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Apuntes Electrónicos Cálculo Multivariable
Tipo: Resúmenes
1 / 93
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¡No te pierdas las partes importantes!
Universidad Veracruzana
Facultad de Ciencias Químicas
Ingeniería Química
Cálculo Multivariable
Mtra. Yuliana Esmeralda Morales Rosado
Apuntes del Curso
Integrantes:
Alarcón Utrera Nora Nallely
Guzmán Blanco Carmen Xithlali
Jiménez Morales Ximena
López Maza Fernando de Jesús
Vaquero López Said
Fecha de entrega: 31 de mayo de 2019
1.1 Introducción ....................................................................................................................... 6
1.1.1 Definición y notación del conjunto de números reales ....................................... 6
1.1.2 Intervalos acotados y no acotados como principales subconjuntos de :
Ejemplos y representación geométrica. ............................................................................ 6
1.1.3 Definición y notación de conjunto del conjunto de pares ordenados: 2. ............ 8
1.1.4 Ejemplos de subconjuntos, con su representación geométrica, de 2. ............... 8
1.1.5 Definición y notación de conjunto del conjunto de ternas ordenadas: 3. ........... 9
1.1.6 Ejemplos de subconjuntos, con su respectivas representación geométrica, de
3. ........................................................................................................................................ 9
1.1.7 Definición y notación de conjunto del conjunto de 𝑛 − 𝑎𝑑𝑎𝑠 ordenadas: 𝑛. .... 10
1.2 Funciones de Varias Variables ...................................................................................... 11
1.2.1 Definición de función. .............................................................................................. 11
1.2.2 Ejemplos de funciones de la forma 𝑓: 𝑛 → 𝑚, de acuerdo con los valores que
toman n y m. .......................................................................................................................... 11
1.2.2.1 Ejemplos de funciones de la forma 𝑓: → 𝑚; es decir, funciones de varias
variables. ............................................................................................................................ 11
1.2.2.2 Ejemplo de funciones de la forma 𝑓: 𝑛 → 𝑚, con n>1; es decir, funciones
de varias variables. ........................................................................................................... 11
1.2.2.3 Ejemplos de funciones de la forma 𝑓: 𝑛 → ; es decir, funciones de valores
reales. ................................................................................................................................. 12
1.2.2.4 Ejemplos de funciones de la forma 𝑓: 𝑛 → 𝑚, con m>1; es decir, funciones
de valores vectoriales. ...................................................................................................... 12
1.2.3 Notación general de funciones de varias variables de valores vectoriales:
𝑓: 𝑛 → 𝑚, con n>1 y m>1. ........................................................................................... 12
1.3: Elementos de una Función: Domingo y Rango........................................................... 12
1.3.1 Definición de dominio y rango de una función. ..................................................... 12
1.4: Tipos de Funciones: Polinomiales y Racionales......................................................... 16
1.4.1 Definición de función polinomial en varias variables, su dominio y ejemplos. ... 16
1.4.2 Definición de función racional en varias variables, su dominio y ejemplos ........ 17
1.5 Composición de Funciones............................................................................................ 18
1.5.1 Definición de composición de funciones................................................................ 18
1.5.2 Ejemplos de composición de funciones. ................................................................ 18
1.6 Gráficas de Funciones.................................................................................................... 19
4.2.6 Resolución de Ejemplos donde se determinen los puntos críticos y los máximos
(𝑥𝑒𝑅: 𝑥 < 𝑏)
Intervalos acotados
Los principales subconjuntos de números reales son los intervalos:
(a,b) = x| a x b intervalo abierto con extremos a y b , donde a,b y a b.
[a,b = x| a x b intervalo cerrado.
(a,b] = x| a x b intervalo semiabierto por la izquierda.
[a,b) = x| a x b intervalo semiabierto por la derecha.
Ejemplos de Intervalos:
1.1.3 Definición y notación de conjunto del conjunto de pares ordenados:
ଶ
ଶ
: Conjunto de todos los pares ordenados de números reales, los cuales pueden
representarse en el Plano Cartesiano.
ଶ
= (x, y)| x, y .
1.1.4 Ejemplos de subconjuntos, con su representación geométrica, de
ଶ
Ejemplos:
{(x, y)e
ଶ
{(x, y)e
ଶ
{(x, y, z)e
ଷ
ଶ
1.1.7 Definición y notación de conjunto del conjunto de 𝑛 − 𝑎𝑑𝑎𝑠 ordenadas:
: Conjunto de todas las n -adas ordenadas de números reales.
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
Ejemplos
{(a, x, y, z)e
ସ
ଶ
ଶ
{(a, b, x, y, z)e
ହ
ଶ
ଶ
ଶ
{(a, b, c, x, y, z)e
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
1.2 Funciones de Varias Variables
1.2.1 Definición de función.
Sean A y B dos conjuntos tales que n A y m B , donde n y m son enteros
positivos ( n,m 1 ).
Se define una función f de A en B, f: A → B, como una regla de correspondencia
que asigna a cada elemento P de A un único elemento w de B, tal que w = f (P).
De este modo, la función n m f :
es una función de una variable si n =1 y
es una función de varias variables si n 1. Además, se dice que es una función que
toma valores reales si m =1 y es una función que toma valores vectoriales si m 1.
Por lo tanto, n m f :
con n,m 1 , es una función de varias variables con
valores vectoriales y se denota por:
ଵ
ଶ
ଵ
ଵ
ଶ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
O bien, por:
ଵ
ଶ
donde P= ( 𝑥 ଵ
ଶ
) y 𝑓
ଵ
ଶ
son las funciones componentes de f.
, de acuerdo con los valores
que toman n y m.
1.2.2.1 Ejemplos de funciones de la forma 𝑓: →
; es decir, funciones de
varias variables.
(𝑔
( 𝑡
) = (𝑡, 𝑡
ଶ
)
ℎ(𝑡) = (
1
𝑡
, 𝑡
ଶ
, √
𝑡)
𝑔
( 𝑚
) = (
𝑚
2
, 𝑚
ଶ
)
1.2.2.2 Ejemplo de funciones de la forma 𝑓:
, con n>1; es decir, funciones
de varias variables.
𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦)
Solución:
Domf = (− ,) = y Ranf = 5
Solución:
Domf = Ranf = (
ଶ
Solución:
Domf = (− ,) y Ranf = [0,)
Solución:
Domf = Ranf = [0,)
ଵ
௫
Solución:
En este caso, f : → es una función de una variable ( x ) que toma valores reales.
Como la función está definida mediante una fracción, su dominio son todos los
números reales excepto aquellos donde el denominador vale 0; es decir, es el
conjunto de todos los números reales distintos de 0. Además, como para x 0 se
tiene que f (x) =
ଵ
௫
0 y para x 0 se tiene que f (x) =
ଵ
௫
<0, la función toma cualquier
valor real excepto 0. Por lo tanto, el dominio y el rango coinciden:
Domf = Ranf = (− ,0)(0,)
Solución:
Domf =
ଶ
y Ranf =
௫
௬
Solución:
Domf = ( x, y)
ଶ
| y 0 y Ranf =
ଶ
ଶ
Solución:
En este caso:
ଶ
→ es una función de varias variables ( x y) que toma valores
reales. Como la función está definida mediante una raíz cuadrada, la condición para
que ésta exista (sea un número real) es que la expresión que se encuentra dentro
de la raíz cuadrada sea mayor ó igual a cero; es decir, que 16 − 𝑥
ଶ
ଶ
Equivalentemente: 𝑥
ଶ
ଶ
16. De este modo, el dominio de esta función está
constituido por todos los pares ordenados de la forma (x, y)
ଶ
tales que 𝑥
ଶ
ଶ
16. Por ejemplo, los pares ordenados (0,0) , (0,4) , (4,0) , (− 4,0) , (0,−4) , (3,1)
, (−1,−3) están en el dominio de la función, mientras que (− 5,0), (0,5), (4,1), (−1,−4)
no lo están. Por otro lado, el valor más pequeño que toma la función es 0 , y lo toma
cuando 𝑥
ଶ
ଶ
=16; el mayor valor que toma es 4 , y lo toma únicamente en (0,0)
. De aquí que, el rango de la función dada es el intervalo cerrado 0,4. Por lo tanto:
Domf = (g) Domf = ( x, y)
ଶ
|x^2+y^2 16 y Ranf = 0,4
ି ଷ /ଶ
Solución:
Domf = {(x,y,z)
ଷ
|(x,y,z) (0,0,0)} y Ranf = (0,)
(j) f (x, y) = (y, x)
Solución:
Solución:
Domf ={( x,y,z)
ଷ
|y 0, z 0} y Ranf = {(u,v,w)
ଷ
| u 0, v 0}.
Las funciones de los incisos (a), (b), (c), (d), (e) y (k), son funciones de una variable;
mientras que las funciones de los incisos (f), (g), (h), (i), (j), (l), (m) y (n), son
funciones de varias variables.
Las funciones de los incisos (a), (b), (c), (d), (e), (f), (g), (h), (i) son funciones de
valores reales; mientras que, las de los incisos (j), (k), (l), (m), (n), son funciones de
valores vectoriales.
Funciones a trozos:
Consideremos ahora la función
௫௬
௫
మ
ା௬
మ
𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦)≠(0,0) y 0 si (x,y)=(0,0).
Solución:
Se trata de una función f:
ଶ
→ de dos variables ( x y y ) que toma valores reales.
Es un ejemplo de una función definida a trozos ó por partes, cuyo dominio es todo
ଶ
y su rango es un subconjunto de .
1.4: Tipos de Funciones: Polinomiales y Racionales.
1.4.1 Definición de función polinomial en varias variables, su dominio y ejemplos.
Funciones Polinomiales: En este tipo de funciones las variables siempre aparecen
con exponente entero y positivo y las únicas operaciones algebraicas involucradas
entre las variables son la suma y la multiplicación.
Ejemplos:
f (x) = 5
f (x) = x
f (x) = 𝑥
ଶ
f (x, y) = x + y
f (x, y) =16 − 𝑥
ଶ
ଶ
f(x,y,z)=xyz
f(x,y,z)= 𝑥
ଶ
ଶ
ଶ
ସ
ଷ
ଶ
ହ
ଶ
Cada una de estas funciones está definida para cualquier valor que le demos a las
variables de las que dependen. Por ejemplo, las primeras 3 funciones que son de
una variable, tienen como dominio a ; las funciones 4 y 5 que son de dos variables
tienen por dominio a
ଶ
; y el dominio de las últimas 3 funciones de tres variables
es
ଷ
1.4.2 Definición de función racional en varias variables, su dominio y ejemplos.
Función racional
Definición
Se expresan como una división de funciones polinomiales.
Dominio
El dominio de una función racional de 𝑛 variables es el conjunto de todas las 𝑛 −
𝑎𝑑𝑎𝑠 ordenadas de números reales (elementos de ℜ
) tales que no anulan (hacen
cero) su denominador.
Ejemplos
௫
య
ି ଷ௫௬ାହ௬
య
௭
௫
ర
ାସ௭
మ
ଷ
ସ
ଶ
௫
య
ି ଷ௫௬ାଶ௫ିହ௬ାଵ
௫
మ
ା௬
మ
ଶ
ଶ
ଶ
௫
ఱ
௬ିହ௫௬௭ାଶ௭
௫
య
ା௬
య
ା௭
య
ଷ
ଷ
ଷ
ଷ
1.6 Gráficas de Funciones
1.6.1 Definición de gráfica de una función 𝑓:
ଶ
Definición de gráfica de una función
Para una función 𝑓: ℜ
ଶ
→ ℜ se define su gráfica por 𝑔𝑜𝑓(𝑓) =
ଶ
|𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), con (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓}= {𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦) ∈ ℜ
ଷ
Dom𝑓}
1.6.2 Definición de traza de una función 𝑓:
ଶ
Definición de traza de una función
Curva de intersección de la gráfica de 𝑓 superficie con los planos coordenados,
“𝑥, 𝑦", “𝑥, 𝑧", “𝑦, 𝑧" o con los planos paralelos a estos.
1.6.3 Ejemplos de gráficas de funciones de la forma 𝑓:
ଶ
Ejemplos
ଶ
ଶ
y realiza su gráfica
Solución
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
Figura 1Traza xy(z=0)→ x^2+y^2=0→(x,y)=(0,0)
- 1.6.1 Definición de gráfica de una función f: 2 → . - 1.6.2 Definición de traza de una función 𝑓: 2 → . - 1.6.3 Ejemplos de gráficas de funciones de la forma 𝑓: 2 → .