Preferencias y eficiencia en intercambio puro
F. Alvarez
Dto. Fundamentos An´alisis Econ´omico II
Universidad Complutense de Madrid
25 Enero, 2015
F. Alvarez (FAEII, UCM) Preferencias y eficiencia en intercambio puro 25 Enero, 2015 1 / 24
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apuntes micro, Apuntes de Economía
Asignatura: Microeconomía I, Profesor: Alvarez Gonzalez, Carrera: Doble Grado en Economía - Matemáticas y Estadística, Universidad: UCM
Tipo: Apuntes
2016/2017
1 / 24
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Preferencias y eficiencia en intercambio puro
F. Alvarez [email protected]
Dto. Fundamentos An´alisis Econ´omico II Universidad Complutense de Madrid
25 Enero, 2015
Contenidos
1 Preferencias: propiedades Concepto de relaci´on de preferencias Propiedades de las preferencias: preferencias y utilidad Curvas de indiferencia Relaci´on Marginal de Sustituci´on Otras propiedades de las preferencias: convexidad
(^2) Econom´ıa de intercambio puro: eficiencia. Caja de Edgeworth Asignaciones eficientes Curva de contrato
Preferencias: propiedades Concepto de relaci´on de preferencias
Relaci´on de preferencias, cont.
Si se verifica x % x′^ pero no x′^ % x, escribimos
x x′
y quiere decir: x es estrictamente mejor que x′. Si se verifica x % x′^ y x′^ % x, escribimos
x ∼ x′
y quiere decir: x es indiferente a x′. El resto del an´alisis consiste esencialmente en estudiar qu´e propiedades de esta relaci´on de preferencias permiten estudiar de forma sencilla el comportamiento del consumidor.
Preferencias: propiedades Propiedades de las preferencias: preferencias y utilidad
Propiedades b´asicas
Completitud: para cualesquiera x y x′^ en R^2 +, se verifica x % x′^ o x′^ % x o ambas. Transitividad: si x % x′^ y x′^ % x′′, entonces x % x′′. Las preferencias son racionales si son completas y transitivas. Una funci´on u : R^2 + → R, funci´on de utilidad, representa % si, para cualesquiera x y x′^ en R^2 + tenemos
x % x′^ ⇐⇒ u(x) ≥ u(x′)
Si u representa %, cualquier transformaci´on mon´otona creciente de u tambi´en la representa, es decir, u es una medida ordinal de % ¿Qu´e propiedades de % garantizan que existe una funci´on u que la represente? Si existe u, ¿que relaci´on hay entre las propiedades de % y u?
Preferencias: propiedades Propiedades de las preferencias: preferencias y utilidad
Propiedades b´asicas, cont. II
El rec´ıproco de la proposici´on anterior no es cierto. Existen relaciones de preferencias % que son racionales y sin embargo no pueden representarse mediante una funci´on de utilidad, por ejemplo las preferencias lexicogr´aficas. Preferencias Lexicogr´aficas: Sean x = (x 1 , x 2 ) y x′^ = (x′ 1 , x′ 2 ) en R^2 +. Definimos:
x % x′^ ⇐⇒ {(x 1 ≥ x′ 1 ) ∨ (x 1 = x′ 1 ∧ x 2 ≥ x′ 2 )}
¿Qu´e les falta a las preferencias lexicogr´aficas para ser representables mediante una funci´on de utilidad? Continuidad Sean {xan}n y {xbn}n dos sucesiones en R^2 + que convergen a xa^ y xb, respectivamente, y que adem´as satisfacen xan % xbn para todo n. Entonces xa^ % xb.
Preferencias: propiedades Propiedades de las preferencias: preferencias y utilidad
Propiedades b´asicas, cont. III
Las preferencias lexicogr´aficas no son continuas. Sea el punto x = (1, 1) y la sucesi´on {
( 1 + (^1) n , (^12)
) }n. Para cualquier n finito, el n-´esimo elemento de la sucesi´on es al menos tan bueno como x, sin embargo el l´ımite de la sucesi´on,
( 1 , (^12)
) , no es al menos tan bueno como x. Puede probarse (no lo haremos) que no existe ninguna funci´on de utilidad que represente las preferencias lexicogr´aficas. Ahora bien.... Proposici´on Si % es racional y continua, entonces existe una funci´on de utilidad continua que la representa.
Omitimos (al menos por ahora) la demostraci´on.
Preferencias: propiedades Curvas de indiferencia
Curvas de indiferencia, cont.
Supongamos u(x) = x 1 x 2 (funci´on de utilidad Cobb-Douglas). ¿Cu´al es la curva de indiferencia a la que pertenece x = (1, 1)?
u(1, 1) = 1 → I(1, 1) = {(x 1 , x 2 ) ∈ R^2 + | x 2 =
x 1
Por tanto I(1, 1) es una sencilla funci´on de una variable.
x 1
x 2
I(1, 1)
Preferencias: propiedades Relaci´on Marginal de Sustituci´on
Relaci´on Marginal de Sustituci´on
Cuando (como ocurre con la utilidad Cobb-Douglas) la curva de indiferencia es una funci´on derivable, el valor absoluto de su derivada se denomina Relaci´on Marginal de Sustituci´on. En el caso anterior RM S xx^21 = | dx 2 dx 1
x^21
De modo general, RM S xx^21 indica a qu´e cantidad de x 2 est´a renuncia el consumidor a cambio de una unidad (infinitesimal) adicional de x 1 manteniendo constante su utilidad. La pregunta no es cu´anto me gusta x 1 , si no... ... cu´anto me gusta x 1 en t´erminos de x 2. En (1) (solo v´alido para I(1, 1)), RM Sx x^21 |(1,1) = 1, RM Sx x 12 |(2, 1 /2) = 14. En (1, 1) estoy dispuesto a renunciar a mayor cantidad de x 2 por una unidad adicional de x 1 que en (2, 1 /2).
Preferencias: propiedades Relaci´on Marginal de Sustituci´on
Relaci´on Marginal de Sustituci´on, cont. II
Para obtener (2) hemos resuelto expl´ıcitamente la ecuaci´on u(x 1 , x 2 ) = K en x 2. Usando el resultado de derivaci´on de la funci´on impl´ıcita podemos obtener (2) sin necesitad de dicha resoluci´on expl´ıcita. Diferenciando la ecuaci´on x 1 x 2 = K queda
x 1 dx 2 + x 2 dx 1 = 0 ⇐⇒ | dx 2 dx 1
x 2 x 1
= RM Sx x^21
La idea es sencilla. Supongamos que estamos en un punto de la curva x 1 x 2 = K, sea (x 1 , x 2 ), y consideramos un desplazamiento infinitesimal arbitrario (dx 1 , dx 2 ) a partir de (x 1 , x 2 ). Para mantenernos dentro de la curva, dicho desplazamiento debe satisfacer la primera ecuaci´on anterior (diferencial igual a 0).
Preferencias: propiedades Otras propiedades de las preferencias: convexidad
Otras propiedades
No saciaci´on local Para todo x en R^2 + y > 0 existe x′^ con ‖x − x′‖ ≤ y x′^ x. Monoton´ıa (fuerte) Sean x y x′^ en R^2 + con x ≥ x′^ y x 6 = x′, entonces x x′.
x 1
x 2
(a) No saciaci´on local evita curvas de indiferencia con in- terior no vac´ıo.
x 1
x 2
x 2
x 1 (b) Monoton´ıa: los puntos verdes (azules) son peores (mejores) que (x 1 , x 2 )
Monoton´ıa implica no saciaci´on local.
Preferencias: propiedades Otras propiedades de las preferencias: convexidad
Otras propiedades, cont. II
Homot´eticas una relaci´on % mon´otona es homot´etica si x ∼ x′ implica αx ∼ αx′^ para cualquier α > 0. Cuasilineales una relaci´on % es cuasilineal con el bien x 1 de numerario si: (i) x ∼ x′^ implica x + αe 1 ∼ x′^ + αe 1 ; y (ii) x + αe 1 x; para cualquier α > 0 , siendo e 1 = (1, 0).
x 1
x 2
x
αx
x′^ αx
′
(c) Homot´eticas
x 1
x 2 x x^ +^ αe^1
x′^
x′^ + αe 1
(d) Cuasilineales (x 1 numerario)
Econom´ıa de intercambio puro: eficiencia. Caja de Edgeworth
B´asicos
Hasta ahora hemos representado las preferencias de un ´unico consumidor. Ahora nos centramos en la representaci´on en un solo gr´afico de las preferencias de dos consumidores (A y B). ¿Para qu´e? El problema a estudiar es caracterizar asignaciones eficientes en una econom´ıa de intercambio puro. Supongamos una econom´ıa en la que hay ciertas cantidades totales de x 1 y x 2 , sean x 1 y x 2 resp., a repartir entre dos consumidores. Cada consumidor est´a caracterizado por una relaci´on de preferencias. ¿Cuales son los repartos eficientes en sentido de Pareto? Recordemos: una asignaci´on es eficiente si a partir de ella no puedo mejorar a un consumidor sin empeorar al otro. Representamos las preferencias de ambos consumidores en un solo gr´afico denominado Caja de Edgeworth.
Econom´ıa de intercambio puro: eficiencia. Asignaciones eficientes
Representaci´on de preferencias y eficiencia
Ahora a˜nadimos las preferencias, cada una respecto a su eje.
x 2 ,A
A (^) x 1 ,A
x 1 ,B B
x 2 ,B
(xA, xB )
¿Es la asignaci´on (xA, xB ) eficiente? Notemos que
RM S xx 12 |A,xA > RM S xx 12 |B,xB
Econom´ıa de intercambio puro: eficiencia. Asignaciones eficientes
Representaci´on de preferencias y eficiencia, cont.
Para razonar, supongamos los siguientes n´umeros
RM S xx 12 |A,xA = 4 > 2 = RM S xx^21 |B,xB Tenemos Si A recibe una unidad adicional de x 1 , puede renunciar a 4 de x 2 y mantener su utilidad. Si a B le quitan una unidad de x 1 , han de darle al menos 2 de x 2 para que mantenga su utilidad. Por tanto Ambos mejoran si A recibe de B una unidad de x 1 y a cambio A le da a B 3 unidades de x 2. Resumiendo, se intercambian bienes a un precio relativo situado entre ambas RM S’s. La direcci´on (pendiente) de mejora se se˜nala con una flecha que parte de (xA, xB ) en el gr´afico anterior.