Capítulo 3. DUALIDAD.
1E) Considere la función indirecta de utilidad
V(p1; p2; m) = (pr
1+pr
2)r(m)r2;0< r < 1:
a) Compruebe que V(p1; p2; m)homogénea, no creciente en precios y cuasiconvexa.
b) Encuentre las funciones de demanda de ambos bienes. ¿Son bienes sustitutivos brutos?
c) Calcule las elasticidades renta y precio de la demanda del bien 1.
d) Calcule las demandas compensadas y la función de gasto G(p1; p2; u0):
e) Encuentre unas preferencias que den lugar a las demandas obtenidas en (b). ¿Son convexas las prefeencias?
2E) Considere la función de utilidad
u(x1; x2) = log x1+ (1 ) log x2;0< < 1:
a) Calcule las demandas compensadas y la función de gasto G(p1; p2; u0):Veri…que que la función de gasto es
homogénea de grado uno en precios.
b) Calcule @2G=@pi@pj; i; j = 1;2y veri…que que la función de gasto es cóncava en precios. Use este resultado
para probar que los efectos sustitución son negativos.
c) Calcule las demandas marshallianas y la función indirecta de utilidad V(p1; p2; m):Veri…que que la función
indirecta de utilidad es homogénea de grado cero en precios y renta.
d) Calcule la elasticidad de las curvas de demanda marshallianas y hicksianas y compruebe que las demandas
hicksianas son menos elásticas que las demandas marshallianas.
3E) Sea la función
V(p1; p2; m) = m
p11
+am
p22
; a > 0:
a) Halle todos los valores de 1y2de manera que V(p1; p2; m)pueda ser una función indirecta de utilidad.
b) Encuentre las funciones de demanda marshallianas.
c) Considere 1=2ya= 1:
i) Halle la función de gasto y las funciones de demanda compensada. Veri…que que la función de gasto satisface
todas las propiedades expuestas en clase.
ii) Demuestre que las curvas de demanda (marshallianas) son elásticas.
iii) Demuestre que la elasticidad renta de las demandas (marshallianas) es igual a uno.
iv) Determine las preferencias subyacentes. ¿Son preferencias convexas?
d*) Considere 1>0; 2>0ya > 0cualesquiera.
(i) Demuestre que el bien 1 no es Gi¤en pero que podría ser inferior para algunos valores de los parámetros.
(ii) Demuestre que los bienes son sustitutivos brutos.
(iii) Demuestre que la curva de demanda del bien 1 es elástica.
(iv) Compruebe que la elasticidad renta de la demanda del bien 1 podría ser mayor o menor que uno.
(*) No haga los cálculos "a mano".
4E) a) Encuentre, usando la ecuación de Slutsky, condiciones precisas ba jo las cuales dos bienes XiyXjson,
a la vez, sustitutivos y complementarios brutos:Exprese dichas condiciones en términos de @hj=@pi;siendo hj
la demanda compensada de bien j:
b) Demuestre que si los bienes XiyXjson normales y complementarios netos (hicksianos) entonces los bienes
XiyXjson también complementarios brutos.
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