Introducción a la Probabilidad: Conceptos Básicos y Aplicaciones en Estadística Descriptiv, Diapositivas de Estadística Descriptiva

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TEMA 5: PROBABILIDAD

• Introducción. Conceptos básicos
• Probabilidad
• Probabilidad condicionada
• Teoremas de la probabilidad total y de Bayes

Introducción a la probabilidad. Conceptos basicos

El término probabilidad se utiliza habitualmente en relación con que ocurra un determinado suceso cuando se lleva a cabo un experimento.

Definición: Un experimento es cualquier proceso que produzca una observación o resultado.

Tipos de experimentos

experimentos determinista cada vez que se repite se obtiene el mismo resultado

experimentos aleatorios no siempre se obtiene el mismo resultado INCERTIDUMBRE

Ejemplos de experimentos aleatorios:

• Lanzar una moneda y observar si sale cara o cruz.
• Contar el número de llamadas que llegan a una centralita en una hora.
• Las puntuación resultantes en el lanzamiento de dos dados.
• Número de fallos de un ordenador durante un mes.

En el análisis de cualquier fenómeno en el que interviene el azar hay dos conceptos fundamentales:

• Los acontecimientos que pueden producirse: Espacio Muestral (Ω) .
• La probabilidad con que se presentan cada uno de ellos.

Definición : Cualquier subconjunto de resultados de un experimento se denomina suceso.

Si Ω =

 Suceso elemental (^) los posibles resultados del experimento o componentes del espacio muestral ( ). Formado por un único elemento del espacio muestral. Ejemplo: tirar un dado y que salga un 5.

 S uceso compuesto (^) las uniones de sucesos elementales

( ) Formado por más de un elemento del espacio muestral. Ejemplo: tirar un dado y que salga un número par: 2, 4 o 6.

Ω espacio muestral

Suceso compuesto

Suceso elemental

Operaciones con sucesos

Ω espacio muestral

 Se llama suceso contrario (complementario) de un suceso A, al formado por los sucesos que no están en A.

El suceso seguro, Ω, es aquel que siempre ocurre al realizar el experimento.

 El suceso imposible, Ø, es aquel que nunca ocurre como resultado del experimento.

A A

la vez, es decir, A∩B = Ø.

Operaciones con sucesos

Ω espacio muestral

 Se llama suceso intersección de A y B, A∩B, al formado por los resultados experimentales que están simultáneamente en A y B.

 Se dice que dos sucesos A y B son incompatibles si no pueden ocurrir a

A B

Ω espacio muestral

A (^) B

Ejemplo Hallar un espacio muestral adecuado para describir las puntuaciones obtenidas al lanzar dos veces un dado. Si A, B y C son sucesos definidos por: A = { el primer resultado es 2}, B = { el segundo resultado es 2} y C = { la suma de los resultados es 5}. Caracterizar: AUB, A∩B Ac∩Bc^ , (AUB)∩C c^ , AU(B∩C c)

Ejemplo

Ω ={ (1,1), (1,2), …, (1,6), (2,1),…, (2,6), (3,1), …, (5,6), (6,6)} A = { (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) }; B = { (1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2) } C = {(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}.

A∩B = {(2,2) }, AUB = {(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2),(2,5),(5,2),(2,6),(6,2) } Ac∩Bc^ = (AUB)c^ = {ninguno de los resultados es dos} (AUB)∩Cc^ = {alguno de los resultados es 2, pero la suma no es 5 } = { (1,2),(2,1),(2,2),(2,4),(4,2),(2,5),(5,2),(2,6),(6,2) } AU(B∩Cc^ ) = { o bien el primer resultado es 2, o bien el segundo es 2 y el primero no es 3 } = { (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(4,2),(5,2),(6,2) }

Leyes de Morgan Hay ciertas propiedades de la unión, intersección y suceso contrario que son conocidas bajo las leyes de Morgan

(A U B)c^ = Ac^ ∩ Bc

(A ∩ B)c^ = Ac^ U Bc

Propiedades básicas que poseen las probabilidades

1. Para cualquier suceso A, 0 ≤ P(A) ≤ 1
2. P(A) =

3. P(Ω) = 1

4. Si A y B son sucesos incompatibles, entonces P(A U B) = P(A) + P(B)

Propiedades básicas que poseen las probabilidades

Ejemplo Una máquina ha producido 50 piezas del Tipo I y 200 del Tipo II.Cada una de estas piezas puede ser defectuosa o aceptable. La distribución bivariante es la siguiente:

•P(Defectuoso)=20/250=0.

Si seleccionamos un artículo al azar ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? Si seleccionamos un artículo al azar ¿Cuál es la probabilidad de que sea del Tipo II? (^) P(Tipo II)=200/250=0.

Tipo I Tipo II TOTAL

Aceptables 46 184 230

Defectuosas 4 16 20

TOTAL 50 200 250

Ejemplo Una máquina ha producido 50 piezas del Tipo I y 200 del Tipo II.Cada una de estas piezas puede ser defectuosa o aceptable. La distribución bivariante es la siguiente:

Un comprador quiere una pieza del Tipo II que funcione. Se extrae una pieza al azar de las 250, ¿Cuál es la probabilidad de sacar una pieza NO VÁLIDA)

Tipo I Tipo II TOTAL

Aceptables 46 184 230

Defectuosas 4 16 20

TOTAL 50 200 250