )= c ( f ′+ f ′′) Comparando T ( cf ) con cT ( f ): T ( cf )=( cf ) +(′ cf )′′ cT ( f )= c ( f ′+ f ′′) Notamos que T ( cf ) es igual a cT ( f ). Por lo tanto, se cumple la propiedad de multiplicación por escalares para T. Dado que hemos demostrado que T satisface ambas propiedades de transformación lineal, podemos concluir que T es una transformación lineal. Tomemos dos funciones f y g en c^1 [0,1] C^1 [0,1]. Queremos demostrar que D ( f + g )= D ( f )+ D ( g ). Primero, calculemos D ( f + g ):
kT ( u )= k ( u ′+ u ′′) Notamos que T ( ku ) es igual a kT ( u ). Por lo tanto, se cumple la propiedad de multiplicación por escalares para T. En resumen, hemos demostrado que T es una transformación lineal, ya que cumple con las propiedades fundamentales de las transformaciones lineales (adición de vectores y multiplicación por escalares). Para cT , el mismo razonamiento se aplica, ya que cT ( v )= c ( v ′+ v ′ ′ )= cv ′ + cv ′′, y esto también satisface las propiedades de una transformación lineal. Para encontrar la representación matricial AT de la transformación lineal T , primero debemos entender la relación entre las bases canónicas de los espacios de entrada y salida y las transformaciones lineales. Dado que estás trabajando en R2, las bases canónicas son { e 1 , e 2 } y { f 1 , f 2 }, respectivamente, donde: e 1 =[1,0], e 2 =[0,1] son los vectores de la base canónica en R2 y f 1 =[1,0], f 2 =[0,1] son los vectores de la base canónica en R2 (el espacio de salida). La transformación lineal T está definida como: T ([ x,y ])=[ x −2 y, − x + y ] Para encontrar la matriz AT que representa a T , primero calculamos T ( e 1 ) y T ( e 2 ): T ( e 1 )=[1−2⋅0,−1+0]=[1,−1] T ( e 2 )=[0−2⋅1,0+1]=[−2,1] Ahora, formamos la matriz AT tomando los vectores T ( e 1 ) y T ( e 2 ) como columnas: AT =[1−1−21] Esta es la matriz AT que representa la transformación lineal T. Para encontrar la nulidad nu ( T )), la imagen im ( T )), el núcleo ( N ( T )), y el rango ( r ( T )) de la transformación lineal T representada por la matriz AT =[1 −1 , −2 1], podemos hacer lo siguiente:
- Nulidad ( nu ( T )) : La nulidad de T es igual a la dimensión del núcleo ( N ( T )). El núcleo de T está formado por los vectores en R2 para los cuales T ( v )= 0 (el vector nulo). Para encontrar el núcleo, resolvemos el sistema de ecuaciones homogéneas asociado a T( v )= 0 : [1 −1, −2 1 ][ x, y ]=[0, 0] Este sistema se reduce a las siguientes ecuaciones: x−2 y= 0, − x + y =
Resolviendo estas ecuaciones, obtenemos 0 x =0 y 0 y =0, lo que significa que el núcleo N ( T ) solo contiene el vector nulo. Por lo tanto, T =dim( N ( T ))=0.
- Imagen ( im ( T )) : La imagen de T es el conjunto de todos los vectores w en R2 para los cuales existe un vector v en R2 tal que T ( v )= w. Para encontrar la imagen, multiplicamos la matriz AT por cualquier vector en R2: AT [ xy ]=[1 −1, −2 1 ][ x, y ]=[ x −2 y , − x + y ] La imagen im ( T ) es el conjunto de todos los vectores que se pueden obtener de esta forma, que es igual a R2 porque cualquier vector en R2 se puede obtener como T ( v ) para algún v en R2. Por lo tanto, im( T )=R2.
- Rango ( r ( T )) : El rango de T es la dimensión de su imagen ( im ( T )). En este caso, como hemos encontrado que im ( T )=R2, entonces dim( im ( T ))=2.
- Núcleo ( N ( T )) : Hemos encontrado anteriormente que N ( T ) solo contiene el vector nulo 0, por lo que la dimensión de N ( T ) es cero. En resumen: nu ( T )= im ( T )=R r ( T )= N ( T ) contiene solo el vector nulo. Para encontrar una transformación lineal T −1^ que sea la inversa del isomorfismo T : V → W entre los espacios vectoriales V = P 4 y W ={ p ∈ P 5 : p (0)=0}, primero debemos entender la naturaleza del isomorfismo T. Isomorfismo T : V → W : El isomorfismo T lleva un polinomio p ( x )∈ P 4 a otro polinomio q ( x )∈ W de la siguiente manera: T ( p ( x )) = q ( x ) donde q ( x ) es el mismo polinomio que p ( x ), pero extendido a 5 P 5 con q (0) = 0. Es decir, q ( x )= p ( x ) para p≠0, y q (0)=0. Encontrar la transformación inversa T −1: La transformación inversa T −1^ llevará un polinomio q ( x )∈ W de vuelta a 4 p ( x )∈ P 4. En otras palabras, eliminará la restricción q (0)=0 y convertirá q ( x ) nuevamente en p ( x ). Entonces, T −1^ simplemente "desprenderá" la restricción q (0)= 0. Matemáticamente, si q ( x ) es un polinomio en W , T −1( q ( x )) será el mismo polinomio q ( x ) sin la restricción adicional: T −1( q ( x ))= q ( x )
