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Matrices
1. Introducción. Definición de matriz
El concepto de matriz como una tabla ordenada de números escritos en filas y columnas es muy antiguo, pero fue en el siglo XIX cuando J.J. Sylverster (1814-1897) acuñó el término de matriz y Arthur Carley (1821-1895) sentó las bases del cálculo matricial.
Definición. Se denomina matriz de dimensión mxn a todo conjunto de elementos colocados en m filas y n columnas de la siguiente forma: ⎟
De forma abreviada se escribe o simplemente
a ij representa el elemento de la matriz situado en la i-ésima fila y j-ésima columna.
Ejemplo.
Al conjunto formado por todas las matrices de m filas y n columnas se le denota por M mxn
2. Igualdad de matrices. Tipos de matrices
2.1 Igualdad de matrices
Dos matrices y se dicen que son iguales si tienen la misma dimensión (m=p y n=q) y son iguales todos los elementos que ocupan igual posición
2.2 Tipos de matrices
2.2.1 Matriz fila. Matriz columna.
Una matriz fila es una matriz de dimensión 1xn , también se denomina vector fila.
Ejemplo: A=(1 3 4)
Una matriz columna es una matriz de dimensión nx
2.2.2 Matriz escalonada
Una matriz se dice que es escalonada cuando el primer elemento no nulo de cada fila está “más a la derecha “ que el primer elemento no nulo de la fila anterior.
Ejemplo:
2.2.3 Matriz cuadrada
Es una matriz que tiene igual número de filas que de columnas. En este caso se dice que la matriz es de orden n. Toda matriz que no es cuadrada se llama rectangular.
En una matriz cuadrada se distinguen la diagonal principal que es la formada por los elementos y la diagonal secundaria que es la otra diagonal.
2.2.4 Matriz triangular
- Matriz triangular superior. Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos por debajo de la diagonal principal.
- Matriz triangular inferior. Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos por encima de la diagonal principal.
En particular una matriz triangular superior sin ceros en la diagonal principal es escalonada.
2.2.5 Matriz diagonal
- Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos salvo los de la diagonal principal.
- Cuando en una matriz diagonal todos los elementos un nulos son iguales, se denomina matriz escalar.
- Un caso particular de matriz escalar es la matriz identidad que es una matriz escalar con todo unos en la diagonal principal. Se denota por I n (identidad de orden n)
Ejercicios:
3.3 Multiplicación de matrices
El producto de dos matrices A = ( aij ) de dimensión mxn y B = ( bij )de dimensión nxp es otra matriz C ,= ( c ) ji de dimensión mxp cuyo elemento cij resulta de multiplicar escalarmente el
vector fila i-ésimo de A por el vector columna j-ésimo de B
Obsérvese que en general dos matrices A y B cualesquiera no se pueden multiplicar. Es condición indispensable para poder hacerlo que el número de columnas de A coincida con el número de filas de B.
3.3.1 Propiedades
Dado que el producto no es conmutativo hay que indicar el orden en que se van a multiplicar, por ejemplo, A.B indica que A multiplica a B por la izquierda. En el caso que existan dos matrices A y B tal que A.B=B.A se dicen que A y B conmutan.
4. Trasposición de matrices. Mátriz simétrica y ortogonal
Sea se llama matriz traspuesta de A, y se designa por A
t a la matriz cuyas columnas son las filas de A (se obtiene permutando las filas por columnas en A).
La trasposición de matrices permiten definir tres nuevos tipos de matrices: simétricas, antisimétricas y ortogonal.
5.2.3 Adjuntos. Este apartado lo veremos cuando estudiemos los determinantes.
En una matriz el número de filas L.I. es igual al número de columnas L.I., esto nos permite fijarnos únicamente en uno de los dos.
Ejemplo.
Sea la matriz calcular su rango
Primero observamos si existe alguna relación entre sus líneas. A simple vista no se ve ninguna. Entonces procedemos a comprobarlo por la definición:
El método a seguir es similar al utilizado para el cálculo de la matriz inversa, pero en el caso de la matriz inversa solo se pueden realizar transformaciones elementales con las filas y, para calcular el rango se pueden utilizar también las columnas (pues mantienen invariantes el rango).
