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Traballo Fin de Grao

Introducción a la Teoría cualitativa

de ecuaciones diferenciales

Aida Vázquez Pardo

UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA

Trabajo propuesto

Área de Coñecemento: Análisis Matemático

Título: Introducción a la Teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales

Titora/Cotitora: M. Victoria Otero Espinar/Érika Diz Pita

Breve descrición do contido Las ecuaciones diferenciales son una herramienta fundamental en la modelización de multitud de problemas, pero muchas veces son difí- ciles o imposibles de resolver, por lo que es importante disponer de otras herramientas que nos proporcione información sobre el compor- tamiento de los sistemas. En este trabajo se abordará el estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias en el plano mediante el uso de téc- nicas cualitativas que permitan comprender el sistema. El objetivo principal será el estudio del comportamiento de las órbitas en entor- nos de las singularidades. Se estudiarán y se presentarán los resultados relativos a las singularidades elementales y se introducirán las técni- cas adecuadas para las no elementales. Los resultados estudiados se aplicarán a distintos modelos matemáticos.

Recomendacións

Haber cursado la asignatura de “Ecuaciones Diferenciales Ordinarias”

iii

v

“Un científico digno de ese nombre, sobre todo un matemático, experimenta en su trabajo la misma impresión que un artista; su placer es tan grande y de la misma naturaleza.” Henri Poincaré (s. XIX)

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Índice general

Resumen xi

• 1. Resultados básicos de ecuaciones diferenciales Introducción xiii
  • 1.1. Campos vectoriales y flujo
  • 1.2. Diagrama de fases entorno a un punto regular
  • 1.3. Clasificación de las singularidades de un sistema
  • 1.4. Diagrama de fases entorno a una singularidad
  • 1.5. Elementos esenciales de un diagrama de fases
• 2. Singularidades hiperbólicas y semihiperbólicas
  • 2.1. Teorema de las singularidades no degeneradas
  • 2.2. Teorema de las singularidades semihiperbólicas
  • 2.3. Ejemplos
• 3. Compactificación de Poincaré
  • 3.1. Construcción de la compactificación
  • 3.2. Diagrama de fases en el disco Poincaré
• 4. Aplicaciones
  • 4.1. Modelo para el latido del corazón
  • 4.2. Modelo de FitzHugh-Nagumo para una neurona
  • 4.3. Modelo de Selkov
• Bibliografía
• Índice alfabético

Resumen

La Teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales es, en la actualidad, una de las herramientas más importantes en el estudio de las ecuaciones diferenciales, especialmente cuando son difíciles o imposibles de resolver. En este trabajo de fin de grado damos una introducción a esta rama de las matemáticas, centrándonos en el estudio de los diagramas de fases de sistemas autónomos definidos en el plano. En primer lugar, se introducen los conceptos y resultados básicos más importantes en la Teoría cualitativa. Después se presentan dos teoremas que determinan el comportamiento de las órbitas de un sistema en un entorno de las singularidades no degeneradas y semihi- perbólicas. También se presenta la llamada compactificación de Poincaré, que nos permite dibujar el diagrama de fases global de un sistema de ecuaciones diferenciales plano en una región delimitada del plano, el disco de Poincaré. Para finalizar, se incluyen algunas apli- caciones de la Teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales al campo de la biología. Se presenta un modelo que representa el latido del corazón, otro que define el potencial de acción de una neurona y finalmente el modelo de la glucólisis de Selkov, con un estudio cualitativo en el disco de Poincaré.

Abstract

The Qualitative Theory of Differential Equations is currently one of the most important tools in the study of differential equations, especially when they are difficult or impossible to solve. In this final degree project we give an introduction to this field of mathematics, focusing on the study of phase portraits of autonomous systems defined in the plane. First of all, the most importan basic concepts and results of the qualitative theory are introduced. Then two theorems that determine the behavior of the orbits of a system in an environment of non-degenerate and semi-hyperbolic singularities are presented. The so-called Poincaré compactification is also presented, which allows us to draw the global

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xii ÍNDICE GENERAL

phase portrait of a system of plane differential equations in a limited region of the plane, the Poincaré disk. Finally, some applications of the Qualitative Theory of differential equations to the field of biology are included. We present a model that represents the heartbeat, another that defines the action potential of a neuron and finally the Selkov glycolysis model, with a qualitative study on the Poincaré disk.

xiv INTRODUCCIÓN

característico, ambos en la misma revista, Acta Eruditorium. Posteriormente, en el año 1693 y de forma independiente, Leibniz y Jean Bernoulli examinaron el problema de bus- car una familia de curvas que cortan a otra familia dada con un ángulo dado, obteniendo una solución en el año 1694.

Huygens (^) Leibniz Bernoulli

Figura 1: Principales exponentes de las ecuaciones diferenciales en el siglo XVII.

Los llamados sistemas de ecuaciones diferenciales surgen como necesidad de analizar al- gunos sistemas físicos, poniendo especial interés en los sistemas astronómicos. Por ejemplo, el problema del movimiento de n cuerpos moviéndose uno bajo la acción gravitatoria de los otros, con n ≥ 2 , es el de resolver un sistema de ecuaciones diferenciales, que se reduce, con frecuencia, a resolver una única ecuación. Dicho problema fue estudiado por Euler, Lagrange y Laplace, de forma independiente y con resultados parciales. En general, estos sistemas no tienen un método general con el que resolverlos, por lo que los matemáticos se centraron en los llamados sistemas de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes, que aparecieron, por primera vez, con el estudio de los sistemas de muelles gracias a la llamada Ley de Hooke. Laplace elaboró un método de resolución de este tipo de sistemas, publicado en el ensayo Théorie analytique des probabilités [3] en el año 1812 y actualmente conocido como la transfomada de Laplace.

Leonard Euler Joseph-Louis Lagrange Pierre Simon Laplace

Figura 2: Principales exponentes de las ecuaciones diferenciales en el siglo XVIII.

INTRODUCCIÓN xv

Debido a la dificultad de encontrar métodos para resolver ecuaciones diferenciales, sur- ge la pregunta siguiente: ¿dada una ecuación diferencial cualquiera, existe solución para unas condiciones de frontera e iniciales determinadas? Esta pregunta se ignoró durante muchos años, pues se suponía que tenían solución de forma intuitiva, ya que las ecuaciones diferenciales procedían de problemas físicos y geométricos para los que se sabía que existía solución. Es entonces, a principios del siglo XIX, cuando Cauchy probó la existencia de solución de la ecuación diferencial y˙ = f (x, y), resumido en sus Exercises d’analyse [4]. En el año 1890, Picard creó un método de aproximaciones sucesivas que establece la existen- cia y unicidad de solución de ecuaciones diferenciales de orden n > 0. Poco después, se introducen los conceptos y notación algebraica que se usan en la actualidad, tales como, la matriz del sistema, la forma canónica de Jordan o la diagonalización de matrices, todo lo anterior junto a la notación vectorial introducida por Cauchy. A mediados de este siglo, los matemáticos se centraron más en el estudio de las soluciones en entornos de los puntos singulares. Aquí el trabajo de Gauss sobre series hipergeométricas jugó un papel impor- tante. Los principales impulsores fueron Lazarus Fuchs, Riemann, Briot y Bouquet.

Agustin Louis Cauchy Charles-Émile Picard

Figura 3: Principales exponentes de la existencia y unicidad de solución de ecuaciones diferenciales.

A finales del siglo XIX el estudio de las ecuaciones diferenciales se centra más en aque- llas que son no lineales y surge el nacimiento de la llamada Teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales, tema principal de este trabajo de fin de grado. Poincaré fue el gran impulsor de este tema, basándose en el trabajo de Hill e intentando buscar soluciones periódicas de ecuaciones diferenciales que definan movimientos de los planetas además de estudiar la estabilidad de sus órbitas. Su idea era establecer métodos que permitiesen resolver los problemas de ecuaciones diferenciales sin resolverlas, solo analizando las mismas y busca- ba responder la pregunta enunciada en términos astronómicos: «¿la órbita que describe un planeta o un satélite dado es estable o inestable?». Poincaré analizó las ecuaciones no lineales que toman la expresión dy/dx = P (x, y)/Q(x, y) con P y Q funciones analíticas

INTRODUCCIÓN xvii

movimiento de un oscilador con amortiguamiento no lineal con el paso del tiempo (véase el artículo [18]). Con respecto a las aplicaciones de la medicina, cabe destacar los llamados modelos epidemiológicos que utilizan un sistema de ecuaciones diferenciales que modele una determinada enfermedad para ver cómo evoluciona ésta con el paso del tiempo. Un ejemplo de modelo epidemiológico es el llamado modelo SIR, cuyas iniciales significan sus- ceptibles, infectados y recuperados (véase el artículo [19]). En la actualidad estos modelos son de especial interés y se están utilizando para ver cómo evoluciona el coronavirus (véase el artículo [20]).

Tal y como se ha comentado al inicio de la introducción, la Teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales es una rama de las matemáticas amplia y que sigue utilizándose en la actualidad. En este trabajo se dará una introducción a esta rama de las matemáticas, y se centrará en el caso de sistemas de ecuaciones diferenciales autónomos definidos en el plano.

Para empezar, en el primer capítulo se introducirán los conceptos y resultados básicos de la Teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales, centrándonos en aquellos que nos per- mitan construir los diagramas de fases de los sistemas planos, lo que constituye el objetivo de este trabajo de fin de grado. En primer lugar se recogen conceptos básicos relativos a los campos vectoriales y flujos y se introduce el concepto de equivalencia topológica para el estudio topológico de los diagramas de fases de un sistema. Después, se estudia el com- portamiento de los sistemas en entornos de puntos regulares. En la siguientes secciones nos dedicaremos al estudio de las singularidades, estudiando su clasificación y los diagramas de fases locales. Para finalizar el capítulo, se incluyen los elementos esenciales de un diagrama de fases.

En el segundo capítulo, se enuncian dos teoremas que permiten el estudio de las órbitas de un sistema de ecuaciones diferenciales en un entorno de las singularidades que analizare- mos en el trabajo, las no degeneradas (hiperbólicas y centro lineal) y las semihiperbólicas. Para terminar el capítulo, se incluyen varios ejemplos para ver cómo se aplican los teoremas.

En el siguiente capítulo, se construye la compactificación de Poincaré, que indica cómo es el diagrama de fases global de un sistema, permitiéndonos representarlo en una región limitada del plano, que llamaremos disco de Poincaré y se incluyen varios ejemplos de sis- temas de ecuaciones diferenciales para los que estudiamos sus diagramas de fases globales en el disco de Poincaré.

xviii INTRODUCCIÓN

Finalmente, el trabajo concluye en el cuarto capítulo, donde se introducen algunas apli- caciones de la Teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales. Se presenta un modelo que representa el latido del corazón, otro que define el potencial de acción de una neurona y finalmente el modelo de la glucólisis de Selkov, con un estudio cualitativo en el disco de Poincaré.

Por mi parte, espero que la lectura de este trabajo resulte satisfactoria. Con él, deseo trasmitir la importancia de esta rama actual de las matemáticas que se utiliza para ver cómo se comporta un sistema de ecuaciones sin necesidad de resolverlo. Como he comentado anteriormente, las aplicaciones de la Teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales van desde la física hasta la medicina, por lo que en mi opinión, es importante destacar la importancia de las aplicaciones matemáticas como es el caso de este trabajo de fin de grado. Espero que su lectura transmita la enorme curiosidad que he sentido a la hora de buscar estas aplicaciones y el valor de resaltar las mismas.